Comparaison aux donn´ ees exp´ erimentales

et´e obtenues pour diff´erentes valeurs du nombre de P´eclet Pe ; la solution pour Pe = ∞ correspond `a la courbe en trait plein de la figure 4.7a.

Pe = ∞), tandis que les courbes en tirets, pointill´es et trait mixte ont ´et´e obtenues pour les valeurs finies du nombre de P´eclet donn´ees dans la l´egende. On constate que les courbes `a Pe fini se superposent `a la limite Pe = ∞ tant que Pe & 100 et commencent `a s’en d´emarquer seulement pour Pe . 10. L’´epaisseur du film entraˆın´e est alors inf´erieure `

a celle pr´edite dans la limite Pe = ∞ et l’effet est maximal pour Λ ∼ 1 − 10.

Il peut ˆetre commode de r´e´ecrire le nombre de P´eclet comme Pe = Pe⁰Ca^4/3 avec Pe⁰ ≡ γ`<sub>c</sub>/D<sub>s</sub>η un nombre adimensionn´e ne d´ependant cette fois que des propri´et´es des tensioactifs. Pour le C<sub>12</sub>E<sub>6</sub>, le coefficient de diffusion de surface est D<sub>s</sub> = 3.8 × 10<sup>−10</sup> m<sup>2</sup>/s [43], d’o`u un nombre de P´eclet modifi´e Pe⁰ ≈ 108. Pour la gamme de nombres capillaires test´ee exp´erimentalement Ca = 10⁻⁶− 10−3, le nombre de P´eclet varie donc entre 1 et 104. L’approximation Pe = ∞ est donc pleinement valide pour Ca > 10⁻⁵, mais on peut s’attendre `a observer exp´erimentalement l’effet de la diffusion de surface pour Ca ∼ 10⁻⁶, ce qui semble ˆetre le cas sur la figure 3.8.

4.3.3 Comparaison aux donn´ees exp´erimentales

Nous souhaitons `a pr´esent confronter les pr´edictions de nos mod`eles aux donn´ees exp´erimentales sur l’´epaisseur des films en fonction du nombre capillaire (paragraphe 3.3.2). En fixant une valeur pour le nombre de Marangoni Ma, les courbes maˆıtresses αi(Λ) permettent de pr´edire l’´epaisseur h0 en fonction du nombre capillaire Ca. La combinaison des ´equations (4.30) et (4.31) conduit en effet `a

h₀(Ca) = k_LLD`_cCa^2/3× α_i  Ma Ca^2/3  (i = Fr ou i = LLD) , (4.34)

o`u l’on a remplac´e Λ par sa d´efinition en fonction de Ma et Ca (´equation (4.25)). On obtient ainsi une famille de courbes th´eoriques h₀(Ca) param´etr´ees par le nombre de Marangoni Ma, comme l’illustre la figure 4.10.

1 0 ^{- 6} 1 0 ^{- 5} 1 0 ^{- 4} 1 0 ^{- 3} 1 0 ^{- 4} 1 0 ^{- 3} 1 0 ^{- 2}

2

h

/

l

(a)Films libres

1 0 ^{- 6} 1 0 ^{- 5} 1 0 ^{- 4} 1 0 ^{- 3} 1 0 ^{- 4} 1 0 ^{- 3} 1 0 ^{- 2} L L D 4 ^{2 / 3} L L D M a = 0 . 0 0 1 M a = 0 . 0 0 2 M a = 0 . 0 0 5 M a = 0 . 0 1 M a = 0 . 0 2 M a = 0 . 0 5

h

/

l

Figure 4.10 – La demi-´epaisseur (respectivement l’´epaisseur) h₀ du film plat pr´edite par l’´equation (4.34), normalis´ee par la longueur capillaire `c, est trac´ee en fonction du nombre capillaire Ca pour des films libres (a) (respectivement support´es (b)). Les diff´erents symboles/couleurs correspondent `

a diff´erentes valeurs du nombre de Marangoni Ma. Les lignes en tirets mat´erialisent la limite des interfaces liquide/air rigides (loi de Frankel (2.30) pour les films libres, loi de LLD (2.27) avec pr´efacteur 42/3 pour les films support´es), tandis que la ligne en trait mixte est la loi de LLD (2.27), i.e. la limite d’une contrainte nulle `a l’interface liquide/air d’un film support´e.

C₁₂E₆ 3 cmc 10 cmc Films libres ^{Ma × 10} 3 16+2 −3 5.0+1.5 −1.0 Einsol (mN/m) 0.54^+0.08_−0.09 0.17^+0.05_−0.03 Films support´es ^{Ma × 10} 3 18+7 −8 4.7+1.3 −1.9 Einsol (mN/m) 0.59^+0.21_−0.27 0.15^+0.04_−0.06

Table 4.1 – Nombres de Marangoni Ma obtenus par ajustement des donn´ees exp´erimentales pour des films libres et support´es, g´en´er´es `a partir de solutions de C12E6 de concentrations ´egales `a 3 cmc et 10 cmc (voir figure 4.11). L’´elasticit´e de surface correspondante Einsol = γ0Ma a ´et´e d´eduite en prenant les valeurs exp´erimentales de la tension de surface γ0 = 34.5 mN/m `a 22 <sup>◦</sup>C pour les films libres [89] et γ0= 32.3 mN/m `a 25 ^◦C pour les films support´es [33].

courbes th´eoriques h₀(Ca) se superposent `a la limite rigide (tirets) `a petits nombres capillaires et s’en ´eloignent progressivement lorsque Ca augmente ; cette d´eviation sur-vient d’autant plus tˆot que le nombre de Marangoni est faible. Toutes ces observations sont coh´erentes avec les comportements qualitatifs pr´edits par l’analyse en lois d’´echelles (figure 4.4). Notons que, dans le cas des films libres (figure 4.10a), les courbes h₀(Ca) n’atteignent pas v´eritablement un r´egime ind´ependant de la vitesse aux grands Ca dans la gamme de param`etres pertinente pour les exp´eriences. De plus, comme ´evoqu´e au paragraphe 4.3.2, la limite de contrainte nulle n’est pas retrouv´ee aux grands Ca pour les films support´es : les courbes h0(Ca) s’arrˆetent lorsque la vitesse en surface s’annule en raison de l’insolubilit´e des tensioactifs.

Ajustement des donn´ees exp´erimentales

Afin de pouvoir ajuster les donn´ees exp´erimentales avec les courbes th´eoriques don-n´ees par l’´equation (4.34), il est n´ecessaire d’avoir une expression analytique des courbes maˆıtresses α_i(Λ). Ces expressions, obtenues en ajustant sur les courbes α_i(Λ) des fonc-tions de forme ad´equate avec quatre param`etres, sont les suivantes :

α_Fr(Λ) ≈ ¹

21 − tanh 186.3 − 186.1 Λ0.002601
 , (4.35) α_LLD(Λ) ≈ ¹

23.603 − 1.436 tanh 15.75 − 15.52 Λ0.02958
 . (4.36) L’expression analytique (4.34) de l’´epaisseur h₀ en fonction du nombre capillaire Ca est ajust´ee aux donn´ees exp´erimentales sur les films de C12E6 (figure 3.8) en utilisant le nombre de Marangoni Ma comme param`etre ajustable. Les ajustements sont pr´esent´es sur la figure 4.11 (lignes en traits pleins) pour deux concentrations en C<sub>12</sub>E<sub>6</sub> : 3 cmc et 10 cmc. Les valeurs du nombre de Marangoni extraites, ainsi que les ´elasticit´es de surface E<sub>insol</sub> correspondantes, sont donn´ees dans la table 4.1. L’intervalle de confiance sur le nombre de Marangoni correspond aux valeurs hautes et basses associ´ees `a des courbes th´eoriques encadrant « raisonnablement » bien les donn´ees (lignes en pointill´es sur la figure 4.11).

Comme on le voit sur la figure 4.11, les courbes th´eoriques s’ajustent bien aux donn´ees exp´erimentales, ce qui ´etaie notre hypoth`ese forte d’une ´elasticit´e de surface constante (en particulier ind´ependante de l’´epaisseur du film). La table 4.1 montre en outre que, pour une concentration en tensioactifs donn´ee, les donn´ees relatives aux films libres et support´es sont d´ecrites par la mˆeme valeur d’´elasticit´e de surface Einsol. Ceci met en

1 0 ^{- 6} 1 0 ^{- 5} 1 0 ^{- 4} 1 0 ^{- 3} 1 0 ^{- 3} 1 0 ^{- 2} F r a n k e l 3 c m c 1 0 c m c

2

h

/

l

(a)Films libres

1 0 ^{- 6} 1 0 ^{- 5} 1 0 ^{- 4} 1 0 ^{- 3} 1 0 ^{- 3} 1 0 ^{- 2} L L D 4 ^{2 / 3} L L D 3 c m c 1 0 c m c

h

/

l

Figure 4.11 –La demi-´epaisseur (respectivement l’´epaisseur) h0, normalis´ee par la longueur capillaire `c, est trac´ee en fonction du nombre capillaire Ca pour des films libres (a) (respectivement support´es (b)). Les symboles correspondent aux donn´ees exp´erimentales de la figure 3.8 pour des solutions de C12E6 de concentrations ´egales `a 3 cmc et 10 cmc. Les lignes pleines sont des ajustements `a l’aide de l’expression (4.34) tir´ee de notre mod`ele et les lignes en pointill´es donnent une estimation de l’erreur maximale sur le param`etre d’ajustement Ma. Finalement, les lignes en tirets mat´erialisent la limite des interfaces liquide/air rigides, tandis que la ligne en trait mixte est la loi de LLD (2.27), correspondant `

´

evidence que l’´elasticit´e de surface – dans la limite insoluble consid´er´ee ici – est une propri´et´e inh´erente `a une solution de tensioactifs. Notons enfin que les valeurs de E<sub>insol</sub> que nous trouvons sont du mˆeme ordre de grandeur que celles obtenues par Prins et al. (E = 0.45 − 1.2 mN/m) [83] par mesures directes dans des films minces de SDS `a une concentration de 3 cmc.

Gradients de concentration et de tension de surface `

A pr´esent que les nombres de Marangoni Ma, i.e. les ´elasticit´es de surface, cor-respondant aux exp´eriences ont ´et´e d´etermin´es, le param`etre de rigidit´e Λ peut ˆetre directement converti en nombre capillaire Ca. En particulier, on peut obtenir la d´ e-pendance de la concentration de surface Γ(0) dans le film plat, et donc la tension de surface γ(0) via l’´equation d’´etat, en fonction de Ca.

Pour les valeurs particuli`eres de Ma pr´esent´ees dans la table 4.1, la diff´erence de concen-tration de surface (adimensionn´ee) de part et d’autre du m´enisque dynamique, d´efinie comme ∆Γ ≡ 1 − Γ(0), est trac´ee sur la figure 4.12 en fonction du nombre capillaire (graphes de gauche). Pour les films libres (figure 4.12a) comme pour les films suport´es (figure 4.12b), la variation de concentration de surface ∆Γ augmente avec Ca, jusqu’`a devenir de l’ordre de l’unit´e. La lin´earisation de l’´equation d’´etat (4.15) pour de petites variations de la concentration de surface n’est donc plus justifi´ee pour Ca & 10⁻⁴ et introduit les biais discut´es pr´ec´edemment dans le paragraphe 4.3.2.

`

A partir de l’´equation d’´etat (4.23), on peut d´eduire la diff´erence de tension de sur-face (adimensionn´ee) de part et d’autre du m´enisque dynamique, d´efinie comme ∆γ ≡ γ(0) − 1, en fonction du nombre capillaire (figure 4.12, graphes de droite) pour les valeurs particuli`eres de Ma donn´ees dans la table 4.1. La variation de tension de sur-face ∆γ augmente avec Ca mais ne d´epasse pas quelques pourcents dans l’intervalle de nombres capillaires explor´e exp´erimentalement.

Num´eriquement, la diff´erence de tension de surface entre une solution de C12E6 de concentration 3 cmc (Ma ≈ 0.018) et le film libre g´en´er´e `a partir de ce bain `a une vitesse U ≈ 2 mm/s (Ca ≈ 6 × 10⁻⁵) est ∆γ ≈ 0.2 mN/m. Nous verrons au chapitre 7 que cette valeur, combin´ee `a une estimation du gradient de tension de surface dans la partie sup´erieure du film (non-stationnaire et donc pas d´ecrite par le pr´esent mod`ele, voir paragraphe 3.3.1), conduit `a des gradients de tension de surface globaux en accord avec les mesures exp´erimentales r´ecentes de Caps et al. [1].