Au-del`a des λ−flat zones : r´egions η−born´ees et boules µ−g´eod´esiques
Si l’on consid`ere une distance spectrale pour comparer deux pixels d’une image hyperspectrale, il est possible de d´efinir des crit`eres connectifs pour construire une partition de l’image en zones connexes. Les zones λ−plates utilisent exclusivement un seuil local : un ensemble de pixels est consider´e comme appartenant `a la mˆeme zone λ−plate si pour toute paire de pixels il existe un chemin tel que l’´ecart entre deux pixels adjacents est inf´erieur `a λ. Le param`etre croisant λ engendre une hi´erarchie ou pyramide de partitions. L’inconv´enient principal des zones λ−plates, pour la segmentation en zones pertinentes, vient du fait qu’elles sont tr`es sensibles `a des petites variations du param`etre λ. Pour pallier `a cet effet, nous avons propos´e des crit`eres qui utilisent une information r´egionale par rapport `a l’information locale des zones λ−plates.
Nous avons introduit les connexions η et µ, qui sont consid´er´ees de second ordre car elles sont incluses dans les zones connexes λ−plates. Afin de construire ces nouvelles zones, la m´ethode consiste `a s´electionner un param`etre λ suffisamment ´elev´e pour obtenir une sous-segmentation. Puis les r´egions η−born´ees et les boules µ− g´eod´esiques sont construites, conduisant `a une segmentation par agr´egation. Les r´egions η−born´ees introduisent un param`etre qui contrˆole les variations spectrales (i.e., le “d´enivel´e” spectral global) dans les zones λ−plates, tandis que les boules µ−g´eod´esiques introduisent un pa-ram`etre de contrˆole de la taille g´eod´esique des zones par la mesure de la distance spectrale cumul´ee dans les zones λ−plates. En outre, ces connexions du second ordre produisent des pyramides de par-titions avec un nombre d´ecroissant de r´egions quand la valeur de η ou µ croˆıt, jusqu’`a atteindre la partition associ´ee au niveau qui correspond `a celle des zones λ−plates. Cependant, il est int´eressant de remarquer que cette pyramide ne constitue pas une hi´erarchie ordonn´ee en raison des classes qui ne sont pas ordonn´ees par niveau croissant.
Les algorithmes propos´es pour la construction des partitions associ´ees `a ces deux connexions η et µ utilisent des files d’attente avec un tri de germes selon leur distance cumul´ee `a tous les autres points d’une zone λ−plate.
Calcul efficace du tableau de toutes les paires de distances g´eod´esiques dans une image Le tableau de paires de distances g´eod´esiques entre les pixels d’une image hyperspectrale est la repr´esentation la plus riche pour explorer la dimensionnalit´e spatio-spectrale de l’image, pour segmen-ter l’image avec des techniques de coupes de graphes, pour construire des voisinages adaptatifs, etc... Cependant, calculer toutes les paires de distances g´eod´esiques entre les pixels d’une image est tr`es coˆuteux en temps de calcul. L’approche na¨ıve consiste `a effectuer P fois, avec P le nombre de pixels, l’algorithme de propagation g´eod´esique qui calcule la distance g´eod´esique d’un pixel `a tous les autres. Dans ce contexte, nous avons explor´e diff´erents algorithmes efficaces pour le calcul de ce tableau. Pour ce faire, on exploite la redondance des propagations g´eod´esiques grˆaces `a l’utilisation d’un arbre g´eod´esique. Ensuite, plusieurs strat´egies de choix des points pour calculer la propagation g´eod´esique ont ´et´e introduites. Nous avons compar´e une m´ethode en spirale qui choisit les points de mani`ere al´eatoire sur les spirales concentriques de l’image avec d’autres approches plus ´elabor´ees : i) choix en priorit´e des extrema g´eod´esiques (obtenus par propagation `a partir du centro¨ıde), ii) choix selon le taux de remplissage (s´electionner en priorit´e les points pour lesquels nous connaissons le moins de distances `a tous les autres), iii) une m´ethode en spirale mais avec r´epulsion. Pour diff´erentes images test, nous avons observ´e une diminution du nombre de propagations g´eod´esiques pour remplir le tableau de 18 % `a 50 % par rapport `a l’approche na¨ıve.
Principales publications
– G. Noyel, J. Angulo, D. Jeulin. “On distances, paths and connections for hyperspectral image segmentation”, In Proc. of the 8th International Symposium on Mathematical Morphology (ISMM’2007), Rio de Janeiro, Brazil, October 2007. p. 399–410, MCT/INPE, 2007.
– G. Noyel, J. Angulo and D. Jeulin. “Fast computation of all pairs of geodesic distances”. Image
Analysis and Stereology, Vol. 30, 101–109, 2011.
6.3 Contribution de la morphologie math´ematique `a des
ap-proches tensorielles et m´etriques pour la classification en
images hyperspectrales
D´ecomposition par espace-´echelle morphologiques, repr´esentation tensorielle des images et r´eduction de la dimension par des m´ethodes multilin´eaires
Les m´ethodes lin´eaires de r´eduction de la dimension pour des images hyperspectrales type ACP (ou AFC) commencent toujours par “vectoriser” les diff´erentes composantes : on transforme chaque image scalaire dans un vecteur colonne de dimension ´egale au nombre de pixels. Ensuite, l’outil math´ematique fondamental pour trouver la base orthogonale de projection est la SVD. Ainsi, l’organi-sation spatiale des pixels dans chaque variable est perdue. D’autre part, les op´erateurs morphologiques g´eod´esiques (ouvertures/fermetures par reconstruction, et nivellements) permettent la construction d’espaces-´echelles qui d´ecomposent les structures d’une image scalaire dans diff´erentes ´echelles, tout en pr´eservant les contours des structures qui apparaissent dans une ´echelle particuli`ere.
Nous avons donc propos´e une exploration/r´eduction de la dimension des images hyperspectrales qui, d’une part, consid`ere la structure spatiale des images (chaque variable est un tenseur matrice et pas un vecteur), et d’autre part, consid`ere chaque image spectrale repr´esent´ee par sa d´ecomposition en diff´erentes ´echelles morphologiques (plutˆot qu’une matrice, chaque composante spectrale est un tenseur d’ordre trois). Au final, chaque image hyperspectrale est repr´esent´ee par un tenseur d’ordre 4 : les deux dimensions spatiales, la dimension li´ee `a la d´ecomposition multi-´echelle et la dimension li´ee au spectre. Nous avons utilis´e des outils math´ematiques de l’alg`ebre lin´eaire propos´es r´ecemment (la SVD d’ordre sup´erieur) pour r´eduire, et donc filtrer, simultan´ement les diff´erentes dimensions.
Nous avons montr´e que les r´esultats de classification obtenus dans ces espaces tensoriels spa-tiaux/spectraux/morphologiques sont comparables ou meilleurs que les m´ethodes propos´ees pr´ec´e-demment dans l’´etat-de-l’art. Pour bien maitriser ces outils puissants, nous avons ´etudi´e l’unicit´e de la repr´esentation obtenue ainsi que caract´eris´e en profondeur les diff´erents param`etres de l’approche ; par exemple, la discr´etisation dans la d´ecomposition morphologique par nivellement.
Distances morphologiques entre images pour la r´eduction de la dimension avec des m´ethodes nonlin´eaires
L’autre approche `a inspiration morphologique que nous avons propos´ee comme alternative pour r´eduire la dimension des images hyperspectrales s’appuie sur des m´ethodes nonlin´eaires, et notamment l’ACP `a noyau et ISOMAP (plongement isom´etrique). L’ingr´edient principal de ces m´ethodes est une distance pour comparer les canaux spectraux ; `a partir de cette distance on construit la matrice des paires de distances entre tous les canaux (matrice de Gramm). Avant notre ´etude, les deux familles de distances entre images qui avaient ´et´e consid´er´ees sont les distances pixels (e.g., distance euclidienne entre les images) et les distances entre les histogrammes des images (e.g., divergence de Kullback-Leibler).
Fig. 6.2 – Chemins g´eod´esiques et connexions pour la segmentation d’images hyperspectrales : haut, r´egions η−born´ees et boules µ−g´eod´esiques ; bas, calcul efficace du tableau de toutes les paires de distances g´eod´esiques.
Nous avons introduit deux nouvelles familles de distances de type morphologique pour comparer les composantes spectrales. Le premier type de distance entre images scalaires est une g´en´eralisation de la distance de Hausdorff (qui est d´efinie pour des ensembles), ´ecrite sous forme de dilatations. On calcule la distance de Hausdorff entre les ensembles de niveaux de la paire d’images, dont les histogrammes ont ´et´e au pr´ealable normalis´es, et finalement on prend la distance maximale entre toutes les paires. L’autre distance consiste `a utiliser l’op´erateur nivellement pour mettre chaque image dans le “rep`ere” de l’autre (un nivellement de la premi`ere image avec la deuxi`eme comme marqueur et un autre nivellement de la deuxi`eme avec la premi`ere comme marqueur). Ensuite nous pouvons utiliser une distance entre pixels pour comparer les deux images nivel´ees. Dans une autre variante, nous avons consid´er´e que les deux images se trouvent dans une vari´et´e topologique et que le nivellement partant de l’une vers l’autre, et vice-versa, d´efinit un chemin dans la vari´et´e par les diff´erentes ´etapes de dilatation/´erosion g´eod´esique du nivellement. Il est possible donc de d´efinir une distance “g´eod´esique” dans la vari´et´e qui correspond `a la somme cumul´ee des distances des ´etapes.
En plus de pouvoir comparer structurellement les images, les deux motivations de nos distances morphologiques ´etaient, d’une part, d’avoir des distances qui soient invariantes `a des transformations qui peuvent apparaitre en imagerie hyperspectrale (i.e., translation spatiale entre une bande spec-trale et les autres, sensibilit´e variable entre les diff´erentes bandes specspec-trales, etc. . .), et d’autre part, travailler avec des distances qui soient robustes au bruit (qui est aussi ind´ependant et variable entre les bandes). Nos r´esultats, en simulant sur les images r´eelles ce type de probl`emes, ont montr´e que ces nouvelles distances sont justement plus performantes pour la classification que directement les distances entre pixels ou histogrammes.
Principales publications
– S. Velasco-Forero and J. Angulo. “Morphological scale-space for hyperspectral images and dimensionality exploration using tensor modeling”. Proc. of IEEE WHISPERS’09 (First IEEE
GRSS Workshop on Hyperspectral Image and Signal Processing), Grenoble, France, August 2009.
– S. Velasco-Forero and J. Angulo. “Parameters selection of morphological scale-space decompo-sition for hyperspectral images using tensor modeling”. In Proc. of SPIE symposium on Defense,
Security, and Sensing : Algorithms and Technologies for Multispectral, Hyperspectral, and Ultraspectral Imagery XVI, SPIE Vol. 7695, Orlando, United States, April 2010.
– S. Velasco-Forero, J. Angulo and J. Chanussot. “Morphological image distances for hyperspectral dimensionality exploration using Kernel-PCA and ISOMAP”. Proc. of IEEE IGARSS’2009
(IEEE International Geoscience & Remote Sensing Symposium), Vol. III, 109–112, Cape Town, South
Africa, July 2009.