Par la g´eom´etrie de la sph`ere, le seul filtrage qui apparait naturellement pour un ensemble de points est celui qui donne sa valeur centrale : c’est-`a-dire son barycentre. Il existe dans la g´eom´etrie Riemannienne une m´ethode qui permet de calculer cette valeur : le barycentre de Fr´echet-Karcher ; qui dans le cas pr´ecis de la sph`ere produit un algorithme it´eratif tr`es efficace. Cela consiste fonda-mentalement `a projeter les points sur l’espace tangent `a l’un des points, puis calculer sur cet espace euclidien le barycentre qui est ensuite r´e-projet´e sur la sph`ere pour d´efinir un nouvel espace tangent et ainsi jusqu’`a la convergence.
Etant donn´e un ensemble de points sur S2, nous avons introduit une notion de supremum qui se calcule justement sur l’espace tangent au pole nord (N) de la sph`ere comme l’un des quatre coins du rectangle cart´esien minimal contenant les points, et ceci apr`es une rotation de ces points sur la sph`ere de telle sorte que la valeur centrale de l’ensemble correspond `a N. Plus pr´ecis´ement, pour calculer une pseudo-dilatation, nous commen¸cons par d´efinir une valeur barycentrique qui sera la r´ef´erence locale `a utiliser. Nous avons propos´e de calculer cette valeur comme le barycentre de Fr´echet-Karcher mais `a partir d’un ensemble de points autour de la valeur `a dilater qui doit ˆetre plus large que la taille de l’´el´ement structurant (ceci garantit que la dilatation des points proches d’une image se r´ealise dans le mˆeme espace tangent et donc il y a une continuit´e garantie). A partir de ce barycentre, on applique une rotation aux points sur la sph`ere pour faire correspondre le barycentre avec N. Les points sont ensuite projet´es sur l’espace tangent `a N (espace euclidien 2D). On calcule la boˆıte rectanguli`ere minimale contenant les points et on dit que le supremum correspond `a celui qui a la norme la plus ´elev´ee. En faisant ensuite la projection de ce point sur la sph`ere, puis sa rotation inverse, nous obtenons la valeur de la dilatation sur S2. La pseudo-´erosion est d´efinie de mani`ere similaire, o`u l’infimum est introduit selon une dualit´e qui correspond `a l’inversion des coordonn´ees dans l’espace tangent `a N : l’´erosion sera l’un des coins de la boˆıte la plus grande qui contient l’origine et ne contient pas des points de l’ensemble. En fait, nous n’avons pas de dilatation/´erosion strictement car les propri´et´es de distributivit´e de celles-ci ne sont pas v´erifi´ees dans ce type d’ordre localement adapt´e.
Ordre supervis´e sur la sph`ere : transform´e tout-ou-rien et ouvertures
Dans une deuxi`eme d´emarche nous avons abord´e l’ordre sur la sph`ere par rapport `a une distribution de valeurs de r´ef´erence. Ceci entre donc dans le cadre des ordres supervis´es.
Nous avons donn´e une interpr´etation des valeurs de r´ef´erence comme des charges sur la sph`ere qui peuvent ˆetre positives (lorsqu’elles sont associ´ees au “foreground”) or n´egatives (associ´ees au “background”). Nous avons ensuite consid´er´e plusieurs alternatives dans la d´efinition de la fonction qui donne une valeur d’ordre pour chaque point de la sph`ere `a partir des charges de r´ef´erence. Bien
Fig. 7.2 – Supremum (rouge) et infimum (rose) pour des ensembles de matrices sym´etriques d´efinies positives : haut, ordre partiel spectral et d’une part, sup/inf sur base orthogonale associ´ee au bary-centre de Fr´echet-Karcher (vert), puis d’autre part, par construction progressive de la base orthogo-nale ; bas, non-lin´earisation de la moyenne contra-harmonique pour des matrices SDP et de la moyenne log-euclidienne.
´evidemment cela ne d´epend que de la distance g´eod´esique sur la sph`ere du point en question `a la distribution de charges. Une approche directe consiste `a consid´erer que cette fonction d’ordre est le potentiel donn´e par les charges. Mais nous avons aussi ´etudi´e d’autres alternatives : la valeur d’ordre d´epend exclusivement du barycentre des charges positives et du barycentre des charges n´egatives ; la valeur d’ordre d´epend simplement de la distance `a la plus proche des charges positives et la plus proche des n´egatives.
Les op´erateurs de dilatation et ´erosion sur la sph`ere, associ´es `a ces ordres supervis´es, forment des adjonctions qui v´erifient toutes les propri´et´es requises pour une dilatation et une ´erosion.
Application `a la d´etection de cibles sur des images Radar polarim´etriques
Parmi les diff´erentes modalit´es d’imagerie `a valeurs sur la sph`ere, nous avons illustr´e nos algo-rithmes et ´etudi´e leurs performances (`a l’aide des courbes ROC) dans le cas des images polarim´etriques issues du domaine Radar. Il faut pr´eciser que nous avons travaill´e sur des images simul´ees car pour des raisons de confidentialit´e des donn´ees Radar r´eelles, celles-ci ne pouvaient pas illustrer nos travaux.
Une des questions cl´es en Radar est celle du bruit des images. Donc, en plus des op´erateurs mor-phologiques que nous avons mentionn´es plus haut, nous avons aussi introduit des filtres de d´ebruitage adapt´es aux donn´ees sur la sph`ere. Plus particuli`erement, en utilisant l’algorithme du barycentre de Fr´echet-Karcher sur la sph`ere, nous avons g´en´eralis´e le filtre bilat´eral pour le debruitage spatialement adaptatif de ce type d’images et mˆeme introduit la notion de filtre trilat´eral avec un terme additionnel qui pr´eserve les valeurs proches d’une cible que nous ne voulons par perdre sur l’image.
Nous avons ensuite utilis´e pour les exemples d’application les op´erateurs morphologiques sur la sph`ere qui sont appropri´es `a la d´etection de cibles sur des images polarim´etriques, notamment le gradient morphologique, les r´esidus des ouvertures et la transform´ee en tout-ou-rien.
Principales publications
– J.M. Frontera-Pons. “Mathematical morphology on the sphere : Application to Polarimetric Image processing”. Rapport de Projet Fin d’Etudes (dirig´e par J. Angulo), 87 p., CMM-Centre de Morphologie Math´ematique, MINES ParisTech, Juillet 2011.
Fig. 7.3 – Morphologie math´ematique sur la sph`ere S2: haut, origine locale sur la sph`ere et calcul du sup/inf sur l’espace tangent ; bas, application des r´esidus d’ouvertures sur la sph`ere pour la d´etection de cibles sur des images Radar polarim´etriques.
Chapitre 8
Images multi-vari´ees de forme ou
de texture et morphologie
math´ematique
Dans les trois chapitres pr´ec´edents, j’ai pr´esent´e des travaux sur des images intrins`e-quement multi-vari´ees : on associe `a chaque pixel une valeur vectorielle/matricielle, qui est produite g´en´eralement par le capteur de nature spectrale, polarim´etrique, tensorielle, etc. Dans ce chapitre je ne parlerai pas de l’information spectrale au sens large, mais de la texture et de la forme, en consid´erant les deux cas comme des espaces de pixels multi-vari´es. La texture est une information visuelle tr`es pr´ecise mais relativement difficile `a utili-ser de mani`ere quantitative pour l’analyse de bas niveau des images. Par exemple, dans certaines images complexes, les variations de texture permettent de d´efinir les transitions entre r´egions ; cependant, il n’est pas de m´ethode directe pour introduire la texture dans la chaˆıne de segmentation morphologique par LPE. En fait, pour segmenter une image avec la LPE, on commence classiquement par simplifier l’image, typiquement avec un nivelle-ment, avant de calculer le gradient de l’image. A partir d’une id´ee introduite par l’´equipe de P. Maragos [51], si l’on r´ecup`ere le r´esidu entre l’image originale et l’image nivel´ee on obtient la texture de l’image. Ainsi, le nivellement peut ˆetre consid´er´e comme un outil pour d´ecomposer l’image dans la composante de structure et la composante de texture. J’ai propos´e une approche pour construire une image multi-vari´ee d’´energie de texture, `a partir du calcul d’une granulom´etrie locale. On peut donc calculer un gradient multi-vari´e de tex-ture qui peut ˆetre ensuite combin´e avec un gradient couleur. La construction et l’analyse d’espaces morphologiques de texture pour des images hyper-spectrales a ´et´e aussi explor´e dans la th`ese de S. Velasco-Forero. J’ai utilis´e le mˆeme type de d´ecomposition structure + diff´erentes ´echelles de texture pour l’approche de morphologie structurellement adaptative pr´esent´ee dans le chapitre 9.
Dans beaucoup d’applications, une fois la segmentation de l’image achev´ee, les objets sont d´efinis par leur forme. Pour ´etudier l’espace de formes associ´e `a une famille d’objets nous pouvons calculer des param`etres de forme et ensuite faire de l’analyse sur les valeurs des param`etres, ou bien, faire directement de l’analyse dans l’espace de formes. Pour que cette analyse soit pertinente, les formes des objets doivent ˆetre `a la mˆeme ´echelle et ˆetre spatialement ´equivalente (i.e., centr´ees et orient´ees). Une famille d’objets peut maintenant
ˆetre consid´er´ee comme une image multi-vari´ee, dont chaque variable est l’un des objets. On peut aussi faire une interpr´etation stochastique consid´erant chaque objet comme la r´ealisation d’une variable al´eatoire. Ainsi, j’ai travaill´e sur m´ethodes pour l’exploration morphologique dans des espaces de forme. Une partie de l’´etude sur la statistique de formes (moyenne, m´ediane et variance de forme) a ´et´e r´ealis´ee en collaboration avec F. Meyer. J’ai aussi travaill´e sur la projection de formes dans des espaces `a dimension r´eduite et sur l’interpolation morphologique dans des vari´et´es topologiques de forme. Dans la suite de cette ´etude, en collaboration avec S. Velasco-Forero, nous avons aussi travaill´e sur l’inf´erence et la classification statistique dans des espaces morphologiques de formes.
8.1 Construction et analyse d’espaces morphologiques de
tex-ture
D´ecomposition structure+texture par nivellement
Depuis quelques ann´ees, un grand nombre de travaux se sont int´eress´es `a la d´ecomposition additive d’une image en deux termes : l’un repr´esentant la composante de texture de l’image (partie “oscil-lante”) et l’autre terme repr´esentant les objets de l’image (partie “cartoon”). Le mod`ele original de d´ecomposition, propos´e par Y.Meyer [46] avec des EDPs non-lin´eaires et ondelettes, a conduit par la suite `a des approches fondamentalement bas´ees sur des algorithmes de minimisation de la variation totale.
En utilisant le nivellement, un filtre morphologique connexe qui simplifie sym´etriquement les struc-tures claires/sombres (bruit, texture, etc...) d’une image tout en pr´eservant les contours de celles qui ne sont pas filtr´ees, nous avons montr´e comment la morphologie math´ematique permet une d´ecomposition additive de l’image en deux termes : l’image de structure (objets principaux) et l’image de texture. Dans notre approche, la composante de “texture” n’est pas associ´ee `a la partie oscillante mais plutˆot aux d´etails de l’image originale qui sont plus “petits” au sens du crit`ere introduit par une image additionnelle qui joue le rˆole du marqueur dans le nivellement. Les marqueurs les plus pertinents sont g´en´eralement des filtres Gaussiens ou des filtres morphologiques type altern´es s´equentiels. Le choix de la taille dans le filtre associ´ee au marqueur d´etermine la “taille” de la texture dans la d´ecomposition (ce type de param`etre apparait dans tous les algorithmes variationnels de d´ecomposition cartoon+texture).
Dans le cas des images couleur, on applique un nivellement couleur pour obtenir l’image de struc-ture, celle de texture ´etant donn´ee par la diff´erence entre la luminance de l’image originale et celle de l’image nivel´ee.
Images d’´energie de texture et gradients de texture pour la segmentation
Les distributions granulom´etriques de taille peuvent ˆetre utilis´ees comme descripteurs dans des sch´emas de classification de textures. A partir du calcul d’une distribution granulom´etrique locale `a chaque “patch” (une fenˆetre autour de chaque pixel) de l’image de texture, nous avons introduit la notion d’image multi-vari´ee d’´energie locale de texture, avec une image scalaire par taille de la granulom´etrie. D’autres types d’analyse multi-´echelle morphologique `a partir de nivellements a ´et´e aussi consid´er´e pour la construction des images d’´energie multi-´echelle de texture.
Ensuite, nous avons consid´er´e les diff´erentes fa¸cons de calculer une image de gradient associ´e `a cette analyse multi-´echelle et qui puisse permettre la d´etermination des contours des r´egions de tex-tures diff´erentes. Les deux formulations du gradient multi-vari´e de texture utilisent soit une approche marginale (un gradient pour l’image d’´energie de chaque ´echelle, puis la combinaison par sup ou somme) soit une approche vectorielle (`a partir de la distance euclidienne entre deux pixels d’´energie
multi-vari´ee, on calcule pour chaque pixel dans son voisinage la valeur maximale de distance entre le pixel en question et ses voisins.
Dans certaines images la texture est une information tr`es discriminante pour la s´eparation des ob-jets. Les gradients de textures que nous avons introduits pour les images d’´energie peuvent ˆetre utilis´es avec la LPE pour segmenter l’image en r´egions homog`enes selon la texture. Nous avons aussi montr´e que, si l’on combine le gradient de texture (par somme ou par sup) avec un gradient couleur obtenu `a partir de l’image de structure, il est possible d’obtenir une segmentation mixte couleur+texture qui peut ˆetre plus pertinente que celle obtenue seulement avec des gradients couleur pour des images naturelles complexes.
Principales publications
– J. Angulo. “Morphological texture gradients. Application to colour+texture watershed seg-mentation”, In Proc. of the 8th International Symposium on Mathematical Morphology (ISMM’2007), Rio de Janeiro, Brazil, October 2007. p. 363–374, MCT/INPE, 2007.