Analyse statistique dans des espaces morphologiques de forme

Statistiques de formes : moyenne et variance de forme

Les approches les plus puissantes pour le calcul de la forme moyenne et variance de forme `a partir d’une collection d’objets ont ´et´e ´etudi´ees dans la litt´erature par des m´ethodes issues soit de la g´eom´etrie diff´erentielle soit d’analyse variationnelle.

Nous avons introduit diff´erentes alternatives de “forme moyenne” fond´ees sur des outils classiques et puissants de la morphologie math´ematique, notamment `a partir de la m´ediane morphologique entre deux ensembles (notion `a la base de l’interpolation morphologique) et de la fonction distance d’un ensemble. Nous pouvons mentionner en particulier l’algorithme qui produit exactement la forme moyenne au sens de la m´etrique L2 par calcul d’une LPE sur la somme des fonctions distances des diff´erentes formes ; ainsi, on obtient la forme optimale par une technique purement g´eom´etrique. Par ailleurs, il est aussi possible d’obtenir avec la mˆeme approche une image de variance locale de forme. Projection de formes dans des espaces `a dimension r´eduite et interpolation morpholo-gique dans des vari´et´es topologiques de forme

Les notions de moyenne et variance de forme ont du sens seulement dans le cas de familles ho-mog`enes de forme : dans une collection tr`es h´et´erog`ene de formes d’objets, la forme moyenne est tr`es probablement le cercle moyen. L’application de techniques d’analyse de donn´ees aide `a explorer les familles de formes (trouver des sous-familles homog`enes) et leur repr´esentation sur des espaces `a dimension r´eduite.

Nous avons consid´er´e dans un premier temps l’Analyse en Composantes Principales (ACP) comme paradigme de l’analyse lin´eaire. Nous avons ainsi montr´e la mani`ere dont l’ACP, combin´ee avec la LPE, permet la construction d’images des modes de variation de forme.

Dans un deuxi`eme temps, nous avons consid´er´e une approche non-lin´eaire tr`es puissante de plon-gement isom´etrique (Isomap) qui, `a partir d’une m´etrique entre deux formes, permet la construction d’une repr´esentation de la famille de formes dans un graphe (projet´e sur un espace `a dimension r´eduite) o`u les distances g´eod´esiques entre les formes sont pr´eserv´ees. L’int´erˆet dans l’analyse de formes vient du fait qu’Isomap produit des chemins g´eod´esique entre paires de formes et par exemple, cela nous

Fig. 8.1 – Construction et analyse d’espaces morphologiques de texture : (a) d´ecomposition struc-ture+texture par nivellement ; (b) image d’´energie de texture multi-´echelle ; (c) gradient de texture pour la segmentation ; (d) segmentation des gradients par LPE avec marqueurs.

permet de construire des espaces d’interpolation entre deux formes contenant d’autres formes de la famille.

Inf´erence et classification statistique dans des espaces morphologiques de formes

Si l’on assume que la famille de formes suit une loi Gaussienne, nous pouvons utiliser les images de forme moyenne et de variance de forme pour construire une fonction de densit´e de probabilit´e de forme.

En se fondant sur cette fonction, nous avons introduit un algorithme pour le calcul des intervalles de confiance de la forme moyenne ainsi qu’un algorithme de simulation de formes al´eatoires associ´ees `a une famille.

D’autre part, nous avons introduit une m´ethode pour calculer la probabilit´e conditionnelle d’une forme nouvelle par rapport `a une famille de formes donn´ee. Si l’on dispose de plusieurs classes de formes, nous construisons facilement un algorithme de classification bay´esienne de formes. Notre ap-proche de classification bay´esienne sur des espaces morphologiques a ´et´e valid´ee sur une base standard de formes et les r´esultats obtenus sont comparables `a d’autres m´ethodes computationnellement plus lourdes.

Principales publications

– J. Angulo and F. Meyer. “Morphological Exploration of Shape Spaces”. In Proc. of ISMM’09 (2009

International Symposium on Mathematical Morphology), LNCS 5720, Springer-Verlag Berlin Heidelberg,

p. 226–237, Groningen, The Netherlands, August 2009.

– S. Velasco-Forero and J. Angulo. “Statistical Shape Modeling using Morphological Representa-tions”. In IEEE ICPR’10 (20th IEEE International Conference on Pattern Recognition), p. 3537–3540, Istanbul, Turkey, August 2010.

Fig. 8.2 – Analyse statistique dans des espaces morphologiques de forme : haut, moyenne et variance de formes ; bas, projection de formes dans des espaces `a dimension r´eduite et interpolation morphologique dans des vari´et´es topologiques de forme.

Chapitre 9

Avanc´ees en morphologie

math´ematique :

segmentation probabiliste,

g´eom´etrie et invariance,

op´erateurs adaptatifs et r´egularis´es

Malgr´e une maturit´e th´eorique certaine et un corpus m´ethodologique exceptionnelle-ment riche, la morphologie math´ematique reste une discipline f´econde. Au cours de mes recherches, j’ai travaill´e sur des points fondamentaux de la morphologie math´ematique qui ne se limitent pas `a leur extension aux images multi-vari´ees.

Les contributions r´esum´ees dans ce chapitre s’inscrivent dans une r´eflexion que je m`ene atour de trois grands volets :

– d’une part, la “r´egularisation” des effets des op´erateurs de segmentation et de fil-trage par des approches soit probabilistes soit bas´ees sur l’utilisation de notions g´eom´etriques (sym´etries, changement d’espace de repr´esentation des pixels, etc...) ; – d’autre part, “l’adaptabilit´e” des op´erateurs morphologiques aux propri´et´es locales (de

nature spectrale, de nature g´eom´etrique ou de nature structurelle) de chaque pixel de l’image ;

– finalement, la “non-lin´earisation” de m´ethodes et d’approches issues d’autres para-digmes du traitement d’image et l’analyse de donn´ees (g´en´eralisation de la diffusion, repr´esentations parcimonieuses)

Comme je mentionnerai apr`es dans le chapitre des perspectives, j’envisage dans mon projet de recherche l’approfondissement de ces trois axes.

Dans une d´emarche de “probabilisation” de la segmentation morphologique, j’ai intro-duit `a la fin 2006 la notion de LPE stochastique, par des simulations de LPE avec des germes al´eatoires. Ce travail a ´et´e ensuite publi´e avec D. Jeulin. Dans la th`ese de docto-rat de G. Noyel, nous avons propos´e des techniques pour le conditionnement des germes al´eatoires selon une classification des pixels. F. Meyer s’est aussi int´eress´e `a la m´ethode et il a propos´e l’algorithme pour le calcul analytique des valuations d’arˆetes d’un graphe qui est ´equivalent `a la LPE stochastique, sans besoin de faire des simulations [45].

Je continue toutefois `a d´evelopper la potentialit´e de la m´ethode par des algorithmes de simulation, en particulier pour la segmentation d’images multi-vari´ees. Dans la suite de ces travaux, j’ai propos´e avec S. Velasco-Forero et J. Chanussot, d’une part, une m´ethode multi-´echelle probabiliste, o`u l’estimation de la pdf de contours tire partie, soit d’une repr´esentation de l’image sous forme d’une pyramide, soit d’un sch´ema multi-´echelle des germes al´eatoires de diff´erentes tailles. D’autre part, j’ai propos´e aussi avec S. Velasco-Forero une approche semi-supervis´ee de segmentation d’images hyperspectrales qui est fond´ee sur la r´egionalisation des germes al´eatoires selon des fonctions qui d´ependent des diff´erentes classes spectrales pr´esentes dans l’image.

Les relations entre le filtrage lin´eaire (espaces-´echelle associ´es au filtrage gaussien et `a l’´equation de la chaleur) et le filtrage morphologique (espaces-´echelle associ´es aux dilata-tions/´erosions non-plates) ont ´et´e ´etudi´ees pr´ec´edemment par divers travaux de l’´etat-de-l’art. Ainsi, le parall´elisme entre le monde lin´eaire et non-lin´eaire du traitement d’image et surtout l’´etablissement des ponts entre eux est un sujet qui me passionne. Dans une s´erie d’´etudes r´ecentes, je suis en train d’´etudier comment g´en´eraliser les approches de filtrage par diffusion dans le but d’introduire des filtres non-lin´eaires dont les effets imitent la dilatation et l’´erosion morphologique. La m´ethodologie que j’ai suivie est bas´ee dans la moyenne contre-harmonique. J’ai consid´er´e la mise en œuvre num´erique de diff´erents cas de diffusion : diffusion isotrope, mod`ele de Perona-Malik, mod`ele de Weickert, diffusion complexe. Par ailleurs, nous avons ´etudi´e l’expression analytique des cas limites de non-lin´earisation. J’ai pu ainsi red´ecouvrir le lien classique entre l’espace-´echelle gaussien et le l’espace-´echelle des dilatations /´erosions par des fonctions structurantes quadratiques. Mais aussi d´ecouvrir l’op´erateur morphologique ´equivalent au “laplacian of gaussian” (LoG), c’est-`a-dire la d´eriv´ee seconde morphologique r´egularis´ee.

Avec l’objectif d’appliquer de mani`ere optimis´ee des op´erateurs morphologiques avec des ´el´ements structurants adapt´es aux objets circulaires, qui ont des sym´etries radiales et angulaires, M.A. Luengo-Oroz a introduit, dans le cadre de son stage-Projet Fin d’Etudes que j’ai encadr´e en 2004, la notion de morphologie math´ematique cyclique en coordonn´ees log-pol. En plus de l’application initiale `a l’analyse de forme des cellules, la m´ethode s’est montr´ee tr`es efficace pour la mod´elisation et la segmentation des spots des puces `a ADN. Plus r´ecemment, aussi en collaboration avec M.A. Luengo-Oroz, nous avons utilis´e la mor-phologie cyclique en polaires pour la segmentation automatique de l’iris sur des images non calibr´ees d’œil ; notre m´ethode a fini en huiti`eme position dans la comp´etition inter-nationale NICE-I, sur une centaine des meilleurs groupes de recherche du monde dans le domaine.

La morphologie cyclique est un exemple de morphologie variable dans l’espace : l’´el´ement structurant appliqu´e dans chaque pixel n’est pas constant. Cette g´en´eralisation, avec la perte de l’invariance par translation dans l’espace des pixels, a des cons´equences impor-tantes dans l’impl´ementation des op´erateurs. La th´eorie n´ecessaire au d´eveloppement de la morphologie variable dans l’espace a ´et´e introduit par J. Serra dans les ann´ees 80, ce-pendant l’application de ce type de techniques est rest´ee tr`es limit´ee. En collaboration avec R. Verdu-Monedero et J. Serra, nous avons justement ´etudi´e la mani`ere de construire ad´equatement des op´erateurs morphologiques anisotropes, c’est-`a-dire localement orient´es selon l’information du gradient. Nous avons montr´e comment calculer un champ d’orien-tations dense et r´egulier ainsi que la fa¸con de param´etrer, `a partir de ce champ, en plus de l’orientation, la taille et l’anisotropie des ´el´ements structurants.

Le d´eveloppement de filtrage localement adaptatif est bien ´etabli dans la th´eorie et la pra-tique du filtrage gaussien. En particulier, le filtrage bilat´eral est une convolution gaussienne localement adaptative pour d´ebruiter/lisser les images tout en pr´eservant les contours : pour chaque pixel, les coefficients de noyau gaussien (li´es `a la distance spatiale) sont pond´er´es par la distance d’intensit´e avec ses voisins. Ses r´esultats sont g´en´eralement tr`es acceptables, sa formulation est assez simple et ne n´ecessite que deux param`etres faciles `a choisir : l’un pour la taille spatiale et l’autre pour le contraste afin de pr´eserver les caract´eristiques. Par ailleurs le filtrage bilat´eral est fortement li´e `a la th´eorie du filtrage robuste (pond´eration par moindres carr´es) et au filtrage par solution de l’EDP de diffusion de Perona et Malik. Poursuivant notre int´erˆet pour les op´erateurs morphologiques variables dans l’espace, j’ai g´en´eralis´e ces approches de convolution gaussienne dans le but d’introduire des dilata-tions/´erosions bilat´erales.

En plus des op´erateurs adaptatifs selon l’orientation des structures ou selon l’homog´e-n´eit´e, que j’ai consid´er´es dans mes travaux, il y existe un autre type d’adaptabilit´e qui a ´et´e propos´e dans l’´etat de l’art de la morphologie math´ematique. Il s’agit des op´erateurs adapt´es `a l’intensit´e du pixels qui ont ´et´e propos´es par Vachier et Meyer [62]. Cela consiste `a utiliser une d´ecomposition de l’image num´erique en ensembles de niveaux, suivie par le traitement de chaque niveau par un ´el´ement structurant plat dont la taille d´epend du ni-veau de gris (selon une r`egle de taille particuli`ere) et enfin la reconstitution d’image `a partir des ensembles de niveaux trait´es. Dans cette approche, l’adaptabilit´e pour chaque point d´epend de la valeur de l’intensit´e absolue ; ainsi, deux points de l’image associ´ee `a des structures d’´echelle similaire mais d’intensit´e diff´erente sont trait´ees diff´eremment. Nous avons propos´e, avec S. Velasco-Forero, un nouveau cadre d’op´erateurs adaptatifs non-lin´eaires : la structure adaptative morphologie math´ematique. Plus pr´ecis´ement, le raisonnement derri`ere notre approche est de travailler sur une d´ecomposition non-lin´eaire multi-´echelle de l’image bas´ee sur une famille de nivellements. Ensuite, la taille de la fonc-tion structurante `a chaque pixel est intrins`equement adapt´ee `a l’´echelle locale des structures sur ce pixel. En d’autres termes, deux r´egions de l’image apparaissant dans une ´echelle similaire vont suivre un filtrage morphologique de la mˆeme “taille”, ind´ependamment des intensit´es absolues sur ces deux r´egions. La valeur de la transformation de l’image sera obtenue par la reconstitution des diff´erentes ´echelles trait´ees s´epar´ement. Nous remarquons ´egalement que notre approche n’est pas limit´ee `a des op´erateurs morphologiques plats.

En travaillant en 2006 avec F. Meyer sur l’impl´ementation des bi-nivellements, qu’il avait propos´e afin d’introduire des propri´et´es de micro-viscosit´e dans la reconstruction g´eod´esique lorsqu’on travaille sur la trame hexagonale, nous avons eu l’id´ee d’utiliser le mˆeme type de m´ecanisme pour construire des dilatations et ´erosions micro-visqueuses, ainsi que leurs op´erateurs ´evolu´es. Une th´eorie sur les adjonctions sur les ´el´ements de la trame hexagonale (pixels et arˆetes) a ´et´e ainsi d´evelopp´ee par F. Meyer, qui permet de formaliser ces op´erateurs qui fournissent d’excellents r´esultats pour le d´ebruitage, y compris des images binaires, et pour l’obtention de gradients robustes face au bruit.

Plus r´ecemment, j’ai poursuivi ces travaux avec S. Koudoro et S. Velasco-Forero, en introduisant une famille d’´el´ements structurants unitaires de sym´etrie hexagonale (plus grands que l’hexagone unitaire) que nous avons appel´es des flocons de neige. Chaque flo-con de neige ´etant compos´e de l’union d’un pixel central et six micro-voisinages. Il existe deux familles de filtres qui peuvent ˆetre d´efinies : i) des op´erateurs de second-ordre qui pro-duisent du filtrage robuste au bruit par l’incorporation de micro-op´erations de d´ebruitage, ii) des op´erateurs locaux s´electifs qui permettent une adaptabilit´e locale tr`es simples `a

impl´ementer.

Le dernier sujet inclus dans ce chapitre est celui de la morphologie parcimonieuse que j’ai introduite r´ecemment avec S. Velasco-Forero. Le principe est assez simple. Imaginons qu’on doit appliquer un certain op´erateur morphologique `a chacune des images d’une col-lection de M images, d´efinies sur le mˆeme espace support des pixels. Consid´erons aussi qu’il existe une repr´esentation parcimonieuse des M images sous forme d’un dictionnaire de K images (K < M ) ; c’est-`a-dire chacune des M images initiales est cod´ee par une combinaison des K images du dictionnaire. Dans ce contexte, la question que je me suis pos´ee est donc : quel type de repr´esentation parcimonieuse permet de dire qu’appliquer l’op´erateur `a une image de la collection initiale est approximativement ´egal `a appliquer le mˆeme op´erateur `a chacun des K atomes du dictionnaire puis `a les combiner en utilisant le codage initial de l’image en question. Ce questionnement dans le cadre des op´erateurs morphologiques dilatation et ´erosion m’a conduit vers des repr´esentations de type facto-risation non-n´egative de matrices (NMF). Je travaille actuellement sur la suite de cette ´etude.

9.1 LPE stochastique

Principe : LPE sur marqueurs al´eatoires et estimation d’une pdf des contours par simu-lations de MonteCarlo

La LPE est une m´ethode de segmentation morphologique tr`es puissante. Diff´erents types d’algo-rithmes de segmentation bas´es sur la LPE ont ´et´e propos´ee dans l’´etat de l’art : segmentation avec des marqueurs, pyramides non-param´etriques, hi´erarchies selon des crit`eres morphologiques (contraste, volume), etc... Dans tous ces algorithmes, la question cl´e pour r´eduire et contraindre la segmentation consiste en s´electionner de mani`ere d´eterministe les bons marqueurs.

Nous avons introduit une m´ethodologie stochastique pour la segmentation par LPE. L’approche, par simulation de MonteCarlo, utilise M r´ealisations de N germes ou marqueurs al´eatoires pour es-timer selon la m´ethode de Parzen une fonction de densit´e de probabilit´e (pdf) de contours : les contours les plus importants de l’image apparaissent plus fr´equemment et donc auront une probabilit´e ´elev´ee. La pdf de contours peut ensuite ˆetre segment´ee hi´erarchiquement en utilisant l’algorithme non-param´etrique des cascades ainsi que des algorithmes de seuillage bas´es sur des crit`eres de probabilit´e. L’approche est valable pour des images `a niveaux de gris et pour les images multi-vari´ees. Nous avons prouv´e par nos r´esultats que cette m´ethode am´eliore notablement les r´esultats lorsque l’objectif est la segmentation d’images complexes en peu de r´egions.

Nous avons consid´er´e quelques variantes pour le tirage des marqueurs al´eatoires : i) germes al´eatoires uniformes, ii) germes r´egionalis´es sur la fonction du gradient, et iii) germes al´eatoires uni-formes pour un nivellement avant de calculer le gradient sur lequel la LPE est calcul´ee. Le dernier algorithme est plus complexe mais il rend les meilleurs r´esultats.

Calcul de la pdf dans le cas multi-´echelle

Nous avons ensuite consid´er´e le cas multi-´echelle pour le calcul de la pdf des contours. Le sch´ema multi-´echelle probabiliste est bas´e sur le calcul par des simulations Monte Carlo de la probabilit´e conditionnelle d’une ´echelle par rapport `a la pdf d’une autre ´echelle pr´ealablement obtenue. Nous pouvons donc obtenir une pdf marginale `a chaque ´echelle, une pdf d’une ´echelle conjointement aux ´echelles pr´ec´edentes.

Nous avons d´eclin´e ce formalisme en quelques algorithmes selon l’ingr´edient utilis´e pour construire la repr´esentation multi-´echelle consid´er´ee. Nous avons consid´er´e notamment i) une pyramide lin´eaire

de l’image par un ´echelle gaussien, ii) une pyramide morphologique en utilisant un espace-´echelle par nivellements, iii) et une pyramide multi-espace-´echelle obtenue en modifiant la taille des germes al´eatoires.

Segmentation semi-supervis´ee et r´egionalisation des germes

D’autre part, nous avons aussi propos´e un algorithme de LPE stochastique semi-supervis´ee qui vise `a segmenter les images en utilisant une information `a priori sur son contenu, mais sans arriver `a passer par une pr´e-classification de l’image en r´egions (qui correspondrait `a une approche totalement super-vis´ee). Par ailleurs, cette m´ethodologie est surtout pertinente dans le cas des images hyperspectrales car assez souvent cette information `a priori est bien disponible.

L’id´ee est la suivante : `a partir d’un ensemble d’entrainement consistant en une s´election de pixels repr´esentatifs de chaque classe spectrale de l’image, l’algorithme commence par calculer pour chaque classe une carte de probabilit´e d’appartenance `a la classe (MPM). Ensuite, chaque MPM est consid´er´ee comme une fonction de densit´e r´egionalis´ee qui est utilis´ee pour simuler les marqueurs al´eatoires utilis´es dans l’estimation MonteCarlo de la pdf des contours de la classe correspondante. Cette pdf privil´egie les r´egions spatiales de l’image spectralement associ´ees `a la classe. Apr`es, en appliquant la mˆeme technique pour chaque classe, une s´erie de pdf est obtenue pour chaque image. Les pdf des contours peuvent ˆetre consid´er´ees soit s´epar´ement soit, apr`es combinaison, comme une seule fonction globale `a