Mod`ele sans d´efaut topologique : la phase vitreuse de Cardy et Ost-

T/K T>Tg σ σ

Fig.4.1 – Deux projections du flot de renormalisation sch´ematique de Cardy et Ostlund.

4.1.3 Mod`ele sans d´efaut topologique : la phase vitreuse de Cardy

et Ostlund

Dans le contexte de la croissance cristalline, le mod`ele (4.1) intervient avec un champ θ repr´esentant la hauteur de la surface du solide. θ prend donc des valeurs entre −∞ et +∞ (champ non compactifi´e) : ainsi le mod`ele ne poss`ede plus de d´efaut topologique. Son comportement `a grande ´echelle peut donc s’´etudier `a partir des ´equations de renormalisation (4A.28) de l’annexe en imposant une ´energie de coeur infinie pour les vortex (y = 0), condition qui est pr´eserv´ee par la renormalisation. Les ´equations correspondantes s’´ecrivent

∂l(T K⁻¹) = 0 (4.14a) ∂(T⁻²∆) = 2πλ²y˜² (4.14b) ∂ly =˜  2− ^{T λ} 2 2πK  ˜ y²− 2π˜y2+O(˜y3) (4.14c) Phase de haute temp´erature

L’´equation (4.14a) nous indique que K n’est pas renormalis´e en l’absence de vortex. Ce r´esultat est non perturbatif en y comme l’indique la sym´etrie statistique du mod`ele. De l’´equation (4.14c) nous tirons le domaine de pertinence de l’op´erateur associ´e au champ magn´etique : pour une temp´erature T sup´erieure `a Tg = 4πK/λ² (K ´etant non renormalis´e, c’est directement sa valeur initiale qui rentre dans cette d´efinition), le champ d´esordonn´e n’est pas pertinent `a grande distance, ˜y(l) → 0. Dans cette partie du diagramme des phases, le comportement `a grande distance est celui d’un mod`ele XY sans d´efaut, et soumis `a un champ de contrainte locale al´eatoire A dont l’intensit´e est finie `a grande ´echelle : ∆(l)→ ∆∗ < +∞. Cette phase est donc domin´ee par les fluctuations thermiques (et celles de A).

Phase vitreuse `a basse temp´erature `

A basse temp´erature T < Tg, au contraire, le champ de d´esordre h induit les fluctuations dominantes : `a grande ´echelle son intensit´e ˜y est renormalis´ee vers une valeur finie pertur-bative : ˜y → ˜y∗ = (1− T/Tg)/π. La temp´erature Tg correspond donc `a une temp´erature de transition entre ces deux r´egimes. Le flot de renormalisation autour de ce point est repr´esent´e sch´ematiquement dans la figure (4.1).

La pr´esence de ce point fixe perturbatif entre une phase o`u le d´esordre est pertinent et une phase `a haute temp´erature o`u il ne l’est pas, a suscit´e de nombreuses ´etudes r´ecemment, qui utilisaient des m´ethodes de th´eorie des champs ou des m´ethodes variationnelles. Nous reviendrons plus loin sur ce point.

Cependant dans ce que je viens de dire, un point pourrait paraitre curieux : le caract`ere perturbatif du point de transition. En effet la valeur renormalis´ee de l’intensit´e du d´esordre ˜

y le long de la ligne de points fixes de basse temp´erature est bien perturbative autour du point de transition. Mais un coup d’oeil `a l’´equation (4.14b) nous permet de voir qu’une valeur renormalis´ee finie de ˜y implique une divergence lin´eaire avec l de l’intensit´e ∆ du champ A. Cette divergence est cependant un peu particuli`ere en raison de la sym´etrie statistique : voir `a ce sujet le travail du chapitre 6.

Dans la suite j’appellerai cette phase une phase vitreuse dans le sens assez approximatif d’une phase dont le comportement est domin´e par des effets du d´esordre (ici le champ A). Au sens strict du terme il conviendrait d’´etudier la dynamique `a long temps de cette phase et en particulier son vieillissement afin de caract´eriser ses propri´et´es dynamiques vitreuses. Une possible caract´erisation statique est donn´ee par l’´etude des larges fluctuations d’´echantillon `a ´echantillon de diff´erentes susceptibilit´es de cette phase (Hwa & Fisher 1994).

Cette d´enomination de phase vitreuse sera pr´ecis´ee dans le chapitre 6 o`u nous ´etudierons la dynamique lente associ´ee. Nous allons dans la suite d´eterminer le comportement des fonctions de corr´elation de cette phase vitreuse, qui semble caract´eristique des quasi-points fixes qui la caract´erisent.

Fonctions de corr´elations

Les fonctions de corr´elations du mod`ele se calculent simplement en utilisant la m´ethode des r´epliques (Toner & DiVicenzo 1990). Celle-ci consiste `a utiliser le relation entre les moyennes des fonctions de corr´elations connexes ou non et les fonctions de corr´elations entre composantes du champ r´epliqu´es. Les deux relations que nous allons utilis´ees sont

hO(θ)i = lim

p→0hO(θa)iH(p) (4.15) hO1(θ)ihO2(θ)i = lim

p→0hO1(θa)O2(θ_b6=a)iH(p) (4.16) o`u a est un indice quelconque de r´eplique.

Nous allons ici nous int´eresser aux fonctions de corr´elations de la phase relatives θ(r)− θ(o) qui, en l’absence de d´esordre, permettent de caract´eriser la nature de la phase du mod`ele (phase rugueuse ou plate dans le mod`ele de croissance cristalline). Si nous nous contentons de regarder les fonctions de corr´elations `a deux points, deux types de corr´elation

Hwa T. & Fisher D., (1994). Phys. Rev. Lett., 72:2466. Toner J. & DiVicenzo D., (1990). Phys. Rev. B, 41:632.

sont int´eressantes : les fonctions de correlations respectivement connexes et non connexes hθ(r) − θ(o)2i − hθ(r) − θ(o)i2 = Z d2q (2π)22(1− cos(q.^r a⁾⁾  hθ(q)θ(−q)i − hθ(q)ihθ(−q)i^ hθ(r) − θ(o)2i = Z d2q (2π)22(1− cos(q.^r a⁾⁾hθ(q)θ(−q)i

En l’absence de d´esordre ces deux fonctions de corr´elations sont ´egales et mesurent l’in-tensit´e des fluctuations thermiques dans l’´echantillon. La pr´esence d’un champ d´esordonn´e induit une diff´erence entre ces deux fonctions de corr´elations : cette diff´erence est une mesure moyenne des fluctuations des d´eformations (ici de θ) provoqu´ees par ce d´esordre.

D’apr`es (4.15) et (4.16) ces deux types de fonctions de corr´elations se d´eduisent de celles du champ r´epliqu´es θa(r). Celles-ci peuvent s’exprimer en fonction des corr´elations de densit´e du gaz de charges r´epliqu´es ma en utilisant la forme des fonctions de corr´elation pour un mod`ele de Sine-Gordon-Villain (voir la discussion apr`es la formule 2.34 du chapitre 2) :

Γ^ab(q, K, ∆, ˜y)≡ hθa(q)θ^b(−q) = ^T

q2(K⁻¹)^ab− ^λ

2T2

q4 (K⁻¹)^ac(K⁻¹)^bdhmc(q)m^d(q)i (4.17) Afin d’´evaluer le membre de droite de l’´equation pr´ec´edente, nous pouvons commencer par utiliser une relation d’´echelle afin de se placer dans le r´egime asymptotique du groupe de renormalisation. Dans notre sch´ema de renormalisation, θ est homog`ene `a une longueur, ce qui donne la relation d’´echelle suivante

Γ^ab(q, K, ∆, ˜y) = e^2lΓ^ab(e^lq, K(l), ∆(l), ˜y(l)) (4.18) o`u, par d´efinition, les grandeurs K, ∆, ˜y(l) sont d´efinies `a l’´echelle ael. `A l’aide de cette relation nous pouvons ´evaluer le membre de droite de (4.17).

Dans la phase T > Tg, ˜y(l) tend vers 0 asymptotiquement. Appelons l∗ l’´echelle `a laquelle ˜y(l∗)≃ 0, en utilisant la relation (4.18) avec l = l∗ et l’´egalit´e (4.17) pour ´evaluer Γab `a l’´echelle l∗ (sachant qu’`a cette ´echellehmmi ≃ 0), nous obtenons

Γ^ab(q, K, ∆, ˜y) = e^2l∗Γ^ab(e^l∗q, K, ∆(l^∗), ˜y(l^∗)) = ^T q2  1 K^δ ab+ ^∆(l) K(KT − p∆(l))  = ^T q2  1 K^δ ab+ ^∆∞ K(KT − p∆∞) 

o`u dans la derni`ere ´egalit´e j’ai pris la limite l∗ → ∞. En reportant dans l’expression des fonctions de corr´elations de la phase relative nous obtenons le r´esultat suivant

hθ(r) − θ(o)2i = Z q 2(1− cos(q.^r a⁾⁾ T q2  1 K ⁺ ∆∞ K2T  = ^T 2πK  1 + ^∆∞ KT  ln^r a ^(4.19) hθ(r) − θ(o)2i − hθ(r) − θ(o)i2 = Z q 2(1− cos(q.^r a⁾⁾ T q2 1 K ⁼ T 2πK ^ln r a ^(4.20) Dans la phase vitreuse le champ A (et donc les charges m) est pertinent. Nous utilisons la relation (4.18) en imposant qel = 1/a o`u a est le pas du r´eseau (cut-off aux petites

distances). La limite de grande distance r→ ∞ correspond avec cette condition `a la limite l → ∞. Dans cette limite ˜y peut ˆetre approxim´e par sa valeur asymptotique ˜y∗. Autour de la transition nous travaillons perturbativement dans cette valeur renormalis´ee ˜y∗: dans l’´evaluation de Γab nous allons donc suppos´e que nous pouvons n´eglig´e le second terme du membre de droite de (4.17). Si nous d´efinissons lc comme l’´echelle `a partir de laquelle nous pouvons suppos´e que ˜y(l) ≃ ˜y∗, l’expression que nous obtenons pour Γab dans la limite p→ 0 est Γ^ab = ¹ a2q2 T a2 K  1 + ¹ KT^(∆(lc)− λ22π(˜y^∗)²T²(ln(qa) + lc)) 

Le dernier terme est le terme dominant dans la limite r → ∞, q → 0, il correspond `a une croissance inhabituelle des fonctions de corr´elations en ln²(r) :

hθ(r) − θ(o)2i = ^λ

2T2(˜y∗)2

2K2 ln^{2 r}

a ⁺O(ln r) (4.21) o`u le rapport devant le ln<sup>2</sup>est universel au sens du groupe de renormalisation. La d´etermination de cette fonction de corr´elation a fait l’objet d’une r´ecente controverse. A ce calcul de re-normalisation, s’opposaient des approches variationnelles avec r´epliques. L’´etude de cette corr´elation a ´egalement donn´ee lieu `a plusieurs simulations num´eriques (Batrouni & Hwa 1994, Zeng, Middleton & Shapir 1996, Marinari, Monasson & Ruiz-Lorenzo 1995). Un ac-cord quantitatif acceptable entre ces simulations et les r´esultats du groupe de renormalisa-tion n’a cependant ´et´e possible qu’apr`es que le coefficient du ln²ait ´et´e obtenu correctement dans les travaux pr´esent´es au chapitre (6) (Carpentier & Le Doussal 1997).

La fonction de corr´elation connexe est quant `a elle identique `a celle de la phase haute temp´erature. Par ailleurs la non renormalisation de K indique ´egalement que cette fonction de corr´elation prend les mˆemes valeurs que dans le cas pur (sans champ magn´etique al´eatoire et sans vortex !).

Petite remarque : dans le calcul de cette fonction de corr´elation, nous avons choisi comme ordre particulier des limites de prendre la limite des r´epliques p→ 0 avant de prendre celle de grande distance l→ ∞ . Si nous avions pris l’ordre inverse la fonction de corr´elation Γab

divergerait dans cette phase dˆu `a la divergence de ∆(l) : Γab ∼ K−1δab− 1/(pKT ).