Fonctions de profondeur statistique spectrale et leur calcul
Les fonctions de profondeur statistiques ont ´et´e introduites dans le domaine de l’analyse et l’inf´erence non-param´etrique robuste. Ces fonctions assignent `a chaque point d’un espace vectoriel son “degr´e de centralit´e” par rapport `a un certain nuage de points (ou plus g´en´eralement par rapport `a une certaine distribution de probabilit´e). En fait les fonctions de profondeur sont des mod´elisations intrins`equement adapt´ees aux donn´ees sans besoin de faire des hypoth`eses sur le type de distribution.
Dans le cas uni-vari´e, une fonction de profondeur statistique produit un ordre parmi les points qui va du centre du nuage vers la p´eriph´erie, o`u la m´ediane est la valeur la plus profonde. Lorsqu’on passe au cas multi-vari´e, la notion d’ordre du centre vers la p´eriph´erie se g´en´eralise. On peut le voir aussi comme une g´en´eralisation de la distance de Mahalanobis lorsque la distribution n’est pas gaussienne, et ceci sans besoin d’estimer la matrice de covariance.
Les fonctions de profondeur statistiques ont des propri´et´es tr`es int´eressantes de monotonie et d’invariance aux transformations affines du nuage de point ; et surtout elles sont tr`es robustes aux outliers. En pratique, il existe plusieurs d´efinitions pr´ecises de fonction de profondeur qui conduisent chacune `a des m´ethodes de calcul plus au moins op´erationnelles. Nous nous sommes int´eress´es `a la profondeur par projection. Cette derni`ere introduit la non-centralit´e multi-vari´ee comme la valeur de non-centralit´e la plus d´efavorable par rapport `a toutes les projections uni-vari´ees. Cela conduit `a des algorithmes (intrins`equement parall`eles) d’exploration du nuage par projections al´eatoires uni-vari´ees qui, au fur et `a mesure des r´ealisations, approximent de mani`ere satisfaisante la profondeur.
Morphologie intrins`eque `a l’image sur la dualit´e “foreground”/“background”
Dans le cas des images multi/hyper-spectrales, nous pouvons voir les spectres pr´esents dans l’image comme un nuage de points dans l’espace de dimension le nombre de canaux. Nous pouvons calculer pour toute image vectorielle sa profondeur qui nous donne donc un ordre intrins`eque aux valeurs de l’image. La question est de savoir dans quel cas cette fonction d’ordre est pertinente pour faire des transformations morphologiques.
Fig. 6.4 – Morphologie math´ematique hyperspectrale supervis´ee : haut, op´erateurs dilatation/´erosion, gradient, ouvertures et top-hats par ordre supervis´e selon un entrainement pour le “foreground” et le “background” de l’image ; bas-gauche, g´en´eralisation de la transform´e en tout-au-rien, bas-droite, apprentissage d’un ordre multi-classe et application `a la classification spatiale par nivellement.
Nous avons montr´e que lorsque le contenu de l’image suit une configuration de type : pr´esence majoritaire d’un fond plus au moins homog`ene (y compris textur´e), qui contient certains objets moins repr´esent´es et spectralement diff´erents du fond (et qui peuvent ˆetre de plusieurs natures spectrales) ; la fonction de profondeur statistique produit un ordre entre les valeurs spectrales qui refl`ete cette dichotomie. Si cette hypoth`ese se v´erifie, ce qui arrive dans un grand nombre de situations pour des images issues de domaines tr`es vari´es, la dilatation a une interpr´etation tr`es int´eressante : elle ´elargit des objets et r´etr´ecit les zones du fond. Par cons´equent, les ouvertures permettent d’extraire les objets spectralement saillants dans l’image sans aucun information a priori sur eux. Par opposition `a l’approche que nous avons r´esum´ee dans la section pr´ec´edente, les op´erateurs morphologiques fond´es sur la profondeur sont totalement non supervis´es.
Il s’agit d’un paradigme de morphologie math´ematique non-supervis´e que nous consid´erons comme tr`es prometteur et que nous allons poursuivre dans nos travaux futurs.
Notion de profondeur g´eod´esique et son utilisation pour l’analyse de formes 2D/3D Nous avons introduit r´ecemment la notion de profondeur g´eod´esique pour la caract´erisation de formes 2D/3D ; cela ne concerne donc pas directement des images multi/hyperspectrales. En fait, l’id´ee consiste `a consid´erer que les formes sont d´efinies par son ensemble de points dans l’espace de dimension correspondante et `a calculer la distance g´eod´esique entre un point de la forme choisi al´eatoirement et tous les autres. La profondeur g´eod´esique est d´efinie pour chaque point de la forme comme la valeur de distance g´eod´esique (centr´ee et r´eduite) maximale parmi les diff´erentes r´ealisations al´eatoires consid´er´ees. On transforme donc la forme dans une fonction num´erique normalis´ee qui d´ecrit d’une certaine mani`ere la distribution g´eod´esique de l’objet.
Nous avons montr´e que ce descripteur est extrˆemement puissant pour la reconnaissance de formes (classification et clustering) par ses propri´et´es d’invariance aux rotations, aux changements d’´echelle, etc... ainsi que par son comportement de robustesse au bruit et aux d´eformations limit´ees de forme sans changement de topologie.
Principales publications
– S. Velasco-Forero and J. Angulo. “Mathematical Morphology for Vector Images using statistical depth”. In Proc. of ISMM’11 (2011 International Symposium on Mathematical Morphology), LNCS 6671, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, p. 355—366, Intra (Lake Maggiore), Italy, July 2011.
– S. Velasco-Forero, J. Angulo. “Geodesic depth for description and retrieval of 2D/3D shapes”. In 13th International Congress of Stereology (ICS-13), Beijing, China, October 2011.
Fig. 6.5 – Morphologie math´ematique hyperspectrale non-supervis´ee : haut, construction d’un ordre intrins`eque par calcul de fonction de profondeur statistique qui conduit `a une morphologie sur la dualit´e “foreground”/“background” ; bas-gauche, exemples de dilatation (du foreground par rapport au background) et d’´erosion (du foreground par rapport au background), bas-droite, d´ecomposition des structures par r´esidus d’ouvertures.
Chapitre 7
Morphologie math´ematique pour
des images `a valeurs dans des
espaces non euclidiens
Dans ce chapitre je vais continuer `a pr´esenter mes travaux en imagerie multi-vari´ee. Or cette fois-ci, je vais me focaliser sur mes recherches en morphologie math´ematique lorsque les valeurs sur les pixels appartiennent `a des espaces non euclidiens. Il s’agit de travaux que j’ai men´es dans la p´eriode la plus r´ecente et qui sont encore en cours.
Apr`es m’ˆetre int´eress´e `a la repr´esentation des couleurs par des quaternions r´eels, en ajoutant une partie r´eelle associ´ee `a une couleur de r´ef´erence, j’avais commenc´e aussi `a ´etudier comment ces repr´esentations hypercomplexes ´etaient utilis´ees par d’autres cher-cheurs pour g´en´eraliser la notion de signal analytique. C’est `a partir de ces travaux que j’ai eu l’id´ee de construire des images morphologiques complexes et hypercomplexes, `a partir d’une image `a niveaux de gris comme partie r´eelle et des transformations morphologiques pour les composantes imaginaires. J’ai introduit ensuite des ordres totaux pour les hy-percomplexes qui permettent donc de g´en´eraliser tous les op´erateurs morphologiques `a ce cadre. En plus de certaines propri´et´es th´eoriques int´eressantes, ces nouveaux op´erateurs permettent d’introduire des effets de deuxi`eme ordre dans la dilatation/´erosion selon le type de partie imaginaire utilis´ee.
Nous pouvons trouver aujourd’hui diff´erents types d’images `a valeurs matricielles ou tensorielles. On a, d’une part, des images scalaires dont une transformation produit un tenseur pour chaque pixel ; l’exemple classique est celui des images du tenseur de structure (qui correspond fondamentalement `a l’orientation locale et `a la coh´erence dans le voisi-nage du pixel). D’autre part, on trouve des images de nature intrins`equement tensorielle : des images d’IRM de diffusion, de cartographies 2D de matrices de covariance issues de diff´erentes modalit´es d’imagerie radar, etc. . .
L’extension de la morphologie math´ematique aux images `a valeurs matricielles a ´et´e jusqu’`a pr´esent tr`es peu consid´er´ee dans l’´etat de l’art qui se limite exclusivement aux travaux de Burgeth et autres [9, 10]. Les deux approches qu’ils ont consid´er´ees sont d’une part l’ordre partiel de L¨owner (qui utilise des outils de l’analyse convexe pour les calculs de max./min.) et d’autre part la g´en´eralisation de l’EDP morphologique aux valeurs ma-tricielles.
J’ai commenc´e `a travailler sur la question en cherchant des alternatives `a ces deux approches et qui soient inspir´ees par mon exp´erience pr´ealable dans l’extension de la mor-phologie math´ematique aux images vectorielles. J’ai propos´e trois familles de nouvelles m´ethodes pour le calcul du supremum/infimum d’ensemble de matrices sym´etriques d´efinies positives : i) `a partir de la notion d’ordre partiel spectral et en proposant des sup/inf par solution d’un probl`eme spectral inverse ; ii) en introduisant des ordres totaux entre les ma-trices qui choisissent comme sup/inf l’une des mama-trices de d´epart ; iii) par non-lin´earisation des diff´erents algorithmes de calcul de moyenne/m´ediane d’un ensemble de matrices.
Tr`es r´ecemment, dans le cadre du stage-Projet Fin d’Etudes de J. M. Frontera-Pons, que j’ai encadr´e en 2010-2011, nous avons travaill´e sur l’extension de la morphologie math´ematique pour des images `a valeurs sur la sph`ere. Les valeurs sur la sph`ere unit´e peuvent repr´esenter diff´erents types d’informations physiques. Dans les applications d’ima-gerie, le cas le plus classique est celui de la carte des orientations, obtenues apr`es l’estima-tion de la locale l’oriental’estima-tion de chaque pixel. Dans l’imagerie m´edicale moderne, la mo-dalit´e HARDI (High Angular Resolution Imaging) produit ´egalement des images avec des valeurs sur la sph`ere. Nous nous sommes cependant int´eress´es aux images de polarim´etrie, en particulier dans le domaine Radar. En effet, les ´etats de polarisation se repr´esentent sur la sph`ere de Poincar´e qui correspond justement `a S2.
Certaines de nos id´ees sont inspir´ees de la morphologie sur le cercle unit´e [19], mais la plupart des r´esultats donnent une g´en´eralisation `a la sph`ere qui pourrait ˆetre plus f´econde pour ˆetre transpos´ee `a d’autres vari´et´es Riemanniennes que S2. Nous avons consid´er´e plu-sieurs relations d’ordre sur la sph`ere unit´e, qui conduisent `a diff´erentes formulations des op´erateurs morphologiques adapt´es `a la g´eom´etrie intrins`eque de la sph`ere d´efinie par sa m´etrique. Les notions de supremum et infimum locaux ont ´et´e introduites, qui permettent de d´efinir les op´erateurs de dilatation et d’´erosion sur le plan tangent `a des barycentres obtenus par l’algorithme de Fr´echet-Karcher. Des op´erateurs associ´es `a des ordres super-vis´es, inspir´es de mes travaux pr´ec´edents sur l’ordre supervis´e vectoriel, sont en particulier consid´er´es pour les questions de reconnaissance de cibles. Nous avons propos´e ´egalement diff´erentes proc´edures de filtrage `a des fins de d´ebruitage. L’analyse effectu´ee conduit `a une compr´ehension extensive des donn´ees polarim´etriques, qui permet l’automatisation de la d´etection de cibles dans ce type d’images Radar.