Chapitre 3 Moteurs électriques
3.7 Choix d’un moteur électrique
3.7.1 Fonctionnement en régime permanent
Nous avons vu que le rendement des moteurs DC n’est jamais égal à 100% (chapitre 3.2.4). Cette constata-tion est vraie pour tous les moteurs et acconstata-tionneurs électriques. De manière générale, les pertes de rendement sont de différentes natures :
• Les pertes Joule 𝑃𝑃𝐽𝐽𝑝𝑝𝑚𝑚𝑙𝑙𝑝𝑝(𝑡𝑡) sont dues à la résistance des conducteurs constituant les bobinages du moteur.
Elles sont proportionnelles au carré de l'intensité du courant électrique.
• Les pertes fer 𝑃𝑃𝑓𝑓𝑝𝑝𝑝𝑝(𝑡𝑡) sont dues aux non-linéarités des phénomènes magnétiques dans le fer du circuit magnétique (hystérèse en particulier), lorsque le moteur est soumis à des champs magnétiques variables.
Elles apparaissent surtout dans les moteurs triphasés synchrones et asynchrones.
• Les pertes par frottement mécanique 𝑃𝑃𝑓𝑓𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝.(𝑡𝑡) apparaissent dans les paliers et dans l’air, à l’intérieur du moteur.
Toutes ces pertes provoquent un échauffement du moteur. Celui-ci doit être tenu dans des limites construc-tives qui sont prises en compte par le fabricant pour établir la fiche de caractéristiques. Il le fait en définis-sant un régime nominal de fonctionnement, pour lequel il définit une puissance nominale ou un couple no-minal, tenant compte de normes internationalement reconnues.
La durée de vie d’un moteur électrique utilisé correctement est souvent comprise entre 20'000 et 30'000 heures de fonctionnement à régime nominal. Seule exception notoire : Les moteurs DC requièrent une main-tenance régulière de leur collecteur, par exemple le remplacement des balais toutes les 2'000 heures de
fonc-• Pour les servomoteurs DC et synchrones, c’est généralement le couple nominal qui est garanti par le fabricant, dans des conditions nominales d’alimentation électrique, de vitesse à l’arbre, de température ambiante, du mode de refroidissement, et d’altitude (à cause de la baisse de pression de l’air en mon-tagne). Le mode de refroidissement est généralement à convection naturelle, et le fabricant spécifie les dimensions d’une plaque sur laquelle la flasque du moteur (côté arbre de sortie) doit être fixée.
• Pour les moteurs linéaires, c’est bien évidemment la force nominale qui est garantie, de la même manière que pour les moteurs synchrones.
• Pour les moteurs asynchrones, le fabricant spécifie plutôt la puissance nominale, celle-ci étant toujours mesurée à l’arbre du moteur, également dans des conditions bien déterminées, et en particulier à la vi-tesse nominale. Souvent, les moteurs asynchrones sont équipés d’un ventilateur pour en améliorer le re-froidissement, donc en augmenter la puissance utile.
Il convient de relever que cette définition de la puissance ou du couple « à la sortie du moteur » est à l’avantage de l’utilisateur, ce qui est une exception aux usages commerciaux habituels, due probablement au fait que la norme sur les moteurs asynchrones est l’une des premières normes techniques qui a été acceptée internationalement, il y a 100 ans environ.
Le régime nominal de fonctionnement d’un moteur est toujours défini pour une utilisation à régime constant, et en particulier pour un couple constant, donc une puissance à l’arbre constante. Cela suffit pour le choix des moteurs utilisés dans de telles conditions. Ce régime de fonctionnement du moteur est souvent désigné par « service S1 ».
Pour déterminer si un moteur convient à une application à régime constant différent du régime nominal, et en particulier pour savoir si le moteur est en mesure de fournir le couple souhaité à la vitesse demandée (ou l’inverse), le plus simple et le plus sûr consiste à reporter la valeur de ce couple et celle de cette vitesse dans le diagramme couple-vitesse généralement fourni par le fournisseur du moteur. Voir plus en détail au cha-pitre 3.8.3. Le point correspondant à ce régime de fonctionnement doit être situé dans la zone de fonction-nement du moteur. Une marge de sécurité sera éventuellement prise en considération, afin d’anticiper une baisse anormale de la tension d’alimentation, ou une augmentation des couples de frottement, ou pour per-mettre une évolution future de la machine (vitesse et/ou couple plus élevés).
Le choix d’un moteur pour ce type d’utilisation se fait en tenant compte d’un grand nombre de critères, dont l’importance relative et la priorisation est très variable d’une entreprise à l’autre :
• Aspects technologiques :
− gamme de puissance ;
− plages de vitesse et de couple ;
− type d’alimentation (DC ou AC) ;
− présence ou non d’un convertisseur électronique.
• Aspects constructifs :
− encombrement acceptable (dimension, forme, poids) ;
− présence ou non d’un réducteur ;
− mode et efficacité du refroidissement conforme aux spécifications du fournisseur ;
− dimensions du bout d’arbre, qui doit être compatible avec la charge.
• Aspects électriques :
− tension et fréquence de l’alimentation électrique ;
− dispositifs de protection (court-circuit, surcharge, etc.).
• Aspects normatifs :
− conformité à certaines normes (CEI, UL, etc.) ;
− exigences pour environnements particuliers (industrie alimentaire, risques d’explosion, etc.).
• Aspects logistiques et économiques :
− prix ;
− délais de livraison ;
− qualité et/ou réputation du fournisseur retenu ;
− exigences éventuelles du client ;
− support technique et logistique du fournisseur dans les divers pays où les machines pourront être uti-lisées ;
− utilisation de moteurs identiques pour d’autres applications et d’autres machines au sein de l’entreprise.
• Adéquation des performances garanties par le fabricant :
− utilisation conforme aux conditions nominales spécifiées par le fabricant (tension et fréquence d’alimentation et conditions environnementales surtout) ;
− couple (ou puissance) d’utilisation inférieur ou égal à son couple nominal, respectivement à sa puis-sance nominale ;
− vitesse de l’arbre inférieure ou égale à la vitesse nominale (pour les moteurs triphasés synchrones et asynchrones alimentés à fréquence constante, la vitesse nominale doit être égale à la vitesse nomi-nale) ;
− forces radiales et axiales exercées par la charge (et en particulier le réducteur) sur l’arbre du moteur inférieures aux limites spécifiées par le fabricant.
3.7.2 Fonctionnement en régime impulsionnel
3.7.2.1 Services S2, S3, … S9 selon norme CEI
Si le moteur fonctionne en permanence à régime nominal, dans les conditions spécifiées par le fabricant, son échauffement se stabilise à une valeur ∆𝜗𝜗𝑠𝑠𝑝𝑝𝑚𝑚 qui peut être supportée en permanence. S’il fonctionne en permanence à un couple (ou une puissance) plus élevé, son échauffement ∆𝜗𝜗 se stabilisera à une valeur trop élevée, après un régime transitoire, et le moteur verra sa durée de vie réduite. Il faut cependant plusieurs secondes, voire plusieurs minutes pour que cette température atteigne une valeur critique.
Le moteur électrique peut donc fonctionner temporairement en surcharge sans subir de dommage, pour au-tant que cette surcharge soit interrompue avant que l’échauffement ait atteint sa limite ∆𝜗𝜗𝑠𝑠𝑝𝑝𝑚𝑚.
Mieux : Si on accorde au moteur un délai supplémentaire pour que son échauffement puisse diminuer, il sera possible de lui demander à nouveau une brève surcharge, et ainsi de suite de manière répétitive.
En plus du service S1 de fonctionnement, qui correspond à un fonctionnement à vitesse et couple constants, les fournisseurs de moteurs spécifient d’autres services S2, S3, etc. qui mettent à profit les régimes transi-toires thermiques pour divers cas de fonctionnement par intermittence. Le Tableau 3-3 montre ces services normalisés, et surtout la difficulté de leur utilisation pour des régimes de fonctionnement qui, la plupart du temps, diffèrent fortement de ces conditions normalisées.
Code Service Conditions d’utilisation
S1 Continu Fonctionnement à charge constante pour atteindre l’équilibre ther-mique.
S2 Temporaire Fonctionnement à charge constante pendant un temps déterminé infé-rieur au temps de l’équilibre thermique suivi d’un repos suffisant pour rétablir l’égalité de température entre le moteur et l’air de refroidisse-ment..
S3 Intermittent Répétition de cycles identiques comprenant chacun une période de fonctionnement à la charge constante et une période de repos, considé-rant que l’intensité de démarrage n’affecte pas l’échauffement du mo-teur de façon significative.
S4 Intermittent périodique Identique au service S3 mais avec période de démarrage longue affec-tant suffisamment l’échauffement du moteur. Le cycle compte une période à marche constante et une période de repos. Les cycles sont trop courts pour que l’équilibre thermique soit atteint.
S5 Intermittent périodique à démarrages et frei-nages électriques
Répétition de cycles identiques comprenant chacun une période de démarrage, une période de fonctionnement à charge constante, une période de freinage électrique rapide, une période de repos. Les cycles sont trop courts pour que l’équilibre thermique soit atteint.
S6 Ininterrompu pério-dique à charge intermit-tente
Répétition de cycles identiques comprenant chacun une période de fonctionnement à charge constante et une période à vide sans période de repos.
S7 Ininterrompu pério-dique à démarrages et freinages électriques
Répétition de cycles identiques comprenant chacun une période de démarrage, une période de fonctionnement à charge constante, une période de freinage électrique, pas de période de repos. Les cycles sont trop courts pour que l’équilibre thermique soit atteint.
S8 Ininterrompu pério-dique à changement de vitesse
Répétition de cycles périodiques comprenant chacun une période de fonctionnement à charge constante suivi de période de fonctionnement à d’autres charges constantes et à d’autres vitesses de rotation. Les cycles sont trop courts pour que l’équilibre thermique soit atteint.
S9 À changement de vi-tesse non périodique
Service dans lequel la charge et la vitesse varient en fonction de l’utilisation. Ce service permet de tenir compte des surcharges impor-tantes.
Tableau 3-3 Services normalisés de fonctionnement intermittent des moteurs électriques, selon dictionnaire technique CEI 60050-411
Pour la plupart des applications de servomoteurs utilisés en régime impulsionnel sur des machines de pro-duction, ces services normalisés sont trop différents de l’utilisation prévue pour être réellement utilisables.
Pour cette raison, une autre méthode de dimensionnement des moteurs en régime impulsionnel est néces-saire, prenant en compte les phénomènes thermiques. La méthode proposée dans ce chapitre est basée sur des hypothèses simplificatrices qui permettent d’obtenir des résultats exploitables en peu de temps, avec une approximation suffisante. Elle tient aussi compte du fait que lors de la conception d’une nouvelle machine et du dimensionnement de ses entraînements, beaucoup de facteurs ne sont encore déterminés qu’avec une pré-cision de ±5% à ±20, et que dans ces conditions, il n’est donc pas nécessaire d’assurer un dimensionnement thermique trop précis.
3.7.2.2 Dimensionnement thermique – 1ère hypothèse simplificatrice
Lorsqu’il est monté dans une machine, le refroidissement d’un moteur se fait en grande partie par conduction thermique entre ses parties actives et son boîtier, puis par conduction thermique entre sa flasque (sa face côté
« bout d’arbre ») et le bâti de la machine sur lequel il est fixé. Ce bâti est refroidi essentiellement par convec-tion naturelle de l’air ambiant dans le local où la machine est utilisée. Le local lui-même est parfois climati-sé, mais le plus souvent refroidi de manière naturelle à travers ses parois et ses fenêtres. Une partie du trans-fert thermique se fait aussi par rayonnement, mais dans une proportion moindre vu les faibles différences de températures entre le boîtier d’un moteur et son environnement (inférieures à 100°C).
Contrairement à la conduction thermique, la convexion et le rayonnement sont éminemment non linéaires.
Pour éviter les calculs trop fastidieux, nous faisons l’hypothèse suivante :
Approximation no 1 Tout l’échange thermique entre le moteur et son environnement est linéaire, comme s’il se faisait uniquement par conduction.
Cela se traduit par la relation :
Équation 3.36 ∆𝜗𝜗=𝑃𝑃𝑝𝑝ℎ𝑝𝑝𝑝𝑝𝑚𝑚 ∙ 𝑅𝑅𝑝𝑝ℎ𝑝𝑝𝑝𝑝𝑚𝑚
Où 𝑃𝑃𝑝𝑝ℎ𝑝𝑝𝑝𝑝𝑚𝑚 est la puissance thermique dissipée, en [W],
où ∆𝜗𝜗 est l’échauffement du moteur, supposé uniforme et stabilisé, en [K] ou [ºC],
où 𝑅𝑅𝑝𝑝ℎ𝑝𝑝𝑝𝑝𝑚𝑚 est la résistance thermique, supposée constante, entre moteur et environnement en [K/W)].
Nous verrons plus loin qu’il n’est pas nécessaire de connaître la valeur de la constante Rtherm.
Cette approximation se justifie comme suit : Le fabricant du moteur détermine la puissance nominale de ses moteurs dans les conditions « worst-case » d’utilisation, donc avec la température max. admissible pour le boîtier du moteur. Comme nous dimensionnons le moteur de manière à éviter de dépasser cette température dans notre fonctionnement impulsionnel, nous pouvons admettre que nous le ferons correctement, et que cette température ne sera jamais dépassée. Or, lorsque la différence de température entre le boîtier du moteur et son environnement est plus faible à cette valeur limite, la non linéarité des échanges par convexion et par rayonnement fait que la température réelle du boîtier sera plus faible que celle calculée avec notre hypothèse de linéarité. Cette approximation va donc dans le sens de la sécurité de dimensionnement.
3.7.2.3 Dimensionnement thermique – 2ème hypothèse simplificatrice
Cette hypothèse nous permet d’éviter de devoir tenir compte de trop de paramètres dans l’utilisation du mo-teur. Si nous revenons aux trois types de pertes évoqués au début du chapitre 3.8.1 :
• Les pertes Joules sont relativement aisées à calculer, dans la mesure où elles dépendent uniquement du carré du courant, qui est lui-même proportionnel au couple fourni par le moteur :
𝑃𝑃𝐽𝐽𝑝𝑝𝑚𝑚𝑙𝑙𝑝𝑝(𝑡𝑡) =𝑅𝑅𝑠𝑠∙ 𝑖𝑖𝑠𝑠2(𝑡𝑡) =𝑅𝑅𝑠𝑠
𝑘𝑘𝑇𝑇 ∙ 𝛴𝛴𝑝𝑝𝑚𝑚2(𝑡𝑡)
C’est vrai pour les moteurs triphasés comme pour le moteur DC, à une constante près pour tenir compte des 3 phases (facteur 3 ou √3) et de la valeur efficace (facteur √2 par rapport à la valeur crête). Nous verrons qu’il n’est pas nécessaire de connaître cette constante, ni les valeurs 𝑅𝑅𝑠𝑠 et 𝑘𝑘𝑇𝑇.
• Les pertes par frottement sont plus difficiles à chiffrer. Elles dépendent de la vitesse de rotation du mo-teur selon une loi généralement mal connue, souvent approximée grossièrement par un polynôme d’ordre 2 de la vitesse. Elles dépendent aussi d’autres critères (tolérances de montage, température, vieillisse-ment, etc.) qu’il est pratiquement impossible de prendre en compte.
• Les pertes fer sont aussi très difficiles à chiffrer. Elles sont liées à la tension d’alimentation et à sa
fré-Pour éviter des calculs fastidieux, voire impossibles vu la méconnaissance de tous les paramètres, nous fai-sons la 2ème approximation suivante :
Approximation no 2 Toutes les pertes d’un moteur, y compris les pertes fer et les pertes par frottement, sont proportionnelles au carré du couple, comme les pertes Joule.
Cela se traduit par la relation :
Équation 3.37 𝑃𝑃𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑒𝑒 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑠𝑠𝑙𝑙𝑝𝑝𝑒𝑒(𝑡𝑡) =𝑘𝑘𝑝𝑝ℎ𝑝𝑝𝑝𝑝𝑚𝑚∙ 𝛴𝛴𝑝𝑝𝑚𝑚2(𝑡𝑡)
où 𝑘𝑘𝑝𝑝ℎ𝑝𝑝𝑝𝑝𝑚𝑚 est une constante caractéristique du moteur,
où 𝛴𝛴𝑝𝑝𝑚𝑚 est le couple électromagnétique produit par le moteur en [Nm]
Nous verrons plus loin qu’il n’est pas nécessaire de connaître la valeur de la constante ktherm.
Cette approximation se justifie par le fait que, dans la plupart des applications, les pertes Joules représentent la majorité des pertes (env. 2/3). De plus, dans les applications dynamiques où le moteur doit fournir un couple important pendant toute la durée de ses accélérations et de ses freinages, donc lorsque la vitesse est inférieure à sa valeur nominale, voire nulle, notre approximation pour les pertes par frottement fournit une valeur supérieure à la valeur réelle. Il en va de même pour les pertes fer. Cette approximation va donc plutôt dans le sens de la sécurité de dimensionnement.
Ce n’est que lorsque le moteur doit fournir un couple de maintien à l’arrêt, généralement bien inférieur au couple nominal, que notre hypothèse simplificatrice est défavorable. En effet, les pertes fer sont aussi élevées à ce régime qu’aux conditions nominales de vitesse et de couple. Pour cette raison, nous introduirons un facteur de sécurité, garantissant une marge théorique de 10% par exemple.
Remarque : Cette approximation ne consiste pas à négliger les pertes par frottement et les pertes fer, mais bien à faire en sorte qu’au moins à fonctionnement nominal (vitesse et couple nominaux), elles soient totalement prises en compte. Pendant la plupart des ins-tants où le moteur fonctionne à un autre régime (vitesse plus faible), l’approximation va plutôt dans le sens de sécurité de dimensionnement, avec une marge d’erreur esti-mée à 10%.
3.7.2.4 Évolution de la température du moteur en fonction du couple
Pour déterminer dans quelle mesure et dans quelles conditions les surcharges sont admissibles, il convient tout d'abord d’évaluer la température de fonctionnement de ce moteur, en régime nominal. Tenant compte de notre 1ère hypothèse, l’échauffement interne après stabilisation, désigné par ∆ϑnom, dépend des pertes
Ptherm nom comme suit :
Équation 3.38 ∆𝜗𝜗𝑠𝑠𝑝𝑝𝑚𝑚=𝑃𝑃𝑝𝑝ℎ𝑝𝑝𝑝𝑝𝑚𝑚 𝑠𝑠𝑝𝑝𝑚𝑚 ∙ 𝑅𝑅𝑝𝑝ℎ𝑝𝑝𝑝𝑝𝑚𝑚 [°C]
Comme les fabricants de moteurs ne fournissent pas la résistance thermique, nous ne sommes pas en mesure de déterminer la valeur numérique de l’échauffement nominal. La seule chose que nous soyons en mesure d’affirmer, c’est que cet échauffement ∆𝜗𝜗𝑠𝑠𝑝𝑝𝑚𝑚 est admissible en permanence, pendant toute la durée de vie du moteur, puisqu’il correspond au régime de fonctionnement nominal garanti par le fournisseur.
Admettons qu’un moteur, après avoir été au repos « depuis très longtemps », donc avec une température interne égale à la température ambiante (échauffement initial ∆𝜗𝜗0= 0), fonctionne soudainement à un ré-gime constant, pendant très longtemps. Les pertes thermiques 𝑃𝑃𝑝𝑝ℎ𝑝𝑝𝑝𝑝𝑚𝑚 qu’il produit sont constantes. Nous devons nous attendre à ce qu’après un régime transitoire, l’échauffement ∆𝜗𝜗(𝑡𝑡) du moteur se stabilise à une valeur ∆𝜗𝜗∞ > 0. En vertu de notre 2ème hypothèse, cette valeur dépend du carré du couple fourni.
Pour déterminer le régime transitoire, nous devons établir l’équation différentielle qui le décrit.
Selon le premier principe de la thermodynamique, la chaleur accumulée dans un corps homogène se traduit par un échauffement, selon la relation suivante :
Équation 3.39 ∆𝐸𝐸𝑝𝑝ℎ𝑝𝑝𝑝𝑝𝑚𝑚 =𝑚𝑚 ∙ 𝑐𝑐𝑚𝑚∙ ∆𝜗𝜗 [J]
où ∆𝐸𝐸𝑝𝑝ℎ𝑝𝑝𝑝𝑝𝑚𝑚 est la variation d’énergie thermique stockée dans le moteur, en [J], où m est la masse de ce moteur, en [kg],
où 𝑐𝑐𝑚𝑚 est la chaleur massique de ce moteur, en [J/(kg·K)], où ∆𝜗𝜗 est l’échauffement de ce moteur, en [K] ou [ºC]
Dans cette relation nous avons considéré que le moteur est un corps homogène, et que sa température interne est uniforme.
Son échauffement dépend des pertes thermiques 𝑃𝑃𝑝𝑝ℎ𝑝𝑝𝑝𝑝𝑚𝑚, supposées constantes, qui sont produites en son sein, dont il faut déduire la puissance thermique 𝑃𝑃𝑝𝑝𝑝𝑝𝑠𝑠𝑐𝑐𝑚𝑚𝑝𝑝𝑝𝑝(𝑡𝑡) transmise à son environnement, qui est propor-tionnelle à l’échauffement :
∆𝜗𝜗𝑠𝑠𝑝𝑝𝑚𝑚(𝑡𝑡) =𝑃𝑃𝑝𝑝𝑝𝑝𝑠𝑠𝑐𝑐𝑚𝑚𝑝𝑝𝑝𝑝(𝑡𝑡)∙ 𝑅𝑅𝑝𝑝ℎ𝑝𝑝𝑝𝑝𝑚𝑚 [°C]
En application du principe de conservation de l’énergie, la variation d’énergie thermique dans le moteur est égale à la différence entre la puissance thermique produite dans le moteur, supposée constante, et la puis-sance thermique transmise à son environnement, fonction de l’échauffement :
𝑑𝑑[∆𝐸𝐸𝑝𝑝ℎ𝑝𝑝𝑝𝑝𝑚𝑚(𝑡𝑡)]
𝑑𝑑𝑡𝑡 =𝑃𝑃𝑝𝑝ℎ𝑝𝑝𝑝𝑝𝑚𝑚− 𝑃𝑃𝑝𝑝𝑝𝑝𝑠𝑠𝑐𝑐𝑚𝑚𝑝𝑝𝑝𝑝(𝑡𝑡) Nous pouvons en déduire, successivement : 𝑑𝑑[𝑚𝑚 ∙ 𝑐𝑐𝑚𝑚·∆𝜗𝜗(𝑡𝑡)]
Nous obtenons ainsi une équation différentielle du 1er ordre. Comme rappelé au chapitre 3.1, la solution est :
Équation 3.40 ∆𝜗𝜗(𝑡𝑡) =∆𝜗𝜗0+ (∆𝜗𝜗∞− ∆𝜗𝜗0)∙ �1− 𝑒𝑒−𝜏𝜏𝑡𝑡ℎ𝑒𝑒𝑟𝑟𝑚𝑚𝑝𝑝 � [°C] ou [K]
Dans cette équation, nous avons :
• ∆𝜗𝜗0 est l’échauffement initial du moteur, nul si le moteur était à l’arrêt « depuis très longtemps ».
• ∆𝜗𝜗∞ est la température finale qu’atteint le moteur à la fin du régime transitoire, dont la valeur est donnée par :
Équation 3.41 ∆𝜗𝜗∞=𝑃𝑃𝑝𝑝ℎ𝑝𝑝𝑝𝑝𝑚𝑚 ∙ 𝑅𝑅𝑝𝑝ℎ𝑝𝑝𝑝𝑝𝑚𝑚 [°C]
• 𝜏𝜏𝑝𝑝ℎ𝑝𝑝𝑝𝑝𝑚𝑚 est la constante de temps thermique, dont la valeur est donnée par : Équation 3.42 𝜏𝜏𝑝𝑝ℎ𝑝𝑝𝑝𝑝𝑚𝑚=𝑚𝑚 ∙ 𝑐𝑐𝑚𝑚∙ 𝑅𝑅𝑝𝑝ℎ𝑝𝑝𝑝𝑝𝑚𝑚 [s]
L’allure de cette fonction est similaire à celle de la Figure 3.1 (voir page 41).
Comme relevé précédemment, les informations fournies par les fabricants de moteurs ne permettent généra-lement pas d’utiliser directement ces équations. Pour contourner cette difficulté, nous pouvons « normali-ser » l’échauffement, c’est-à-dire divinormali-ser sa valeur par l’échauffement nominal ∆𝜗𝜗𝑠𝑠𝑝𝑝𝑚𝑚 fourni par l’Équation 3.38. Nous obtenons successivement : Comme l’échauffement initial ∆𝜗𝜗0 est supposé nul, nous obtenons : Équation 3.43 ∆𝜗𝜗(𝑡𝑡)
∆𝜗𝜗𝑠𝑠𝑝𝑝𝑚𝑚= 𝑃𝑃𝑝𝑝ℎ𝑝𝑝𝑝𝑝𝑚𝑚
𝑃𝑃𝑝𝑝ℎ𝑝𝑝𝑝𝑝𝑚𝑚 𝑠𝑠𝑝𝑝𝑚𝑚 ∙ �1− 𝑒𝑒−𝜏𝜏𝑡𝑡ℎ𝑒𝑒𝑟𝑟𝑚𝑚𝑝𝑝 � [°C] ou [K]
Ce rapport doit être inférieur ou égal à 1, pour que l’échauffement ne dépasse pas l’échauffement admissible
∆𝜗𝜗𝑠𝑠𝑝𝑝𝑚𝑚.
Il suffit donc de connaître le rapport entre les pertes thermiques au régime considéré et celles au régime no-minal pour déterminer dans quelle mesure l’échauffement du moteur est admissible ou non.
En vertu de notre 2ème approximation, les pertes thermiques sont proportionnelles au carré du couple produit.
Nous obtenons donc : Équation 3.44 ∆𝜗𝜗(𝑡𝑡)
∆𝜗𝜗𝑠𝑠𝑝𝑝𝑚𝑚=� 𝛴𝛴𝑝𝑝𝑚𝑚
𝛴𝛴𝑠𝑠𝑝𝑝𝑚𝑚 �2∙ �1− 𝑒𝑒−𝜏𝜏𝑡𝑡ℎ𝑒𝑒𝑟𝑟𝑚𝑚𝑝𝑝 � ≤1 [°C] ou [K]
Cette équation est valable pour n’importe quelle valeur constante du couple 𝛴𝛴𝑝𝑝𝑚𝑚. Dans le cas général où le couple fourni par le moteur varie continuellement au cours du temps, l’emploi de cette équation se com-plique. À ce stade nous pouvons faire une nouvelle hypothèse simplificatrice, utilisable au moins pour les machines de production cycliques à grandes cadences. Ces machines sont caractérisées par le fait que l’allure du couple produit par les moteurs se reproduit chaque fois qu’une pièce est produite ou usinée. Le temps de cycle de cette machine est lié à la cadence horaire de production comme suit :
Équation 3.45 𝑡𝑡𝑝𝑝𝑐𝑐𝑝𝑝𝑙𝑙𝑝𝑝=3′600
𝐶𝐶 [s]
où C est la cadence horaire de production, en [pièce/heure]
Approximation no 3 Lorsque le temps de cycle 𝑡𝑡𝑝𝑝𝑐𝑐𝑝𝑝𝑙𝑙𝑝𝑝 est suffisamment faible en comparaison avec la cons-tante de temps thermique τtherm du moteur, nous pouvons considérer que
l’échauffement est quasi-constant, fonction de la moyenne des pertes thermiques, donc
l’échauffement est quasi-constant, fonction de la moyenne des pertes thermiques, donc