Les d´efauts topologiques : les vortex

(2.1) o`u α change de signe `a la transition et β est positif. En dimension deux, la valeur de α est tr`es grande, due aux fluctuations divergentes. L’´energie admet donc un minimum pour une valeur de la norme du param`etre d’ordre |hψ0i| = ^p|α|/4β. Lorsque β est large, les fluctuations de la norme|ψ| sont n´egligeables et l’on peut consid´erer la norme du param`etre d’ordre comme constante :|hψi(r)| = ^p|α|/4β. Le degr´e de libert´e qui reste est la phase de ψ, et l’´energie de ces fluctuations de phases (fluctuations ´elastiques) est donn´ee par F ≃ cte +J0

2 α 4β

R

r(∇θ)2. La distribution de probabilit´e d’´equilibre des fluctuations de ψ =|ψ|eiθ

est donn´ee par P [ψ] = e⁻kT¹ H_XY[ψ] o`u le hamiltonien peut se d´evelopper de la mˆeme fa¸con que l’´energie libre :

HXY[ψ] = ¹ 2

Z

r

K(∇θ)2 (2.2)

o`u nous avons aussi n´eglig´e les fluctuations de norme du param`etre d’ordre dans l’expression de HXY et dans cette approximation nous consid`ererons que K = J0|hψ0i|2.

Propri´et´es de basse temp´erature du mod`ele

A temp´erature nulle, le syst`eme est gel´e dans une phase d’angle constant. A temp´erature finie, et toujours en n´egligeant les fluctuations de norme de ψ, on peut calculer les fluctua-tions de ce param`etres d’ordre :

hψ∗(r)ψ(0)i = |hψ0i|2

e^{i(θ(0)−θ(r))} =|hψ0i|2e⁻¹2h(θ(0)−θ(r))2i

En effectuant la moyenne gaussienne `a l’aide de (2.2) on obtient h(θ(0) − θ(r))2i = ^T

πK^{ln(r/a) +}O(1)

o`u j’ai introduit un cut-off a au petite distance. La d´ecroissance des fonctions de corr´elation s’en d´eduit : hψ∗(r)ψ(0)i ≃ cte.^{ r} a − T 2πK (2.3) Cette d´ecroissance alg´ebrique avec un exposant η = T

2πK s’oppose `a la d´ecroissance expo-nentielle que nous attendons dans la phase d´esordonn´ee `a haute temp´erature. Le passage du comportement alg´ebrique `a l’exponentiel se produit lors d’une transition particuli`ere qui s’accompagne d’une prolif´eration de d´efauts topologiques : les vortex. Ces vortex permettent de tenir compte de fa¸con approch´ee des fluctuations de norme du param`etre d’ordre ψ.

2.2.2 Les d´efauts topologiques : les vortex

Les d´efauts topologiques sont d´efinis par une r´egion de coeur dans laquelle la phase θ est singuli`ere. En tournant autour de ce coeur, la phase est modifi´ee d’un multiple de 2π, ce qui n’affecte pas ψ. De fa¸con g´en´erale les charges des d´efauts topologiques d’un mod`ele

|ψ|

|ψ|

r

a

Fig. 2.3 – Comportement de la norme du param`etre d’ordre avec la distance au coeur d’un vortex XY

sont donc caract´eris´es par le groupe fondamental de l’espace des valeurs du param`etre d’ordre (invariant par la sym´etrie continue). Ici l’espace auquel appartient ψ est un cercle et π<sub>1</sub>(S<sub>1</sub>) = Z : la charge des d´efauts est donc donn´ee par un entier. Dans la pratique cependant, les d´efauts de charges plus grande que 2 (en valeur absolue) sont ´energ´etiquement d´efavoris´es. Dans notre cas ces d´efauts peuvent ˆetre consid´er´es comme ponctuels, mais ce sont g´en´eralement des objets caract´eris´es ´egalement par leur dimension (cependant seuls les d´efauts de codimension plus petite que la dimension de l’espace du param`etre d’ordre sont topologiquement stables).

Dans notre cas un vortex de charge n∈ Z situ´e en r0 est donc d´efini par la relation I

Γ

dθ(r) = 2πn (2.4)

o`u Γ est un chemin ferm´e quelconque qui entoure une seule fois le vortex. Une solution de cette condition est θsing = k.Φ(r− r0) o`u Φ est la partie imaginaire du logarithme (angle par rapport `a un axe de coupure arbitraire). Pour une collection de vortex de charges n_α en rα, cette relation peut ˆetre g´en´eralis´ee en

ǫij∂i∂jθ(r) = 2πn(r)≡ 2π^X α nαδ(r− rα)⇔ I Γ∇θ.dl = 2π Z S d²r n(r) (2.5)

o`u n(r) est la densit´e de vortex, ǫ est le tenseur antisym´etrique d’ordre 2 et S est une surface s’appuyant sur Γ.

De la d´efinition (2.4), on d´eduit que la phase autour d’un vortex `a l’origine se comporte avec la distance comme θ ∼ 1/r et est donc singuli`ere au coeur du vortex. Sachant que ψ doit ˆetre d´efini dans le plan entier, cette divergence impose que la norme du param`etre d’ordre|ψ| s’annule dans la coeur du vortex (fig.2.3).

Ainsi l’introduction des degr´es de libert´e li´es aux vortex dans le mod`ele permet de traiter de fa¸con approximative les fluctuations de la norme de ψ (Halperin 1979b). En particulier il est possible de montrer que dans le cas des superfluides ces vortex introduisent une densit´e normale ρn non nulle correspondant `a des fluctuations de|ψ| = ρs.

Halperin B. Superfluidity, melting and liquid-crystal phases in two dimensions. In Physics of low dimen-sional systems. Kyoto summer institute, 1979.

Interaction entre vortex

Il est utile pour la discussion qui va suivre de d´efinir l’analogue de la vitesse superfluide locale vi = ∂iθ. Nous pouvons alors d´ecomposer ce champ (de vitesse) en une partie irrota-tionnelle et une partie de rotationnel pur : v = vk+ v⊥ o`u ǫij∂iv^k_j = 0 et ∂iv⊥

i = 0. D’apr`es (2.5) nous d´eduisons imm´ediatement que

ǫij∂iv^⊥_j = 2πn(r)⇒ v⊥

i =^X

α

nα∂iΦ(r− rα)≡ Φ ∗ n (2.6) o`u j’ai introduit la notation fr´equemment utilis´ee dans la suite : n∗ V =^PαnαV (rα). Par ailleurs vk peut toujours s’´ecrire (par d´efinition) comme le gradient d’une phase monovalu´ee sur le plan : v_i^k = ∂iθsw. Il est alors naturel d’associer vk aux fluctuations ´elastiques (ou ondes de spins) et v⊥ au champ induit par les vortex. Si nous fixons comme conditions aux bords que θ(r) = 0, la vorticit´e totale de l’´echantillon est nulle : ^P_αnα = 0.

Le hamiltonien correspondant `a une configuration s’´ecrit maintenant H = ^K 2 Z r (v^⊥+ v^k)² = ^K 2 Z r  (v^⊥)²+ (v^k)^2 ≡ Hv + H_sw (2.7) Le terme crois´e^R v⊥

i v_i^k s’annule par int´egration par partie. Le hamiltonien d’une configu-ration se scinde donc en une partie purement ´elastique Hsw et une interaction entre vortex Hv, ou autrement dit la loi de distribution des fluctuations se d´ecompose en un produit de lois ind´ependantes pour les fluctuations ´elastiques et les fluctuations dues aux d´efauts topo-logiques. D’apr`es l’analyse ci-dessus nous savons que seules ces derni`eres peuvent modifier le comportement des fonctions de corr´elations de ψ et donc induire une transition.

Remarque sur la phase duale : le potentiel Φ v´erifie par d´efinition ∂jΦ(r) = ǫij∂iG(r) o`u G est le potentiel coulombien bidimensionnel (∂i∂iG = 2πδ(r)): G(r) = ln(r). La com-posante v⊥ peut donc s’´ecrire v⊥

i = ǫji∂j_{θ o`}˜ _{u ˜θ =} P

αnαG(r− rα) est la phase duale de θ qui v´erifie ∂i∂i_{θ = 2πn(r). Cette remarque permet de d´evelopper une analogie entre le}˜ probl`eme ci-dessus et l’´electrostatique bidimensionnelle (Halperin 1979b).

Pourvus de cette remarque nous pouvons trouver une expression plus simple pour l’in-teraction entre vortex :

Hv = ^K 2 Z r (v^⊥)² =−^K 2 Z r ˜ θ∂i∂i_{θ =}˜ −πK^X α,β nαGαβnβ (2.8)

o`u chaque paire de charges (α, β) est compt´ee deux fois. Nous avons utilis´e la neutralit´e de la configuration de vortex dans la derni`ere ´egalit´e. En plus de cette interaction, il faut ´egalement consid´erer l’´energie de coeur Ec des vortex, a priori uniforme : il s’agit de l’´energie locale qu’il faut fournir au syst`eme pour induire au niveau du coeur des grandes variations de φ. Une telle ´energie ne peut ˆetre calcul´ee qu’`a partir d’un mod`ele microscopique. Le terme additif `a Hv s’´ecrit donc +^P_αn2

αEc.

Halperin B. Superfluidity, melting and liquid-crystal phases in two dimensions. In Physics of low dimen-sional systems. Kyoto summer institute, 1979.