Ordre supervis´e selon un entrainement pour le “foreground” et “background” de l’image Intuitivement, nous pouvons dire qu’en morphologie binaire (num´erique) la dilatation ´elargit les particules (objets et structures claires) et r´etr´ecit le fond (objets et structures sombres) ; l’´erosion agissant de mani`ere duale par le compl´ement. Derri`ere ce principe se trouve la structure math´ematique de treillis complet (totalement ordonn´e) o`u il existe une valeur maximale, associ´ee au “foreground” et une valeur minimale pour le “background”. Ainsi, la dilatation tend `a rapprocher les valeurs vers la valeur du foreground, en les ´eloignant en mˆeme temps de la valeur du background. Dans nos travaux pr´ec´edents sur l’extension de la morphologie aux images couleur, nous avons propos´e un cadre o`u l’introduction d’un couleur de r´ef´erence, correspondant au foreground, produisait des op´erateurs tr`es puissants pour les applications. Cependant, on avait d´ej`a not´e `a l’´epoque que cela implique une certaine
Fig. 6.3 – Contribution de la morphologie math´ematique `a la classification spatio-spectrale des images hyperspectrales : haut, d´ecomposition par espace-´echelle morphologique, repr´esentation tensorielle des images et r´eduction de la dimension par des m´ethodes multilin´eaires ; bas, distances morphologiques robustes au bruit par des nivellements et r´eduction de la dimension par des m´ethodes non-linaires.
asym´etrie dans la d´efinition du treillis car la valeur de r´ef´erence pour le background n’apparaissait pas explicitement et par cons´equent, la dualit´e par le compl´ement posait de probl`emes.
Dans ce contexte, nous avons introduit un formalisme plus coh´erent pour construire de mani`ere supervis´ee un treillis complet (totalement ordonn´e) sur des espaces vectoriels. Le cas le plus simple est celui o`u il y a un vecteur de r´ef´erence associ´e au foreground (qui est le point le plus grand dans le treillis) et un autre vecteur diff´erent au background (qui repr´esente le plus petit) : la fonction d’ordre pour tout autre vecteur d´epend de la distance aux r´ef´erences du foreground/background. Ceci peut se g´en´eraliser au cas o`u le foreground est donn´e par un ensemble de vecteurs et le background par un autre ensemble disjoint au premier. Nous avons montr´e que des algorithmes d’apprentissage supervis´e permettent de pr´edire l’ordre de chaque vecteur par rapport aux distances aux ensembles d’apprentissage. Nous avons consid´er´e notamment l’ordre par SVM (l’ordre est li´e `a la distance `a l’hyperplan de s´eparation maximale) et l’ordre obtenu par le krigeage de la g´eostatistique (l’ordre est plus li´e `a une fonction d’“interpolation” entre les valeurs du foreground et ceux du background).
La question de l’ordre total est r´esolue en compl´etant cet ordre r´eduit supervis´e par une cascade lexicographique des composantes spectrales. Il faut noter que l’influence dans l’ordre de cette derni`ere partie est tr`es limit´e, sp´ecialement si le nombre de composantes est ´elev´ee (dimensionnalit´e de l’espace) car en travaillant sur une pr´ecision num´erique suffisante, la fonction de pr´ediction d’ordre produira tr`es rarement la mˆeme valeur pour deux vecteurs diff´erents pr´esents sur l’image.
G´en´eralisation de la Transform´e en Tout-ou-Rien
Les ordres supervis´es permettent donc la d´efinition de la dilatation et l’´erosion d’une image multi/hyper-spectrale selon les r´eponses spectrales que nous associons au foreground et au back-ground : consid´erons une image hyperspectrale satellite d’un parc naturel, en prenant pour l’objet un ensemble de spectres repr´esentatifs des zones d’eau et pour le fond des zones de v´eg´etation et de terre, l’ouverture morphologique de l’image avec un certain ´el´ement structurant supprimera dans l’image les r´egions d’eau (et donc son r´esidu pourra les extraire).
Nous avons voulu aller plus loin, et montrer comment pouvoir d´etecter sur des images hyper-spectrales des objets qui ont une certaine forme et une certaine r´eponse spectrale sur l’objet, et une autre r´eponse spectrale dans le fond qui entoure l’objet. Pour cet objectif, nous avons g´en´eralis´e la transform´e en tout-ou-rien : un op´erateur morphologique tr`es puissant qui utilise l’´erosion par deux ´el´ements structurants disjoints. Notre formalisme d’ordre supervis´e est parfaitement adapt´e `a cette g´en´eralisation : l’intersection entre les deux ´erosions (une dans le treillis objet/fond et l’autre dans le treillis fond/objet) est facilement remplac´e par un test de distance `a la valeur minimale correspondant `a chaque treillis. Cela permet donc d’introduire un param`etre de d´etection optimisable par rapport au bruit de l’image.
Apprentissage d’un ordre multi-classe
La derni`ere contribution dans cette s´erie de travaux a eu pour objet le probl`eme de l’apprentissage d’un ordre multi-classe. C’est-`a-dire que nous consid´erons qu’il y a dans l’image K classes spectrales diff´erentes, chacune caract´eris´ee par un ensemble d’apprentissage de vecteurs spectraux. Comment d´efinir une dilatation dans ce contexte, en sachant qu’aucune des classes n’a un rˆole particulier de foreground ou background.
La solution que nous avons propos´ee utilise la fonction d’´evaluation de K classifiers de type “one-vs-all SVM”, dont chaque classifier prend une classe d’un cˆot´e et toutes les autres de l’autre cˆot´e. On a donc K fonctions d’ordre. L’ordre final est donn´e par la fonction la valeur max. des diff´erentes fonctions d’ordre. Nous pouvons l’interpr´eter en disant qu’un vecteur pixel sera globalement plus grand qu’un autre si le premier est proche des pixels d’apprentissage que d´efinissent l’une des classes spectrales. En sachant qu’en g´en´eral ces pixels d’apprentissage doivent ˆetre pris comme ´etant des pixels “purs” de la
classe, une dilatation aura tendance `a ´elargir les zones des pixels spectralement pures et une ´erosion `a les supprimer.
Nous avons illustr´e ce principe en montrant comment cela permet de construire une distribution de taille (granulom´etrie) des structures d’une image ou bien comment utiliser des op´erateurs nivellement pour r´egulariser spatialement une classification spectrale.
Principales publications
– S. Velasco-Forero and J. Angulo. “Supervised ordering in Rn : Application to morphological processing of hyperspectral images”. IEEE Transactions on Image Processing, Vol. 20, No. 11, –, 2011.
– S. Velasco-Forero and J. Angulo. “Hit-or-miss transform in multivariate images”. In Proc. of
Acivs’2010 (2010 Advanced Concepts for Intelligent Vision Systems), LNCS 6474, Springer-Verlag Berlin
Heidelberg, Part I, p. 452-463, Sydney, Australia, December 2010.
– S. Velasco-Forero and J. Angulo. “Multiclass ordering for filtering and classification of hyper-spectral images”. In IEEE WHISPERS’11 (3rd IEEE GRSS Workshop on Hyperhyper-spectral Image and
Signal Processing), p. 1-4, Lisbon, Portugal, June 2011.