Nous cherchons `a d´ecrire l’´evolution temporelle du film liquide mince qui est cr´e´e lorsqu’une fibre horizontale parfaitement mouillante, de demi-´epaisseur H, est tir´ee verticalement hors d’un bain de liquide pur `a une vitesse constante U . Le liquide est suppos´e incompressible et newtonien, de viscosit´e dynamique η, de masse volumique
g x y hstat(x) H 0 x0 L0 x y U h(x,t) 0 x0 L(t) t = 0 t > 0
Figure 6.3 – Sch´emas du film liquide consid´er´e ici, d´efinissant les notations et en particulier les positions x0 et L(t) o`u l’on impose les conditions aux limites. La configuration initiale est pr´esent´ee sur le sch´ema de gauche : un m´enisque statique connecte la fibre horizontale, initialement `a la position L0, au bain de liquide, dont la surface est situ´ee en x = 0. Le sch´ema de droite montre le film `a un instant t ult´erieur, pendant le tirage `a une vitesse constante U .
sym´etrique par rapport `a l’axe vertical, si bien que seule la demi-´epaisseur h(x, t) sera consid´er´ee dans la suite.
6.2.1 Probl`eme dimensionn´e
´
Equations gouvernant le syst`eme
Au cours de la g´en´eration du film, les champs de vitesse verticale et horizontale, not´es respectivement u(x, y, t) et v(x, y, t), et le champ de pression P (x, y, t) sont r´egis par les ´equations de Navier-Stokes (2.1), l’´equation de continuit´e (2.2), l’´equation de conservation de la masse (2.3) et l’´equilibre des contraintes aux interfaces liquide/air
¯P¯
v− ¯P¯` · n + fvdW+ ∇s· ¯P¯s= 0, (6.9) dans les notations de la section 1.2. Cette derni`ere ´equation fait apparaˆıtre un terme de suppl´ementaire de force surfacique fvdW, correspondant aux interactions de van der Waals. En vertu des ´equations (2.36) et (2.37), ce terme s’exprime pour un film mince d’´epaisseur 2h comme
fvdW ≡ ΠvdW(h) n = − AH
48πh3 n, (6.10)
o`u AH est la constante de Hamaker. En projection sur la normale et la tangente `a l’interface, l’´equilibre m´ecanique (6.9) s’´ecrit (en y = h(x, t))
Patm− P + n · ¯σ¯`· n − ΠvdW = 2γK, (6.11a) t · ¯σ¯`· n = 0, (6.11b) o`u Patm est la pression atmosph´erique et K la courbure de l’interface, donn´ee par l’´equation (2.6). On rappelle enfin que les contraintes visqueuses normale et tangentielle, n · ¯σ¯`· n et t · ¯σ¯`· n, s’expriment en fonction des champs de vitesses et d’´epaisseur `a l’aide des ´equations (2.9).
´
Echelles caract´eristiques et approximation de lubrification
En supposant que les longueurs caract´eristiques dans les directions x et y sont respectivement la longueur capillaire `c=pγ/ρg et l’´epaisseur de la fibre H, le rapport d’aspect ε est d´efini comme
ε = H `c
. (6.12)
On se place dans le cadre de l’approximation de lubrification en consid´erant que ε 1. La demi-´epaisseur h du film est normalis´ee par H et le temps t par `c/U . L’´echelle typique de pression est prise ´egale `a η U/`c, ce qui correspond `a une description de type extensionnel.
En suivant l’approche de Schwartz & Roy (voir paragraphe 6.1.2), nous d´ecomposons le champ de vitesse verticale u(x, y, t) en une contribution d’´ecoulement bouchon u0(x, t) et une contribution cisaill´ee u1(x, y, t), de sorte que u(x, y, t) = u0(x, t) + u1(x, y, t). Dans le contexte des films savonneux, la condition de non-glissement u1(x, h(x), t) = 0 est impos´ee `a l’interface liquide/air pour la composante cisaill´ee u1 [94], si bien que la vitesse interfaciale est ´egale `a u0. Il s’agit d’un choix commode en pr´esence de tensioactifs, o`u la vitesse interfaciale intervient dans l’´equation de transport des tensioactifs et dans l’´equilibre des contraintes `a l’interface. Dans le cas pr´esent des films de liquide pur, la vitesse `a l’interface n’a pas besoin d’ˆetre ´egale `a u0 et nous sommes libres d’imposer une condition de flux nul pour la contribution cisaill´ee u1, c’est-`a-dire
Z h(x) 0
u1(x, y, t) dy = 0, (6.13) de sorte que la vitesse verticale moyenne ¯u dans le film est ´egale `a u0.
En l’absence de contrainte tangentielle `a l’interface, on s’attend `a ce que la contribu-tion bouchon u0 soit la contribution dominante `a la vitesse verticale u ; u0 est donc normalis´ee par la vitesse de tirage U . La contribution cisaill´ee u1 `a la vitesse verticale est trait´ee comme une correction `a l’´ecoulement bouchon et suppos´ee d’ordre ε2U . Fi-nalement, l’´equation de continuit´e impose que la vitesse horizontale v varie comme εU . Sous ces hypoth`eses, les ´equations (2.1) `a (2.9) sont adimensionn´ees `a l’aide des ´echelles donn´ees au d´ebut de ce paragraphe. Dans le cadre de l’approximation de lubrification, les ´equations sans dimension obtenues sont tronqu´ees `a l’ordre 2 en ε, `a l’exception de la courbure K, dont on conserve la forme compl`ete pour pouvoir effectuer le raccord avec le m´enisque statique au niveau du bain (voir paragraphe 6.2.3). En remettant les dimensions, les ´equations gouvernant le syst`eme deviennent
• ´Equations de Navier-Stokes : ρ (∂tu0+ u0∂xu0) = −∂xP + η (∂xxu0+ ∂yyu1) − ρg, (6.14a) 0 = −∂yP + η ∂yyv, (6.14b) • ´Equation de continuit´e : ∂xu0+ ∂yv = 0, (6.15) • Conservation de la masse : ∂th + ∂x(u0h) = 0, (6.16) • ´Equilibre des contraintes `a l’interface liquide/air en y = h(x, t)
Patm− P − 2η ∂xu0− ΠvdW = 2γK, (6.17a) ∂yu1+ ∂xv − 4∂xh ∂xu0 = 0. (6.17b)
En utilisant l’´equation de continuit´e (6.15) et la condition de sym´etrie v(x, y = 0, t) = 0, la vitesse horizontale s’exprime en fonction de u0 comme v(x, y, t) = −∂xu0y et peut donc ˆetre ´elimin´ee du syst`eme. De plus, la contribution cisaill´ee u1 `a la vitesse verticale s’obtient par int´egration de l’´equation (6.14a) et s’´ecrit
u1(x, y, t) = 1 2η[∂xP + ρg − η∂xxu0 + ρ(∂tu0+ u0∂xu0)] y2− h 2 3 , (6.18)
o`u le gradient de pression est donn´e par l’´equilibre des contraintes normales (6.17a). La correction cisaill´ee u1peut ainsi ˆetre ´elimin´ee de l’´equilibre des contraintes tangentielles (6.17b), qui devient
ρh(∂tu0+ u0∂xu0) − (2γ∂xK − ρg − ∂xΠvdW) h − 4η ∂x(h∂xu0) = 0. (6.19) Le syst`eme d’´equations dimensionn´ees `a r´esoudre est finalement constitu´e de trois ´ equa-tions – la conservation de la masse (6.16) et l’´equilibre des contraintes tangentielles (6.19), compl´et´ees par la d´efinition de la courbure (2.6) – pour trois champs inconnus : l’´epaisseur h, la vitesse moyenne u0 et la courbure K.
6.2.2 Probl`eme sans dimension
Nombres adimensionn´es
En utilisant les ´echelles d´efinies dans le paragraphe 6.2.1 pour adimensionner les ´
equations (6.16) et (6.19), le syst`eme d’´equations devient
∂th + ∂x(u0h) = 0, (6.20a) We (∂tu0 + u0∂xu0)h − 2ε∂xK − 1 + A∂xh h4 h − 4Ca ∂x(h∂xu0) = 0, (6.20b) o`u apparaˆıt la courbure sans dimension
K(x, t) = 1 2
∂xxh
[1 + (ε∂xh)2]3/2. (6.21) Le syst`eme (6.20) est gouvern´e par quatre param`etres sans dimension : ε, Ca, We et A. Nous avons d´ej`a rencontr´e le rapport d’aspect ε, d´efini par l’´equation (6.12), et le nombre capillaire Ca = η U/γ. Le nombre de Weber
We ≡ ρ U
2`c
γ (6.22)
quantifie l’importance relative des effets inertiels par rapport aux effets capillaires. Enfin, le nombre de Hamaker A, d´efini par
A = AH`c
16πγH3, (6.23)
pilote les interactions de van der Waals, attractives, qui vont mener `a la rupture du film lorsque celui-ci sera devenu suffisamment mince (i.e. d’´epaisseur typiquement inf´erieure `
Ordres de grandeur
Les param`etres physico-chimiques dimensionn´es que nous impl´ementons dans la simulation sont ceux de l’huile silicone V 1000 qui sera utilis´ee dans l’´etude exp´ erimen-tale de la section 6.4, `a savoir η = 1.00 Pa · s, ρ = 970 kg/m3, γ = 21.1 mN/m et AH = 4.4 × 10−20 J, ce qui donne une longueur capillaire `c= 1.49 mm.
Pour un liquide donn´e, les param`etres qui peuvent ˆetre chang´es exp´erimentalement sont la vitesse de tirage U et l’´epaisseur H de la fibre. Dans la simulation, ces grandeurs seront vari´ees dans les gammes 0.001 mm/s 6 U 6 30 mm/s et 1 µm 6 H 6 150 µm, proches des exp´eriences. En cons´equence, les param`etres sans dimension introduits au paragraphe pr´ec´edent varient dans les intervalles suivants :
5 × 10−5 6 Ca 6 1, (6.24a) 7 × 10−11 6 We 6 0.06, (6.24b) 6 × 10−11 6 A 6 6 × 10−5, (6.24c) 7 × 10−4 6 ε 6 0.1. (6.24d) Il est utile de noter que le nombre de Weber We et le nombre de Hamaker A peuvent respectivement ˆetre r´e´ecrits en fonction de Ca et ε comme
We = Ca Oh 2 avec Oh ≡ √η ργ`c (6.25) et A = A 0 ε3 avec A0 ≡ AH 16πγ`2 c . (6.26)
Le nombre de Ohnesorge Oh et la constante de Hamaker adimensionn´ee A0 ne d´ e-pendent que des propri´et´es du liquide. Ainsi, pour un liquide donn´e, les seuls nombres sans dimension ind´ependants sont Ca et ε.
6.2.3 Conditions initiales et aux limites
Conditions initiales
Nous consid´erons la configuration initiale repr´esent´ee sur le panneau de gauche de la figure 6.3, o`u le fil se trouve `a t = 0 `a une position (adimensionn´ee) L0 au-dessus de la surface du bain de liquide. Il a ´et´e montr´e [44] (voir paragraphe 6.1.1) qu’un m´enisque statique peut exister entre la fibre et la bain pour L0 6 2 et que son profil d’´epaisseur est donn´e par l’expression analytique (6.2).
Les conditions initiales sans dimension correspondant au m´enisque statique s’´ecrivent alors
h(0, x) = hstat(x), (6.27a)
u0(0, x) = 0. (6.27b)
Mˆeme si aucune d´eriv´ee temporelle de la pente h0 et la courbure K n’apparaissent dans les ´equations, nous imposons ´egalement les conditions initiales h0(0, x) = h0stat(x) et K(0, x) = x/2ε afin d’aider la convergence vers la solution initiale.
Conditions aux limites
Cinq conditions aux limites doivent ˆetre fournies : trois sur l’´epaisseur h (ou, de mani`ere ´equivalente, deux sur h et une sur la courbure K) et deux sur la vitesse verticale moyenne u0. Nous choisissons une position x0 dans le m´enisque statique, proche de la surface du bain de liquide en x = 0 et telle que 0 < x0 < L0, comme sch´ematis´e sur la figure 6.3. Les conditions aux limites adimensionn´ees suivantes sont alors impos´ees ` a cette position : ∂xh(t, x0) = h0stat(x0), (6.28a) K(t, x0) = x0 2ε, (6.28b) ∂xu0(t, x0) = 0, (6.28c) o`u le prime symbolise la d´eriv´ee par rapport `a la coordonn´ee verticale x. Les conditions aux limites restantes sont fix´ees au niveau de la fibre, qui se d´eplace vers le haut `a une vitesse constante U et a donc pour position adimensionn´ee L(t) = L0+ t :
h(t, L(t)) = 1, (6.29a)
u0(t, L(t)) = 1. (6.29b) Les r´esultats du mod`ele doivent ˆetre ind´ependants de la position arbitraire x0 choisie dans le m´enisque statique, ainsi que de la position initiale de la fibre L0. Nous avons donc v´erifi´e que notre observable d’int´erˆet, la longueur L∗ du film au moment de sa rupture, ne varie pas de plus de 0.3% pour 0.01 6 x0 6 0.5 (voir figure 6.4a). Nous fixons pour la suite x0 = 0.1, valeur interm´ediaire permettant d’´eviter les grands gradients d’´epaisseur au voisinage de la surface du bain x = 0, tout en conservant un domaine initial de taille raisonnable. Il est en effet avantageux d’avoir le plus grand domaine initial possible – donc le plus grand nombre de mailles embarqu´ees – de mani`ere `a ce que la simulation conserve une bonne r´esolution spatiale quand le r´eseau de mailles est ´
etir´e lors du tirage du film.
Nous avons ´egalement v´erifi´e que la position initiale L0 de la fibre ne change pas la longueur maximale du film de plus de 1% tant que x0 L0 6 √2 (voir figure 6.4b). La position initiale de la fibre est dor´enavant fix´ee `a sa valeur la plus grande possible dans cet intervalle, `a savoir L0 =√
2. Cette valeur a le double int´erˆet de maximiser la taille du domaine initial et d’ˆetre celle utilis´ee dans le travail de M. Heller [44], auquel nous souhaitons comparer nos r´esultats.
R´esolution du mod`ele
Le syst`eme d’´equations diff´erentielles aux d´eriv´ees partielles (6.20) et (6.21), assorti des conditions initiales et aux limites donn´ees dans le paragraphe 6.2.3, est r´esolu en utilisant le solver direct MUMPS de COMSOL 5.0. Comme le probl`eme comprend une condition aux limites mobile – la fibre qui monte `a vitesse constante pour cr´eer le film – la longueur du domaine de r´esolution change avec le temps. La d´eformation du r´eseau de mailles est alors prescrite par un algorithme Arbitrary Lagrangian Eulerian (ALE).
0 . 0 1 0 . 1 1 0 1 2 3 4 L * x 0 0 . 0 1 0 . 1 1 3 . 4 8 3 . 4 9 3 . 5 0 3 . 5 1 3 . 5 2
(a) Influence de la position x0 choisie dans le m´enisque statique, pour L0=√
2 fix´ee. 0 . 0 0 . 5 1 . 0 1 . 5 2 . 0 0 1 2 3 4 L * L 0 0 . 0 0 . 5 1 . 0 1 . 5 2 . 0 3 . 4 0 3 . 4 5 3 . 5 0 3 . 5 5
(b) Influence de la hauteur L0 du m´enisque sta-tique initial, pour x0= 0.1 fix´ee.
Figure 6.4 – Influence de (a) la position dans la m´enisque statique x0 et de (b) la hauteur initiale L0du m´enisque sur la longueur L∗ du film liquide au moment de sa rupture. La vitesse de g´en´eration U et l’´epaisseur H de la fibre sont ici respectivement ´egales `a 1 mm/s et 50 µm.
6.2.4 Validations du mod`ele
Limite statique
Nous commen¸cons par v´erifier que notre mod`ele permet bien de retrouver, pour de tr`es petites valeurs du nombre capillaire, la limite de stabilit´e d’un m´enisque statique donn´ee par l’expression implicite (6.4). La figure 6.5a compare la longueur maximale L∗0 d’un film statique d´eduite de l’´equation (6.4) `a celle de films quasi-statiques g´en´er´es `
a Ca = 10−8 par notre mod`ele, pour diff´erentes valeurs de ε. Les r´esultats de notre simulation en r´egime quasi-statique (symboles) se superposent bien `a la pr´ediction statique (ligne en trait plein) dans toute la gamme de rapports d’aspect ε explor´ee.
Comparaison au cas 2D
Nous comparons `a pr´esent les r´esultats de notre mod`ele, construit dans l’approxima-tion de lubrifical’approxima-tion, `a la simulation en deux dimensions du tirage d’un film de liquide pur d´evelopp´ee par Martin Heller [44] (voir paragraphe 6.1.1). Notons que, comme l’inertie a ´et´e n´eglig´ee dans la simulation de Heller, nous supposons temporairement We = 0 dans nos ´equations par souci de coh´erence.
La figure 6.5b compare les dynamiques de drainage de films g´en´er´es `a divers nombres capillaires Ca, pour un rapport d’aspect donn´e ε = 0.01, obtenues avec notre mod`ele (lignes en trait plein) ou r´esultant de la simulation compl`ete de Heller (lignes en poin-till´es). L’´epaisseur minimale du film min(h) est trac´ee en fonction du temps normalis´e par le temps t1% auquel l’´epaisseur minimale atteint 0.01, c’est-`a-dire 1% de sa valeur initiale. Cette normalisation permet de comparer les dynamiques de drainage pour dif-f´erentes valeurs du nombre capillaire.
La comparaison pr´esent´ee sur la figure 6.5b montre que notre approche dans l’approxi-mation de lubrification est en bon accord avec les simulations en 2D, en particulier `a petits nombres capillaires Ca 6 10−4. Un petit ´ecart (inf´erieur `a 10%) apparaˆıt aux nombres capillaires Ca > 10−2, o`u notre mod`ele pr´edit un drainage l´eg`erement plus rapide que les simulations en deux dimensions, mais la forme g´en´erale de la courbe reste pr´eserv´ee.
1 0 - 3 1 0 - 2 1 0 - 1 1 . 4 1 . 5 1 . 6 1 . 7 1 . 8 L 0 *
ε
solution statique tirage à Ca = 10-8(a) La longueur maximale adimensionn´ee L∗0 d’un film statique est trac´ee en fonction du rapport d’aspect ε = H/`c. La ligne en trait plein est la pr´ediction analytique de l’´equation (6.4), tandis que les points ont ´et´e obtenus avec notre mod`ele en fixant le nombre capillaire `a Ca = 10−8, ce qui correspond `a un r´egime quasi-statique.
0 . 0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1 . 0 0 . 0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1 . 0 C a = 1 C a = 1 0 - 2 C a = 1 0 - 4 C a = 1 0 - 5 C a = 1 0 - 8 t / t 1 % m in (h )
(b) L’´epaisseur minimale du film min(h) est repr´esent´ee en fonction du temps t, normalis´e par sa valeur t1%, d´efini comme l’instant auquel min(h) atteint 1% de sa valeur initiale. Pour un nombre capillaire donn´e, la ligne en trait plein est la courbe de drainage obtenue avec notre mod`ele dans l’approximation de lubrification, tandis que la ligne en pointill´es est la pr´ediction de la simulation en deux dimensions pr´esent´ee dans la r´ef´erence [44]. Dans les deux cas, le rapport d’aspect est fix´e `a ε = 0.01 et l’inertie est n´eglig´ee.