La conception robuste

L’objectif de cette th`ese est de proposer une sp´ecification g´eom´etrique des pi`eces afin de d´efinir les limites acceptables de leur variations. En effet, toute conception est soumise `a des variations. Ces variations peuvent entraˆıner des conceptions non-robustes, on´ereuse et d´efaillantes.

La r´eduction des variations est reconnue universellement comme ´etant la cl´e de l’am´elioration de la fiabilit´e et de la productivit´e. C’est cette solution qui sera pro-pos´ee dans la suite de la th`ese, en proposant une sp´ecification des limites des variations pour garantir le respect des conditions fonctionnelles par le m´ecanisme.

Cependant, une autre voie propose non pas de r´eduire les variations mais de minimi-ser leur influence. En effet, selon Taguchi, au lieu d’´eliminer ou de r´eduire les causes de la variabilit´e des performances d’un produit, il est pr´ef´erable d’ajuster sa conception afin de le rendre insensible aux causes des variations. La conception robuste a pour objectif d’optimiser les param`etres de conception d’un produit et de son proc´ed´e de fabrication afin de r´eduire la sensibilit´e de ses performances aux variations.

Le concept de conception robuste a ´et´e introduit pour la premi`ere fois par Taguchi [Taguchi (1978)]. Il a propos´e de transformer le contrˆole de qualit´e en ligne en contrˆole de qualit´e hors ligne. C’est cette ´etape qui est `a l’origine du concept de qualit´e robuste.

Pourtant, ces m´ethodes n’ont ´et´e utilis´ees que plus tard dans l’industrie [Phadke (1989)], [Taguchi (1993)] et [Wu et Wu (2000)]. Cette nouvelle approche a ´et´e abord´ee par les in-dustriels en parall`ele avec la m´ethode de conception ditesix-sigma[Thornton (2001)].

Cette derni`ere a finalement ´et´e abandonn´ee pour laisser toute la place aux m´ethodes de conception robuste.

La mise en ´equation d’un probl`eme de conception robuste passe par la mise en place de trois ensembles :

– l’ensemble des variables de conception, – l’ensemble des param`etres de conception, – l’ensemble des fonctions performances.

Certains travaux [Al-Widyan et Angeles (2005)] introduisent les conceptions globa-lement ou locagloba-lement robustes. Dans notre cas de figure, seules les conceptions locales seront trait´ees.

De plus, certains travaux [Caro (2004)] ont propos´e de prendre en compte les di-mensions des m´ecanismes afin de les rendre plus robustes. Ils ont ensuite propos´e des m´ethodes permettant d’optimiser ses dimensions en passant par une ´etape de synth`ese des tol´erances [Caro et al.(2005)]. L’objectif de cette partie est de montrer comment une

´etude de conception robuste peut ˆetre men´ee sur un m´ecanisme grˆace `a la simulation de ses variations g´eom´etriques par le torseur des petits d´eplacements.

Les variables de conception

Les variables de conception (VC) d’un syst`eme m´ecanique sont g´en´eralement ses dimensions (distances, angles,...). Les valeurs nominales sont contrˆolables et calcul´ees par le concepteur. Par contre, des variations sur ces caract´eristiques existent. Ces variables sont regroup´ees dans le vecteur x de dimension l.

x= [x1 x2 x3 ... xl]^T (2.1) Ces variables peuvent ˆetre limit´ees par la sp´ecification g´eom´etrique des pi`eces.

Les param`etres de conception

Les param`etres de conception (PC) d´ecrivent l’environnement du syst`eme. Ils ne peuvent pas ˆetre maˆıtris´es car leurs variations sont al´eatoires. Il peut s’agir de donn´ees

telles que la temp´erature, la pression ambiante, le niveau d’humidit´e ou mˆeme l’utili-sateur du produit con¸cu. Ces param`etres sont group´es dans le vecteur p de dimension m :

p= [p1 p2 p3 ... pm]^T (2.2) Ces param`etres ne peuvent pas ˆetre limit´ees. Dans le cas de cette th`ese, mˆeme si l’in-fluence de ces param`etres peut ˆetre limit´ee en modifiant des param`etres g´eom´etriques du m´ecanisme, ils ne seront pas ´etudi´es. En effet, les conditions fonctionnelles afin de pouvoir ˆetre simul´ees sont traduites en condition de montabilit´e et g´eom´etriques. Cela signifie que les op´erations de conception robuste qui concernent les param`etres de concep-tion devront ˆetre men´ees lors du passage des condiconcep-tions foncconcep-tionnelles aux condiconcep-tions g´eom´etriques.

Les fonctions performances

Les fonctions performances (FP) d’un syst`eme m´ecanique peuvent ˆetre multiples.

Elles sont regroup´ees dans le vecteurf de dimension n.

f = [f1 f2 f3 ... f_n]^T (2.3) Les fonctions performances des syst`emes m´ecaniques ne d´ependent alors que des variables et des param`etres de conception :

f =f(x, p) (2.4)

Dans cette th`ese, les seules fonctions performances sont des conditions g´eom´etriques.

Il s’agit de distances et d’angles entre des ´el´ements g´eom´etriques et dans notre cas, elles ne d´ependent que des variables de conception :

f =f(x) (2.5)

L’objectif est alors de calculer x afin de minimiser f(x). Pour cela, il faut s’appuyer sur les approches d’analyse de la sensibilit´e des performances d’un syst`eme m´ecanique [Zhu et Ting (2001)], [Al-Widyan et Angeles (2002)]. Les composantes de x sont sup-pos´ees ind´ependantes, les variations def, ∂f = [∂f1 ... ∂fn]^T sont simul´ees en calculant

les termes du premier ordre du d´eveloppement en s´eries de Taylor de la fonction f :

∂fi =

l

X

j=1

∂f_i(x, p)

∂xj

∂xj, i∈[1, n] (2.6)

Ce qui peut ˆetre mis sous forme de matrices,

∂f =Jx ∂x (2.7)

Dans le cas de la simulation des conditions g´eom´etriques `a partir des composantes des torseurs de petits d´eplacements, les relations qui lient la variation de chaque condition g´eom´etriquefi aux composantes xi des torseurs des petits d´eplacements est une relation lin´eaire d’ordre 1.

fi =cⁱ1×x1+cⁱ1 ×x1+...+cⁱ_l×xl (2.8) Les coefficientscⁱ_j sont donc des constantes, l’´equation2.7permet d’´etablir la relation suivante :

J_x(i, j) =cⁱ_j, ∀i, j (2.9)

Ce r´esultat montre que dans les cas de figure ´etudi´es dans cette th`ese, pour la conception robuste, tous les coefficients des matrices Jacobiennes de sensibilit´e sont des constantes. L’objectif est de minimiser leur valeur, afin de minimiser l’influence des variations qui leurs sont associ´ees. Ainsi, cela permettra de minimiser les variations li´ees

`a la condition g´eom´etrique.

L’´etude pr´ec´edente a montr´e que la mise en place de fonctions de performances, `a partir des conditions g´eom´etriques qui portaient sur le m´ecanisme, permettait de r´ealiser une ´etude de robustesse. Ainsi, en modifiant certains choix de conception concernant les dimensions (angles ou distances) des pi`eces, il est possible d’am´eliorer la conception du m´ecanisme et de quantifier cette am´elioration. Les param`etres impact´es par ces choix de conception seront appel´es param`etres g´eom´etriques, car ils ne concernent que la g´eom´etrie du m´ecanisme.

Une autre source de conditions existe sur le m´ecanisme, il s’agit des conditions de montabilit´e. Une condition de montabilit´e est binaire, lA montabilit´e est ou n’est pas possible. Ainsi, il ne peut pas ˆetre appliqu´e `a ce type de probl`eme la mˆeme simulation que celle propos´ee sur les conditions g´eom´etriques.

Pourtant, toute la probl´ematique des conditions de montabilit´e est math´ematique-ment d´ecrite par les ´equations de compatibilit´e. Elles montrent que les variations g´eom´e-triques sont responsables de la non-montabilit´e des m´ecanismes. Il faut alors revenir `a la d´efinition propos´ee par Taguchi, au lieu d’´eliminer ou de r´eduire les causes de la variabilit´e des performances d’un produit, il est pr´ef´erable d’ajuster sa conception afin de le rendre insensible aux causes des variations. La modification de conception qu’il conseille peut ˆetre, dans le cas de figure des conditions de montabilit´e, la modification des liaisons en vue de rendre le syst`eme isostatique. La cons´equence de ce choix serait la suppression des ´equations de compatibilit´e, ce qui traduirait la garantie de la montabilit´e du m´ecanisme. Les param`etres impact´es par ces choix de conception seront appel´es des param`etres architecturaux, car ils ne concernent que l’architecture du m´ecanisme.

Dans les deux cas de figure, il ne faut r´ealiser ces changements de conception que lors-qu’ils ne sont pas en contradiction avec d’autres conditions qui portent sur le m´ecanisme.