Choix du rapport de réduction – régime impulsionnel

Pour un entraînement fonctionnant en régime impulsionnel (accélérations et décélérations répétées), le choix du rapport de réduction doit aussi satisfaire une contrainte de vitesse et une contrainte de couple :

• La contrainte de vitesse est la même que pour le régime permanent, et détermine un rapport de réduction maximum i_max (voir Équation 2.10 et chapitre 2.5).

• La contrainte de couple doit prendre en compte les couples nécessaires pour accélérer et décélérer non seulement la charge, mais aussi le moteur lui-même. Ces couples tiennent compte des effets de la loi de Newton, et sont généralement beaucoup plus important que les couples constants. Or, nous allons montrer qu’il existe un rapport de réduction optimum iopt, pour lequel le cahier des charges (mouve-ments de la charge) peut être respecté avec une sollicitation minimale du moteur.

Pour déterminer la valeur de ce couple optimum, la méthode la plus simple consiste, dans un premier temps, à déterminer l’inertie équivalente à la charge, vue du moteur. Si cette inertie équivalente est correctement calculée, le couple d’accélération que doit produire le moteur est le même pour accélérer cette inertie que pour accélérer la charge par l’intermédiaire du réducteur. Il suffira alors d’y ajouter l’inertie du moteur lui-même pour déterminer le couple total que doit produire le moteur pour accélérer simultanément son rotor et sa charge externe.

Pour un réducteur rotatif-rotatif, l’inertie équivalente à la charge peut se calculer par des considérations énergétiques : L’énergie cinétique de la charge et celle de l’inertie équivalente doivent être identiques, lors-que le rapport de leurs vitesses correspond au rapport de réduction i. Nous avons ainsi :

𝐸𝐸_{𝑝𝑝𝑠𝑠𝑠𝑠−𝐿𝐿}=1

2∙ 𝐽𝐽_𝐿𝐿∙ 𝜔𝜔_𝐿𝐿² 𝐸𝐸𝑝𝑝𝑠𝑠𝑠𝑠−𝐿𝐿− é𝑞𝑞𝑚𝑚𝑠𝑠𝑞𝑞𝑠𝑠𝑙𝑙𝑝𝑝𝑠𝑠𝑝𝑝𝑝𝑝=1

2∙ 𝐽𝐽𝐿𝐿−é𝑞𝑞𝑚𝑚𝑠𝑠𝑞𝑞�_𝑀𝑀∙ 𝜔𝜔_𝑀𝑀² =1

2∙ 𝐽𝐽𝐿𝐿−é𝑞𝑞𝑚𝑚𝑠𝑠𝑞𝑞�_𝑀𝑀∙(𝑖𝑖 ∙ 𝜔𝜔_𝐿𝐿)² Ces deux énergies doivent être égales. Il en résulte :

1

Nous pouvons procéder de manière similaire pour un réducteur rotatif-linéaire : 𝐸𝐸𝑝𝑝𝑠𝑠𝑠𝑠−𝐿𝐿=1

2∙ 𝑚𝑚𝐿𝐿∙ 𝑣𝑣𝐿𝐿2

𝐸𝐸𝑝𝑝𝑠𝑠𝑠𝑠−𝐿𝐿− é𝑞𝑞𝑚𝑚𝑠𝑠𝑞𝑞𝑠𝑠𝑙𝑙𝑝𝑝𝑠𝑠𝑝𝑝𝑝𝑝=1

2∙ 𝐽𝐽𝐿𝐿−é𝑞𝑞𝑚𝑚𝑠𝑠𝑞𝑞�_𝑀𝑀∙ 𝜔𝜔_𝑀𝑀² =1

2∙ 𝐽𝐽𝐿𝐿−é𝑞𝑞𝑚𝑚𝑠𝑠𝑞𝑞�_𝑀𝑀∙(𝑖𝑖 ∙ 𝑣𝑣_𝐿𝐿)²

Ces deux énergies doivent être égales. Il en résulte :

Rappel : Pour un réducteur rotatif-linéaire, le rapport de réduction i à la dimension [m^-1] , ce qui garantit la cohérence des unités physiques dans l’équation ci-dessus.

Pour accélérer la charge, le moteur doit fournir de l’énergie cinétique à celle-ci, mais aussi à son propre rotor d’inertie 𝐽𝐽𝑀𝑀. Dès lors que l’effet inertiel de la charge peut être modélisé par une inertie équivalente

𝐽𝐽𝐿𝐿−é𝑞𝑞𝑚𝑚𝑠𝑠𝑞𝑞�_𝑀𝑀 tournant à la vitesse du moteur, nous pouvons calculer le couple nécessaire pour accélérer

l’ensemble moteur + charge :

Équation 2.15 𝛴𝛴_{𝑠𝑠𝑝𝑝𝑝𝑝}|_𝑀𝑀=𝛼𝛼_𝑀𝑀∙ � 𝐽𝐽=𝛼𝛼_𝑀𝑀∙ �𝐽𝐽_𝑀𝑀+𝐽𝐽𝐿𝐿−é𝑞𝑞𝑚𝑚𝑠𝑠𝑞𝑞�_𝑀𝑀�

Attention : Le couple d’accélération que nous venons de calculer n’est pas mesurable à l’arbre du moteur. Ce couple doit être généré dans son processus de conversion d’énergie élec-trique en énergie mécanique. Une partie sert à accélérer son rotor, et seul le solde est fourni à l’arbre pour accélérer la charge.

Remarque : En réalité, il faudrait ajouter encore l’inertie du réducteur lui-même. La pratique montre cependant que celle-ci est généralement beaucoup plus faible que la somme des inerties du moteur et de la charge (rapportée au moteur). Pour cette raison, il est généralement acceptable de ne pas en tenir compte pour déterminer le rapport de ré-duction.

En faisant quelques considérations énergétiques, nous pouvons nous rendre compte que le choix du rapport de réduction influence la répartition des énergies cinétiques entre le moteur et la charge. Si le rapport de ré-duction est trop faible, la vitesse du moteur sera relativement faible, et son énergie cinétique le sera égale-ment, ce qui peut paraître favorable. Par contre, pour entraîner la charge avec la même accélération, le mo-teur devra fournir un couple plus élevé au réducmo-teur. Inversement, si le rapport de réduction est trop élevé, le couple que doit fournir le moteur au réducteur sera plus faible, ce qui peut paraître favorable. Par contre, le moteur devra atteindre des vitesses plus élevées, et aura donc besoin de plus de couple pour s’accélérer lui-même.

Nous allons démontrer qu’il existe une valeur optimale du rapport de réduction, comme le montre la Figure 2-7. Pour simplifier le problème, nous supposons que le mouvement de la charge et du moteur s’exécute sans aucun frottement, et qu’il n’y a aucun couple résistant (comme nous l’aurions avec un treuil, sous l’effet de la force gravitationnelle sur la charge). Ainsi, la totalité du couple produit par le moteur sert à accélérer et à freiner le moteur et sa charge. En partant de l’Équation 2.15, et si le réducteur est du type rotatif-rotatif, nous pouvons déterminer le couple d’accélération produit par le moteur comme suit, successivement :

𝛴𝛴_{𝑠𝑠𝑝𝑝𝑝𝑝}|_𝑀𝑀=𝛼𝛼�����_𝑀𝑀∙ 𝐽𝐽_𝑀𝑀

Nous constatons que, pour une accélération donnée de la charge (résultant généralement du cahier des charges), le couple que le moteur doit produire comporte un terme proportionnel au rapport de réduction i, et un terme proportionnel à son inverse.

Figure 2-7 Allure du couple que doit fournir un moteur pour accélérer une charge, en fonction du rapport de réduction i.

Pour calculer la valeur optimale du rapport i, il suffit de dériver le contenu de la parenthèse dans l’équation précédente, et de déterminer quelle valeur de i l’annule :

𝑑𝑑 �𝑖𝑖 ∙ 𝐽𝐽_𝑀𝑀+𝐽𝐽𝐿𝐿

𝑑𝑑𝑖𝑖 𝑖𝑖 �=𝐽𝐽_𝑀𝑀−𝐽𝐽_𝐿𝐿 𝑖𝑖²= 0

Nous en déduisons, pour un réducteur rotatif-rotatif :

Équation 2.16 𝑖𝑖𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 =�𝐽𝐽_𝐿𝐿

𝐽𝐽𝑀𝑀 (sans dimension)

Une démarche similaire est possible pour un réducteur rotatif-linéaire : 𝛴𝛴_{𝑠𝑠𝑝𝑝𝑝𝑝}|_𝑀𝑀=𝛼𝛼�����_𝑀𝑀∙ 𝐽𝐽_𝑀𝑀

𝑇𝑇_{𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎−𝑀𝑀}

+𝛼𝛼�����������_𝑀𝑀∙ 𝐽𝐽𝐿𝐿−é𝑞𝑞𝑚𝑚𝑠𝑠𝑞𝑞�_𝑀𝑀

𝑇𝑇_{𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎−𝐿𝐿}|_𝑀𝑀

=𝑖𝑖 ∙ 𝑎𝑎_𝐿𝐿∙ �𝐽𝐽_𝑀𝑀+𝑚𝑚𝐿𝐿

𝑖𝑖²� 𝛴𝛴_{𝑠𝑠𝑝𝑝𝑝𝑝}|_𝑀𝑀=𝑎𝑎_𝐿𝐿∙ �𝑖𝑖 ∙ 𝐽𝐽_𝑀𝑀+𝑚𝑚_𝐿𝐿

𝑖𝑖 � 𝑑𝑑 �𝑖𝑖 ∙ 𝐽𝐽_𝑀𝑀+𝑚𝑚_𝐿𝐿

𝑑𝑑𝑖𝑖 𝑖𝑖 �=𝐽𝐽_𝑀𝑀−𝑚𝑚𝐿𝐿

𝑖𝑖² = 0

D’où, pour un réducteur rotatif-linéaire :

Équation 2.17 𝑖𝑖_{𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝} =�𝑚𝑚_𝐿𝐿

𝐽𝐽𝑀𝑀 [m^-1]

i T_acc-M

Tacc-LM

Tacc-total

iopt

Tacc

Remarque 1 : Dans la plupart des applications industrielles où des entraînements à forte dynamique sont nécessaires et doivent être optimisés, les frottements et autres couples résistants constants dépassent rarement 10% des efforts à fournir. Nous pouvons donc ne pas en tenir compte dans le calcul du rapport de réduction optimal. En effet, l’allure du couple en fonction du rapport i (voir Figure 2-7) est très « plate » autour du rapport

𝑖𝑖_{𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝}. Elle montre qu’un écart de ±10% du rapport de réduction, quelle qu’en soit la

cause, et même si c’est dû à une imperfection du modèle « sans frottements », ne pro-voquera qu’une augmentation de 1% du couple fourni par le moteur.

Dans les cas où les couples résistants sont plus élevés, le rapport de réduction optimal doit se calculer de manière à en tenir compte, en utilisant la même méthode : Exprimer d’abord le couple que doit fournir le moteur en fonction du rapport de réduction, des inerties et des couples supplémentaires, puis chercher la ou les valeur(s) qui annule(nt) la dérivée de cette relation par rapport à i. Dans le cadre de ce cours cependant, ces cas ne seront pas pris en compte.

Remarque 2 : Que le réducteur soit rotatif-rotatif ou rotatif-linéaire, le rapport optimal 𝑖𝑖_{𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝} ne fournit qu’une indication parmi d’autres en vue du choix du rapport i définitif. À contrario, la contrainte de vitesse décrite au chapitre 2.5 doivent impérativement être respec-tée. C’est d’autant plus important d’y faire attention que pour de nombreux cas, il 𝑖𝑖_{𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝} peut être supérieur à 𝑖𝑖_{𝑚𝑚𝑠𝑠𝑚𝑚}, donc inatteignable.

Remarque 3 : Pour calculer la valeur optimale du rapport de réduction, il a bien fallu choisir un mo-teur au préalable, puisque son inertie intervient de manière prépondérante. Le rapport de réduction étant choisi, aussi proche que possible de 𝑖𝑖_{𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝} tout en respectant la limite 𝑖𝑖_{𝑚𝑚𝑠𝑠𝑚𝑚}, il convient de vérifier que le moteur peut fournir le couple nécessaire selon ca-hier des charges de l’entraînement. Cette vérification pour les régimes impulsionnels fait l’objet du chapitre 3.8.2, plus loin dans ce cours.