Equations de l’hydrodynamique pour un film plan vertical

etudes, dans des g´eom´etries mod`eles vari´ees : film d´epos´e sur la paroi d’un tube au passage d’une bulle [13], film entraˆın´e sur une fibre [41, 112, 84] ou encore sur une plaque [41, 69] tir´ee verticalement hors d’un bain liquide.

Le moteur de la cr´eation du film est, dans le cas des films support´es, l’entraˆınement visqueux du liquide par la paroi solide. Toutes sortes de substances peuvent ainsi ˆetre entraˆın´ees, sous r´eserve qu’elles mouillent suffisamment bien la surface solide sur la-quelle elle sont d´epos´ees.

Films libres `

A la diff´erence des films support´es, qui ´epousent la forme de la surface solide sur laquelle ils sont d´epos´es, les films libres adoptent des formes ´eventuellement complexes, qui r´esultent de la minimisation de l’aire des interfaces. Ainsi, un anneau plong´e dans une solution savonneuse en ressort recouvert d’un film libre plat et circulaire, mais la mˆeme manœuvre r´ealis´ee avec deux anneaux en vis-`a-vis verra la formation d’un film de forme bien plus complexe, dite de cat´eno¨ıde, reliant les deux anneaux.

L’exp´erience nous dit que toutes les substances liquides ne forment pas de films libres : il est par exemple tr`es difficile de faire mousser de l’eau pure ou de l’huile, alors qu’un peu de savon dans l’eau du bain permet d’obtenir facilement plusieurs litres de mousse. Les films libres sont par d´efinition auto-support´es : leur formation n´ecessite donc – au moins pour des liquides de faible viscosit´e comme l’eau – l’existence aux interfaces liquide/air d’une contrainte se substituant `a celle pr´esente `a l’interface liquide/solide d’un film support´e. Comme on l’a vu au paragraphe pr´ec´edent, la pr´esence de tensio-actifs aux interfaces liquide/air est en g´en´eral `a l’origine d’une contrainte tangentielle non-nulle. L’´ecoulement induit par cette contrainte peut alors s’opposer au drainage et stabiliser le film.

Contrairement `a leurs homologues support´es, les films libres sont des objets fragiles : une fois devenus trop minces, ils rompent. La pr´ediction de cette rupture reste cepen-dant une question largement ouverte, comme on le verra dans la section 2.3.

Dans la suite de ce chapitre, nous nous focaliserons sur une g´eom´etrie plane, ce qui permettra de d´ecrire dans un mˆeme formalisme les films libres form´es sur un cadre rectangulaire vertical et les films support´es d´epos´es sur une plaque.

2.1.2 Equations de l’hydrodynamique pour un film plan vertical^´

Nous pr´esentons ici les ´equations r´egissant la dynamique d’un film mince vertical – libre ou support´e – et constitu´e d’un liquide incompressible et newtonien de viscosit´e η, de masse volumique ρ et de tension de surface γ. Le film, repr´esent´e sur la figure 2.1 en coupe dans le plan vertical (x, y), est suppos´e invariant selon la direction z. Il est connect´e par un m´enisque `a un bain liquide en x = 0 et l’axe vertical y = 0 repr´esente

g

x

y

0

Figure 2.1 – Sch´ema pr´esentant nos notations pour la description de l’´ecoulement dans un film liquide mince. L’axe y = 0 en pointill´es symbolise soit l’axe de sym´etrie du film dans le cas d’un film libre, soit la plaque solide sur laquelle le film support´e s’appuie.

soit la plaque entraˆınant le film (cas d’un film support´e), soit l’axe de sym´etrie du film (cas d’un film libre).

´

Equations dans le volume du film

Les champs de vitesse horizontale et verticale, not´es respectivement u(x, y, t) et v(x, y, t), sont reli´es au champ de pression P (x, y, t) dans le film par les ´equations de Navier-Stokes

ρ (∂_tu + u∂_xu + v∂_yu) = −∂_xP + η (∂_xxu + ∂_yyu) − ρg, (2.1a) ρ (∂tv + u∂xv + v∂yv) = −∂yP + η (∂xxv + ∂yyv). (2.1b) Du fait de l’incompressibilit´e du liquide, le vitesse verticale u est li´ee `a la vitesse horizontale v par l’´equation de continuit´e

∂xu + ∂yv = 0, (2.2)

et au champ d’´epaisseur du film h(x, t) par la conservation de la masse

∂_th + ∂_x(¯uh) = 0, (2.3) o`u ¯ u(x, t) = ¹ h Z h 0 u(x, y, t) dy, (2.4)

est la vitesse moyenne verticale dans le film. ´

Equilibre des contraintes `a l’interface

Reste alors `a ´ecrire les conditions aux limites en y = 0 et en y = h(x, t). La condition au niveau de l’axe vertical y = 0 d´epend de la g´eom´etrie consid´er´ee : pour un film libre,

il s’agit simplement une condition de sym´etrie, tandis que pour un film support´e on ´

ecrit le non-glissement `a l’interface solide/liquide.

Plus complexe est la condition `a l’interface liquide/air, o`u il faut consid´erer l’´equilibre des contraintes interfaciales (1.23). En l’absence de forces exerc´ees `a distance sur les interfaces, cet ´equilibre s’´ecrit

Patm− P + n · ¯σ¯`· n = 2γK + n · ∇s· ¯σ¯s, (2.5a) t · ¯σ¯<sub>`</sub>· n = t · ∇_sγ + t · ∇_s· ¯σ¯_s. (2.5b) Dans la g´eom´etrie consid´er´ee ici (figure 2.1), la courbure moyenne K de l’interface est donn´ee par l’´equation (1.7), o`u les d´eriv´ees spatiales sont `a pr´esent des d´eriv´ees partielles, soit

K = ¹ 2

∂_xxh

(1 + (∂_xh)2)^{3/2. (2.6)} Les vecteurs normal et tangent `a l’interface s’´ecrivent

n = ¹

n^{(−∂xh ; 1) , (2.7a)} t = ¹

n^{(1 ; ∂xh) , (2.7b)}

avec n ≡p1 + (∂_xh)2. Le gradient de surface a pour expression ∇s = ¹

n2 (∂x+ ∂xh ∂y; ∂xh [∂x+ ∂xh ∂y]) . (2.8) Enfin, les contraintes visqueuses normale et tangentielle s’expriment en fonction des champs de vitesse et d’´epaisseur comme [94]

n · ¯σ¯_{`</sub>· n = <sup>2η</sup> 1 + (∂<sub>x</sub>h)2 (∂<sub>x</sub>h)<sup>2</sup>∂<sub>x</sub>u − ∂<sub>x</sub>h(∂<sub>y</sub>u + ∂<sub>x</sub>v) + ∂<sub>y</sub>v , (2.9a) t · ¯σ¯<sub>`}· n = ^η 1 + (∂_xh)2  1 − (∂_xh)²
(∂yu + ∂_xv) + 2∂_xh(∂_yv − ∂_xu) , (2.9b) o`u les diff´erentes quantit´es d´ependant de y sont ´evalu´ees `a l’interface y = h(x, t). ´

Equation de transport pour les tensioactifs

La tension de surface γ et les diff´erents modules visco´elastiques intervenant dans le tenseur des contraintes d´eviatoriques `a l’interface ¯σ¯<sub>s</sub> d´ependent de la concentration surfacique en tensioactifs Γ. La concentration de la monocouche de tensioactifs est cependant elle-mˆeme affect´ee par l’´ecoulement au sein du film, ce qui se traduit de mani`ere formelle par l’´equation de transport des tensioactifs en surface [37]

∂_tΓ + ∇_s· (u_sΓ) = ∇_s· (D_s∇_sΓ) + n · j, (2.10) o`u u_s est la vitesse interfaciale, D_s le coefficient de diffusion des tensioactifs en surface – qui d´epend a priori de Γ – et j un flux ´eventuel de tensioactifs en provenance de l’int´erieur du film. Pour des tensioactifs insolubles, j = 0.

Dans le cas de tensioactifs solubles en revanche, j est une fonction des concentrations de tensioactifs en surface Γ et en volume c, dont l’expression d´epend des m´ecanismes

d’adsorption/d´esorption `a l’œuvre [21]. En toute g´en´eralit´e, l’´equation de transport en surface (2.10) doit donc ˆetre compl´et´ee par l’´equation de transport des tensioactifs en volume

∂_tc + u · ∇c = ∇ · (D∇c) , (2.11) o`u D est le coefficient de diffusion des tensioactifs en volume, ainsi que par la condition aux limites [23]

j = −D∇c. (2.12)

Afin de relier explicitement la dynamique des tensioactifs, d´ecrite par les ´equations (2.10) et (2.11), `a l’´equilibre m´ecanique de l’interface (´equations (2.5)), il est en par-ticulier n´ecessaire de sp´ecifier une ´equation d’´etat γ(Γ). Parmi les ´equations d’´etat vari´ees propos´ees dans la litt´erature [21], un choix populaire est sans doute l’´equation d’´etat lin´earis´ee pour de petites variations autour de l’´etat d’´equilibre (Γ₀, γ₀) :

γ(Γ) = γ₀+ ^∂γ ∂Γ     Γ0 (Γ − Γ₀) = γ₀− E_insol^{Γ − Γ0} Γ₀ ^{, (2.13)} o`u l’on a fait apparaˆıtre l’´elasticit´e E_insol d´efinie par l’´equation (1.39).

En somme, la condition aux limites `a une interface liquide/air savonneuse r´esulte d’un couplage complexe entre la population en tensioactifs de l’interface et l’´ecoulement au sein du film. La concentration de surface en tensioactifs fixe en tout point de l’interface la valeur des contraintes interfaciales ¯P^¯_s= γ ¯I^¯_s+ ¯σ¯_s. Ces contraintes d´eterminent alors l’´ecoulement au sein du film via les relations d’´equilibre m´ecanique de l’interface (2.5). En retour, cet ´ecoulement modifie la population en tensioactifs de l’interface par l’in-term´ediaire des ´equations de transport en surface (2.10) et ´eventuellement en volume