De l’espace-´echelle contra-harmonique gaussien `a l’espace-´echelle des dilatations/´erosions parabolo¨ıdales
La moyenne contra-harmonique d’ordre P est un estimateur de la valeur “repr´esentative” d’un ensemble de valeurs r´eelles, qui selon le choix de P , sera biais´ee vers les valeurs les plus hautes (P > 0) ou vers les valeurs les plus basses (P < 0). Ainsi, avec un P suffisamment ´elev´e positif (n´egatif), la moyenne contra-harmonique donne le supremum (l’infimum) de l’ensemble des valeurs. Nous avons commenc´e par montrer que le comportement asymptotique de la moyenne contra-harmonique est plus int´eressant que celui des P −normes (normes de Minkowski) pour approximer de mani`ere robuste la valeur de la dilatation et ´erosion plates.
Fig. 9.1 – LPE stochastique : haut, segmentations par r´ealisations de marqueurs al´eatoires ; milieu, estimation de la pdf des contours par le m´ethode de Parzen ; bas-gauche, calcul de la pdf dans le cas multi-´echelle ; bas-droite, segmentation semi-supervis´ee par r´egionalisation des germes.
En utilisant le formalisme de la moyenne contra-harmonique, nous avons introduit la notion de convolution contra-harmonique et en particulier, nous avons ´etudi´e le cas des noyaux gaussiens de convolutions. Nous avons introduit donc la notion d’espace-´echelle contra-harmonique gaussien qui d´epend de mani`ere monotone du param`etre de non-lin´earit´e P . L’´etude des cas limites nous a permit de montrer que pour une valeur de P positive (n´egative) tr`es large nous obtenons une dilatation (une ´erosion) plate, le cas P = 0 est celui de la convolution lin´eaire, et pour P > 0 (P < 0) nous obtenons un op´erateur non-lin´eaire qui se comporte asymptotiquement comme une dilatation (´erosion) parabolo¨ıdale. Nous avons donc red´ecouvert la connexion logarithmique qui existe entre la convolution lin´eaire par un certain kernel et la dilatation/´erosion par une fonction structurante qui est le logarithme du kernel ; et qui avait ´et´e montr´e pr´ec´edemment par d’autres approches.
G´en´eralisation de la diffusion et solution num´erique
Partant de l’´equivalence qu’il y a entre l’espace-´echelle gaussien et la r´esolution de l’´equation de diffusion lin´eaire, nous avons montr´e comment la convolution contra-harmonique gaussienne peut ˆetre transpos´ee `a la solution num´erique par diff´erences finies de l’´equation de diffusion, de mani`ere `a obtenir les pseudo-dilatations/´erosions par la non-lin´earisation de la solution num´erique de l’EDP de diffusion. Par ailleurs, nous avons aussi introduit un sch´ema num´erique alternatif o`u la non-lin´earisation contra-harmonique a lieu `a chaque temps d’int´egration : mˆeme si nous ne l’avons pas encore prouv´e, nous conjecturons que ce sch´ema doit correspondre asymptotiquement `a celui utilis´e pour r´esoudre l’EDP de type Hamilton-Jacobi associ´ee `a la dilatation/´erosion quadratique.
Non-lin´earisation des mod`eles de diffusion de Perona-Malik et de Weickert
Apr`es avoir consid´er´e la solution num´erique de la diffusion isotrope, nous avons aussi montr´e la validit´e de notre approche pour la non-lin´earisation de deux des mod`eles de diffusion adaptive les plus utilis´es de l’´etat de l’art : la diffusion non-lin´eaire de Perona-Malik o`u le coefficient de diffusion est localement calcul´e pour chaque pixel par une fonction qui p´enalise les valeurs fortes du gradient (les transition entre r´egions) et la diffusion anisotrope de Weickert qui adapte la diffusion localement selon un tenseur d’orientation qui permet de filtrer de mani`ere directionnelle.
Nous avons montr´e qu’avec le cadre contra-harmonique, nous pouvons obtenir facilement, en utili-sant les sch´emas num´eriques de diff´erences finies, des pseudo-dilatations/´erosions qui ne modifient pas les contours principaux de l’image (associ´es aux zones de fort gradient) ou qui suivent la coh´erence directionnelle des structures.
Non-lin´earisation de la diffusion complexe : Laplacien parabolique non-lin´eaire
Dans la derni`ere partie de cette s´erie de travaux, nous avons consid´er´e aussi le cas de la diffusion complexe : le coefficient de diffusion est un nombre complexe. Le mod`ele physique associ´e `a cette ´equation est la forme la plus simple de l’Equation de Schr¨odinger (lorsque le coefficient de diffu-sion est un imaginaire pur). A nouveau, nous avons appliqu´e notre formalisme de non-lin´earisation contra-harmonique que nous a permis en particulier de consid´erer le cas de diffusion complexe le plus pertinente pour le filtrage d’image : la phase du coefficient de diffusion est proche de 0. Dans ce cas-l`a, l’image complexe obtenue `a une partie r´eelle qui est la convolution par le kernel gaussien et la partie imaginaire la convolution par un kernel qui est asymptotiquement un filtre “laplacien of gaussian” (LoG) normalis´e. Lorsqu’on introduit notre non-lin´earisation, on obtient une image complexe o`u la partie r´eelle est la dilatation/´erosion par une fonction structurante parabolo¨ıdale et la partie imagi-naire ´etant compos´ee d’un op´erateur compos´e qui peut ˆetre interpr´et´e comme une d´eriv´ee seconde morphologique r´egularis´ee.
Nous avons ´etudi´e tr`es en d´etails ce nouvel op´erateur morphologique, que nous avons appel´e le laplacien parabolique non-lin´eaire, en le comparant avec son ´equivalant lin´eaire LoG, pour les tˆaches de rehaussement du contraste et de d´etection robuste de contours.
Principales publications
– J. Angulo. “Pseudo-Morphological Image Diffusion using the Counter-Harmonic Paradigm”. In Proc. of Acivs’2010 (2010 Advanced Concepts for Intelligent Vision Systems), LNCS 6474, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, Part I, p. 426–437, Sydney, Australia, December 2010.
– J. Angulo. “Non-Linearization of Free Schrodinger Equation and Pseudo-Morphological Complex Diffusion Operators”. In IEEE ICIP’11 (2011 IEEE International Conference on Image
Processing), Brussels, September 2011.
– J. Angulo. “Parabolic Nonlinear Laplacian : Morphological Counterpart of Laplacian of Gaussian”. In 13th International Congress of Stereology (ICS-13), Beijing, China, October 2011.