Le mod`ele `a un plan de vortex

Nous consid´erons donc un ensemble de lignes qui, `a temp´erature nulle et en l’absence de d´esordre sont parall`eles les unes aux autres selon la direction z et espac´ees d’une distance a (figure 5.3). Une ligne de flux ne pouvant pas se terminer dans l’´echantillon, les dislocations dans chaque plan sont exclues (figure 5.3). Il est donc possible de rep´erer ces lignes par un indice entier n∈ Z. La position de la ligne n dans le cristal parfait est choisie arbitrairement comme ´etant x = Rn = n.a, ce qui d´efini le champ de d´eplacement unidimensionnel dans le r´eseau d´eform´e : x = R_n+ u_n. Il est impossible de d´efinir la position R_n `a partir d’une configuration physique du r´eseau (en pr´esence de fluctuations thermiques). Ainsi il est possible de translater uniform´ement toutes ces positions Rn d’une constante arbitraire r0, ce qui revient `a modifier uniform´ement le champ de d´eformation u_n → un − r0. Cette remarque nous rappelle que le champ de d´eformation un (une fois la limite du continu prise), ne peut apparaitre dans la d´efinition de l’´energie du syst`eme que sous la forme de grandeur invariante par translation uniforme telles que les gradients de u.

Les fluctuations des lignes autour du r´eseau parfait peuvent ˆetre d´ecrite comme des fluctuations ´elastiques tant que les d´eformations relatives entre deux points voisins sont faibles.

Nous consid´erons le cas o`u ces lignes interagissent avec un d´esordre corr´el´e uniquement aux courtes distances, que par simplicit´e nous repr´esentons par une d´esordre compl`etement d´ecorr´el´e entre deux sites. Ce d´esordre V (x, z) se couple directement `a la densit´e des lignes ρ(x, z) =^P_nδ(x− (Rn+ un(z))).

Dans le cas de lignes de flux r´eparties sous la forme de plans parall`eles, les d´eplacements ne se font qu’`a l’int´erieur de ces plans. Nous introduisons donc une s´erie de champs unidi-mensionnels de d´eplacement u_α = aφ_α(r)/2π o`u α = 1, ..N indexe le plan et a est le pas du r´eseau bidimensionnel. Chaque plan peut ˆetre ainsi mod´elis´e par un mod`ele XY en champ magn´etique dans lequel les d´efauts topologiques sont exclus. Le couplage entre les densit´es de vortex de deux plans voisins α et α+1 induit un couplage entre les champs de d´eplacement dans ces deux plans. Mikheev et Kolomeisky ont montr´e qu’`a faible champ ce couplage correspondait `a un terme additionnel dans le hamiltonien : cos(φα(x)−φα+1(x)) (Mikheev & Kolomeisky 1991). Nous obtenons ainsi un syst`eme de N mod`eles XY d´esordonn´es, coupl´es

x z 0 r (z) n n a x z

Fig. 5.3 – Repr´esentation sch´ematique du r´eseau de lignes (`a gauche) et dislocation (ici exclue) dans un tel r´eseau (`a droite). Le r´eseau de lignes est dirig´e selon l’axe z. Les lignes ne pouvant pas se terminer dans le plan, nous pouvons les rep´erer par un indice entier n, leur position moyenne correspondant `a x = n.a. Les fluctuations autour de cette position sont param´etr´ees par le champ unidimensionnel rn(z) = n.a + un(z).

H (ab)

d

a

α−1

α

α+1

y

x

z c

Fig. 5.4 – Repr´esentation sch´ematique de la g´eom´etrie du mod`ele. Les plans de lignes de flux, orthogonaux `a l’axe z sont rep´er´es par un indice grec. La champ magn´etique est parall`ele `a l’axe y.

les uns aux autres. Le hamiltonien obtenu s’´ecrit donc H T ⁼ Z d²r^X α,β 1 2^K −1 αβ∇φα(r)· ∇φβ(r)− µαβcos(φα(r)− φβ(r)) (5.1) − ^X α ηα(r)· ∇φα(r)− ζα(r).e^iφα(r)

La distribution du d´esordre sera choisie gaussienne, caract´eris´ee par les corr´elateurs iso-tropes suivants :

ηi

α(r)η_β^j(r′) = ∆αβδijδ⁽²⁾(r− r′) (5.2) ζi

α(r)ζ_β^j(r′) = 2gαβδijδ⁽²⁾(r− r^′) (5.3) Comme nous venons de le voir, le mod`ele initial est d´efini par un nombre restreint de param`etres :

K_αβ⁻¹ = K_c⁻¹δαβ ; µαβ = ^µ

2^{(δα+1,β + δα−1,β) ; gαβ = gδαβ ; ∆αβ = 0 (5.4)} Il convient en fait de tenir compte des termes suppl´ementaires dans le hamiltonien (5.2) car ils seront g´en´er´es par renormalisation. Nous devons ainsi les inclure dans la hamiltonien d`es le d´ebut de notre analyse. En particulier, des couplages µαβ entre plans distants, une constante de raideur non diagonale, c’est-`a-dire dans ce contexte un couplage de grande longueur d’onde entre plans de vortex, ainsi qu’un d´esordre de grande longueur d’onde d’intensit´e ∆ apparaitront dans ce mod`ele. L’´ecriture du hamiltonien (5.2) contient ainsi tous les op´erateurs pertinents autoris´es par la sym´etrie du mod`ele.

Rappelons que dans le mod`ele ci-dessus, deux composantes diff´erentes du d´esordre in-terviennent : un terme provenant des composantes de Fourier de modes proches du premier vecteur du r´eseau r´eciproque planaire q ∼ 2π/a dont l’intensit´e est donn´ee par σαα, et une contrainte al´eatoire locale correspondant aux modes q∼ 0, et dont l’intensit´e est ∆αα. Cette d´ecomposition sera d´ecrite en d´etails dans le chapitre suivant. En plus de ce d´esordre d`ej`a pr´esent dans l’´etude d’un seul mod`ele XY d´esordonn´e (chapitre 4), nous devons ´egalement tenir compte ici de la possibilit´e d’un couplage entre les fluctuations de diff´erents plans via ce d´esordre. Cette possibilit´e est contenue dans les matrices de corr´elation des deux types de d´esordre ∆_αβ et g_αβ. Dans toute notre ´etude nous ne tiendrons compte que des premi`eres harmoniques du d´esordre (voir la d´ecomposition pr´esent´ee au chapitre suivant), car il s’agit des op´erateurs les plus pertinents du point de vue du groupe de renormalisation.

La moyenne sur le d´esordre de l’´energie libre est effectu´ee en utilisant la m´ethode des r´epliques. Apr`es avoir introduit m champs de d´eplacements ua(r), nous pouvons moyenner sur les deux types de d´esordre, ce qui induit un couplage effectif entre r´epliques diff´erentes :

Hrep T ⁼ Z d²r ^X ab,αβ 1 2^[K −1]^ab_αβ∇φa α(r)· ∇φb β(r)− Mab αβcos(φ^a_α(r)− φb β(r)) (5.5) La matrice de couplage comporte maintenant un terme non diagonal induit par le d´esordre :

De mˆeme les couplages en cosinus entre champs de d´eplacement tiennent compte `a la fois des couplages entre densit´es de vortex et du d´esordre de petite longueur d’onde q ∼ 2π/a:

M^abαβ = µαβδab+ gαβ

Comme nous l’avons d´ej`a dit le hamiltonien initial comporte bien sˆur un nombre r´eduit de constantes de couplage ind´ependantes. Ainsi les constantes de couplage du hamiltonien r´epliqu´e correspondant au mod`ele (5.4)) s’´ecrivent :

[K⁻¹]^ab_αβ = ¹ K^δα,βδ a,b M^abαβ = ^µ 2^{(δα+1,β+ δα−1,β) δ} a,b − gδα,β (5.6) Nous pouvons maintenant utiliser les techniques que nous avons pr´esent´ees au chapitre 2 pour renormaliser ces mod`eles XY coupl´es.

5.3 Analyse par le groupe de renormalisation

Dans cette partie, nous allons d´eriver les ´equations de renormalisation d´ecrivant le com-portement `a grande distance du mod`ele (5.5). Cette analyse de renormalisation utilisera une formulation du mod`ele en terme de gaz de Coulomb qui ´etend le travail pr´esent´e dans l’annexe du chapitre 2. Les ´equations de renormalisation peuvent ´egalement ˆetre d´eriv´ees d’apr`es le mod`ele fermionique associ´e, chaque ligne de flux correspondant `a la ligne d’univers d’un fermion.