Mod` eles de d´ efinition de l’incertitude

Dans cette partie, cette ´etude bibliographique s’est appuy´ee sur des travaux concer-nant les incertitudes li´ees au tol´erancement qui ont ´et´e r´ealis´ee par Linares [Linares (2004)]

afin de mod´eliser l’incertitude caus´ee par les proc´ed´es de fabrication et de contrˆole. L’ob-jectif ´etant de montrer une approche de la d´etermination des incertitudes qui a trait au domaine du tol´erancement. Cela a pour objectif de trouver quels sont les impacts li´es `a certaines hypoth`eses, quels sont les moyens de quantifier leur influence et quels sont les moyens de les minimiser.

Dans le cadre de ses travaux Linares a d´ecrit l’apparition des d´efauts (fabrication et contrˆole) grˆace `a une loi gaussienne de r´epartition des d´efauts. Il a ainsi introduit le concept d’Enveloppe Limite Statistique (E.L.S.) bas´e sur la mod´elisation des variations par un vecteur al´eatoire. Cela correspond `a une zone spatiale dans laquelle l’´el´ement

g´eom´etrique ´etudi´e se situe.

Ce mod`ele prend en compte :

– la variabilit´e de la surface (d´efaut d’´etat de surface, variabilit´e des proc´ed´es, etc), – les param`etres intrins`eques de la surface d´efinissant l’´etendue de la surface, – les param`etres d´efinissant la position et l’orientation de l’estimation de l’´el´ement

g´eom´etrique d´eriv´e.

Les caract´eristiques de l’E.L.S. peuvent ˆetre d´etermin´ees par une mod´elisation par vecteur al´eatoire. Cela revient `a mod´eliser l’incertitude par de la variabilit´e sur les composantes du vecteur mod´elisant la surface.

3.3.1 Variance d’association d’un ´el´ement

Nous allons revenir au cas de la figure 1.25, et aux incertitudes li´ees `a la description de la r´ef´erence. Afin de simplifier la mod´elisation le probl`eme sera consid´er´e comme plan.

Ainsi, il est possible d’´ecrire le vecteur directeur −→a de la droite, dont les composantes explicatives sont (a0, a1). Le point caract´eristique de la droite est C. Le vecteur esp´erance est not´e−−→

E(a) et la matrice de variance covariance Cov(a).

−

La m´ethode d’analyse statistique s’effectue en utilisant un mod`ele de statistique gaussien de variance ´egale `a σ² (homoc´edastenticit´e), classique dans le cas des d´efauts dˆus `a la fabrication et au contrˆole. Le but de l’approche statistique est de maximiser le produit des probabilit´es conditionnelles des points d’appartenir `a la surface associ´ee par la m´ethode du maximum de vraisemblance. Ainsi, la probabilit´e qu’un point de coordonn´ees (xk, yk) appartienne `a la droite s’´ecrit :

f(yk) = 1 La probabilit´e que tous les points appartiennent `a la droite s’´ecrit :

f(y1, y2, ..., yN) = Afin d’obtenir le maximum de vraisemblance, il faut maximiser le r´esultat pr´ec´edent, ce qui revient `a minimiser le terme de l’exposant.

Le calcul du moment d’ordre 1 du vecteur al´eatoire donne donc :

−

En prenant comme hypoth`eses l’ind´ependance des mesures (cov(yk, yi) = 0, ∀ietk) et une variance constante pour tous lesyk, la covariance du vecteurapeut ˆetre d´etermin´ee.

Cov(a) = σp2

L’incertitude, selon l’axe−→y, li´ee `a la droite peut alors ˆetre d´etermin´ee en n’importe quel point de l’´el´ement g´eom´etrique en utilisant le mod`ele de propagation classique V ar(y) = J(y).Cov(a).J^t(y) C’est pourquoi, dans le cas de la droite, plus un point est ´eloign´e du point ca-ract´eristique de la surface (X_j augmente), plus l’incertitude (V ar(y)) augmente.

De plus, grˆace `a ces r´esultats, plusieurs constatations peuvent ˆetre effectu´ees. Tout d’abord, la minimisation de l’incertitude li´ee `a l’association d’un ´el´ement id´eal sur un

´el´ement non-id´eal passe par la minimisation des composantes de la matrice covariante du vecteur directeur Cov(a),1.5. En prenantP

xk = 0 (´equir´epartition des points extraits par rapport au point caract´eristique), la matrice prend la forme de la matrice 1.8. La

minimisation se poursuit en augmentant le nombre de pointsN et l’´ecartement des points Px²_k. Ainsi, la variance n’int´egrera plus le d´efaut de forme de l’´el´ement g´eom´etrique mais seulement la r´ep´etabilit´e du moyen de mesurage. Il faut donc utiliser ce r´esultat avec parcimonie, et s’appliquer `a r´epartir les points d’extraction dans le cas de pi`eces avec d´efauts de forme [Weckenmann et al. (1995)].

Cov(a) =

En conclusion, afin de mesurer le d´efaut de forme d’un ´el´ement, il convient de r´epartir les points extraits. Par contre, dans le but de minimiser les incertitudes li´ees `a l’asso-ciation d’un ´el´ement id´eal `a une surface, il vaut mieux r´epartir les points extraits aux extr´emit´es de l’´el´ement et d’en prendre un grand nombre.

Apr`es avoir montr´e comment minimiser l’impact des incertitudes sur l’association d’un ´el´ement id´eal `a un ´el´ement non-id´eal, la suite va s’int´eresser aux incertitudes qui apparaissent lors de la d´etermination d’une caract´eristique. Pour cela, la sp´ecification de la figure1.25 sera utilis´ee comme exemple.

3.3.2 Variance d’une caract´eristique

La sp´ecification de position est caract´eris´ee par une distance entre une droite (´el´ement de r´ef´erence) et un point M (appartenant `a l’´el´ement r´ef´erenc´e), quels que soient les

´el´ements g´eom´etriques utilis´es afin de mod´eliser le r´eel. La g´eom´etrie de la pi`ece ´etant issue d’un processus de fabrication, la r´epartition des d´efauts est toujours consid´er´ee gaussienne.

Figure 1.26 – Calcul de la distance point-droite

La diff´erence avec le mod`ele pr´ec´edent vient du point M caract´eris´e par les donn´ees

suivantes : La matrice des variations est alors la suivante :

J =

La formule de propagation nous renvoie enfin le r´esultat suivant qui ressemble `a celui de l’´equation1.7 auquel on a ajout´e l’influence des incertitudes li´ees au point M.

V ar(d) =V ar(Y) +

V ar(a0) + 2.X.Cov(a0, a1) +X².V ar(a1)

(1.12) Cette ´equation permet de constater que plus le point mesur´e est ´eloign´e du point caract´eristique de la droite (plus X est grand), plus les incertitudes sont importantes.

Dans le contexte du tol´erancement, cela signifie que, une r´eduction lors de la conception du param`etre L de la figure 1.25 permettra de minimiser les incertitudes. De la mˆeme mani`ere, les quatre distances fondamentales peuvent ˆetre mod´elis´ees et la conclusion pr´ec´edente peut ˆetre ´etendue `a leur cas.

3.3.3 Variance due `a des constructions

Dans cette troisi`eme partie, le concept de construction va ˆetre abord´e. Dans un premier temps, un parall`ele sera fait avec la m´etrologie, puis une conclusion li´ee au tol´erancement sera apport´ee.

En m´etrologie, une s´erie d’exp´eriences ont ´et´e men´ees afin de d´eterminer l’impact de l’enchaˆınement des op´erations sur les incertitudes [Bachmann (2003)]. Une fonction de transfert a ´et´e d´efinie, elle permet le passage de l’incertitude de mesure `a celle sur

la distance. Elle doit ˆetre minimale afin de ne pas propager d’incertitudes. Cela signifie que le nombre de constructions augmente l’incertitude.

Par exemple, dans le cas de la sp´ecification de position de la figure 1.25, il existe plusieurs gammes de mesurage disponibles, par exemple, il est possible d’ :

– associer deux cercles aux extr´emit´es de la surface cylindrique dont le rayon est le plus petit et deconstruire la droite passant par le centre de ces deux cercles et de l’utiliser en r´ef´erence sp´ecifi´ee,

– associer un cylindre id´eal et d’utiliser son axe en r´ef´erence sp´ecifi´ee.

Ensuite, les distances entre les centres des deux cercles (aux extr´emit´es de la surface cylindrique dont le rayon est le plus grand) et la r´ef´erence sp´ecifi´ee sont calcul´ees . La simulation montre que les ´ecarts types constat´es sur ces distances sont deux fois plus importants avec la premi`ere solution ce qui confirme le fait qu’augmenter le nombre de constructions augmente les incertitudes.

De la mˆeme mani`ere, dans une ´etude de tol´erancement, le nombre d’op´erations de constructions qui permettent l’association d’un ´el´ement id´eal `a un ´el´ement non-id´eal doit ˆetre minimis´e. Cela montre que le fait de ne pas d´efinir de mani`ere univoque la construction qui associe des ´el´ements id´eaux au skin model est g´en´erateur d’incertitudes.

3.3.4 Conclusion

Dans la premi`ere partie qui traitait des incertitudes de corr´elation, l’importance de la traduction univoque du besoin fonctionnel a ´et´e pr´esent´ee. Elle permet de constater qu’il est inutile d’am´eliorer la sp´ecification des m´ecanismes si les sp´ecifications g´eom´etriques ne correspondent pas au besoin fonctionnel. Une des cons´equences de cette remarque sera qu’il faudra utiliser dans cette ´etude un langage de sp´ecification qui diminue ces ambigu¨ıt´es.

Dans la seconde partie, trois grandes remarques ont ´et´e faites `a propos de l’impact des incertitudes sur le tol´erancement, elles concernaient :

– l’impact de l’´etendue des ´el´ements g´eom´etriques, – l’impact de l’espacement des ´el´ements g´eom´etriques, – l’impact du d´efaut de forme des ´el´ements de r´ef´erence, – l’impact des op´erations de construction.

Cette ´etude ne permet pas de lister l’ensemble des incertitudes qui peuvent apparaˆıtre lors d’une ´etude de tol´erancement mais cela permet de mettre en ´evidence le fait que

le probl`eme des incertitudes doit ˆetre pris en consid´eration. Ainsi, dans la suite de ce travail, `a chaque ´etape de la m´ethode, la mise en ´evidence de l’apparition d’incertitudes sera montr´ee. Quant cela est possible, leur impact sera minimis´e. Notamment lors de l’utilisation des op´erateurs d´efinis par le langage GeoSpelling.

Un des moyens propos´es par ce travail de th`ese afin de r´eduire ces incertitudes, est la prise en compte du tol´erancement au plus tˆot dans le cycle de conception. En effet, cela permettrait de tenir compte des sp´ecifications (et des incertitudes qui vont avec) lors de la d´efinition des param`etres du m´ecanisme (´etendue des surfaces, dimensions intrins`eques,...). Ce nouveau principe de conception sera introduit dans le chapitre 2.

Jusqu’ici, l’´etat de l’art a permis de mettre en avant le contexte des sp´ecifications g´eom´etriques et des incertitudes car l’objectif de ce travail de th`ese est de fournir une m´ethode d’assistance `a la conception qui minimise les incertitudes. La suite de cette

´etude bibliographique va consister `a pr´esenter diff´erents travaux qui ont propos´e des m´ethodes de simulation du comportement des m´ecanismes avec la prise en compte des variations g´eom´etriques. Ils serviront de base `a la mod´elisation math´ematique propos´ee dans les chapitres suivants.