Effets d’un d´esordre corr´el´e

T → 1 de la solution `a un niveau de BSR avec ˜µ = 0. Dans cette limite, uc tend vers 1 alors que dans le mˆeme temps σ0 s’annule. Cette limite correspond exactement `a une solution sym´etrique (invariante par permutation des r´epliques) σ(u) = 0; ˜µ = 0. La transition est ainsi continue.

⋄ Transition entre verre de Bragg et phase liquide

Nous savons que la solution correspondant au verre de Bragg (phase avec BSR compl`ete) d´epend de l’intensit´e du d´esordre de grande longueur d’onde ∆. Nous allons donc nous int´eresser dans un premier temps au cas sans ∆. Afin de prendre avec pr´ecaution la limite

˜

T → 1 de la solution BSR compl`ete, nous revenons aux ´equations (5B.65-5B.70) initiales qui la d´efinissent. Cette derni`ere se simplifie dans cette limite pour donner σ1 = _Λ^{g σ}1

uc + σ1

 . La condition uc = g/Λ(1− g/Λ)−1 ne pouvant ˆetre satisfaite pour tout valeur de µ, nous en d´eduisons qu’alors σ1 = 0; ˜µ = 0. Ce r´esultat plaide donc en faveur d’une transition continue vers la phase liquide.

Ajoutons maintenant une petite intensit´e ∆ 6= 0. Ce cas est diff´erent du pr´ec´edent : comme il est possible de le voir sur l’expression du point de brisure (5.45), dans ce cas la solution BSR compl`ete cesse d’exister pour des temp´eratures plus grande que T∗ = Tc/(1 + ∆), qui est plus petite que Tc pour un ∆ fini. Juste au dessous de T∗, le domaine d’existence de la phase verre de Bragg est consid´erablement r´eduit (comme dans l’´etude du mod`ele de Larkin, et la ligne de transition est donn´ee par (5.46)). Pr`es de Tc, la solution n’existe plus que dans un domaine non perturbatif ou cette approche ne s’applique plus. De plus une analyse pr´ecise de stabilit´e serait alors n´ecessaire.

Le diagramme des phases final est r´esum´e sur la figure 5.13.

5.5 Effets d’un d´esordre corr´el´e

Dans cette partie nous utilisons les m´ethodes de renormalisation pr´ec´edentes pour ´etudier (par simple curiosit´e2) l’effet d’un d´esordre corr´el´e orthogonalement aux plans de lignes de flux. Le hamiltonien correspondant se d´eduit de (5.1,5.4) en imposant des corr´elations au potentiel : ∆≡ δ11 = δ12, g = g11= g12. Nous obtenons alors le mod`ele

H T ⁼ Z r X i=1,2 1 2⁽∇φi)²(r)− µ12cos(φ1(r)− φ2(r)) −^X i [η_i.∇i(r)− ζx i cos(φ_i(r))− ζi^ysin(φ_i(r))] (5.49) Comme pr´ec´edemment nous allons nous concentrer sur les premiers harmoniques du po-tentiel, correspondant aux op´erateurs les plus pertinents. La g´eom´etrie du mod`ele est

2. L’´etude pr´esent´ee dans cette partie n’a pas ´et´e publi´ee et est susceptible d’ˆetre ´etendue et pr´ecis´ee dans des travaux `a venir.

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 /Λ 0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 µ/Λ ∆ > 0 ∆ = 0 g solution (3D) : BSR complete solution 2D : 1 pas de BSR g 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 T/Tc 0.00 0.20 0.40 µ / Λ ∆ > 0 ∆ = 0 solution BSR complete un niveau de BSR e^{- 1}1+∆ T*/Tc

Fig. 5.13 – Diagramme des phases du mod`ele de plans coupl´es obtenu par la m´ethode variationnelle, pour diff´erentes valeur de la temp´erature T `a gauche, et du d´esordre g/Λ `a droite. Les diagrammes avec et sans intensit´e ∆ sont repr´esent´es.

repr´esent´ee sur la figure 5.14. Il est int´eressant en particulier de remarquer que le signe de la constante de couplage µ₁₂ est reli´e aux positions relatives l’un par rapport `a l’autre des r´eseaux de vortex de deux plans voisins.

Nous pouvons directement utiliser les ´equations (5.14) en les particularisant `a ce nouveau mod`ele. Nous utilisons les notations de la partie 5.3.2 : k = ǫ₁₁−ǫ12, k_c = ǫ₁₁+ǫ₁₂, µ = µ₁₂+g . Le comportement `a grande distance du mod`ele est alors d´etermin´e par les ´equations

∂lk = βk= ¹ 2^(µ 2 − g²) (5.50a) ∂lµ = βµ= 2kµ− g2 (5.50b) ∂lg = βg = (k + kc)g + µg− 2g2 (5.50c) ∂lkc = 0 (5.50d) ∂l∆ = g²/4 (5.50e)

En regardant ces ´equations nous pouvons v´erifier que l’ensemble des hamiltoniens avec un d´esordre corr´el´e selon z correspond bien `a un sous espace stable : les consitions δ11 = δ12

et g₁₁= g₁₂sont invariantes par renormalisation. Nous pouvons ´egalement identifier d’autres sous espaces laiss´es stables par le flot de renormalisation.

⋄ Sous espaces stables : le plan µ − g = k − kc = 0 est une sous-vari´et´e stable de l’espace des param`etres. Si nous r´eduisons notre ´etude `a ce plan nous retrouvons les ´equations de renormalisation obtenues par Cardy et Ostlund dans leur ´etude du mod`ele XY en pr´esence d’un champ magn´etique al´eatoire (Cardy & Ostlund 1982). En particulier les points fixes de Cardy et Ostlund sont ici des points fixes perturbatifs pour le mod`ele

µ y z y z x reseau triangulaire ( <0) desordre correle Vortex

Fig. 5.14 – Geom´etrie du mod`ele en pr´esence d’un d´esordre corr´el´e dans le cas µ12≤ 0. Le potentiel d´esordonn´e est maintenant invariant par translation selon l’axe z. Le signe − du couplage µ12correspond `a un r´eseau triangulaire : les vortex sont d´ecal´es d’un plan `a l’autre. L’´etude propos´ee correspond en fait `a la situation µ12 ≥ 0 : dans l’autre cas le d´esordre corr´el´e n’a quasiment aucun effet (voir le texte) : l’´energie gagn´ee par les d´eplacements dans un plan est alors perdue dans le plan voisin. La situation est diff´erente pour le r´eseau carr´e (µ12≥ 0). complet : point fixe CO    k = kc ; µ = g ∆ → ∞ g∗ = µ∗ = 2kc ≥ 0 (5.51) Un point fixe correspondant `a une phase `a haute temp´erature est ´egalement pr´esent dans ce sous espace. Le diagramme de flot de renormalisation dans ce plan stable est repr´esent´e sur la figure 5.15. Nous pouvons d´eduire des ´equations de renormalisation que k n’est pas renormalis´e, et que le flot est enti`erement d´etermin´e par le comportement d’´echelle de g.

⋄ Points fixes:

Le flot de renormalisation est domin´e par trois diff´erents points fixes perturbatifs. Dans

g

⁰ _{CO fixed line} µ = g k = k⁰c 0 0 0 k0 HT fixed line

Fig. 5.15 – Flot de renormalisation du mod`ele avec d´esordre corr´el´e, restreint au plan µ=g, k = kc.

kc HT Phases * k+k<0 c c k* 0

Fig. 5.16 – R´egion de stabilit´e de la ligne de poins fixes de haute temp´erature (zone ha-chur´ee).

notre ´etude, nous allons consid´erer kc comme un param`etre. De plus nous pouvons re-marquer que l’intensit´e du d´esordre ∆ se d´ecouple du reste du hamiltonien par suite de la sym´etrie statistique du mod`ele identique `a celle du mod`ele planaire (Hwa & Fisher 1994, Toner & DiVicenzo 1990) (voir aussi `a ce sujet le chapitre suivant).

Afin de d´eterminer la nature des points fixes, nous allons ´etudier les valeurs propres de la matrice de stabilit´e associ´ee `a chacun de ces points fixes. Cette derni`ere est d´efinie en fonction des fonctions β du groupe de renormalisation par M_ij = ∂β_i/∂x_j. Pour nos ´equations de renormalisation (5.50), elle est d´efinie par

M =   0 µ −g 2µ 2k −2µ g g (k + k_c) + µ− 4g   (5.52)

Le premier point fixe que nous ´etudions appartient `a la ligne de points fixes habituels de haute temp´erature. Cette ligne est stable pour k∗ ≤ 0 et k∗+ k∗

c ≤ 0 (voir la figure 5.16). Le second point fixe perturbatif correspond `a la ligne de points fixes de Cardy-Ostlund d´efinis pour kc > 0. Les valeurs propres de la matrice de stabilit´e associ´ee sont, dans les coordonn´ees (k, µ, g) : une valeur propre (−kc) associ´ee au plan {[1, 0, 1]; [−1, 1, 0]} et une valeur propre positive (+kc) associ´ee `a la direction [1, 2, 1]. Ce point fixe est donc associ´e `a une transition.

Finalement le point d´esordonn´e anti-ferromagn´etique (AD) est d´efini par µ∗ = −g∗ = 2k∗; k∗ =−1

7kc qui n’existe que pour kc ≥ 0 (demi-ligne de points fixes). Les valeurs propres n´egatives (k, 3k) de la matrice de stabilit´e sont associ´ees au plan {[1, 0, 1]; [0, −1, 1]} alors que le vecteur propre correspondant `a la valeur propre positive (−k) est d´efini par les coordonn´ees [−1, 1, 0]. Ce point correspond donc `a un point fixe de transition.

Le flot peut ´egalement quitter le domaine perturbatif, ce qui correspond `a un compor-tement tridimensionnel dans lequel les plans sont coupl´es les uns aux autres.

Ainsi le flot de renormalisation `a kc ≤ 0 poss`ede deux points fixes de transition, qui tous deux sont associ´es `a deux surfaces critiques. Les directions des vecteurs propres associ´es aux valeurs propres positives correspondent aux directions “pertinentes”.

Hwa T. & Fisher D., (1994). Phys. Rev. Lett., 72:2466. Toner J. & DiVicenzo D., (1990). Phys. Rev. B, 41:632.

g

HT critical HT line

point

ε

Fig.5.17 – Flot de renormalisation autour du point de transition KT (µ = g = 0, k =−kc).

Le diagramme des phases qui se d´eduit de tout ceci est repr´esent´e sur la figure 5.18 pour k_c ≥ 0. Les deux phases tridimensionnelles sont : une phase d´esordonn´ee caract´eris´ee par (µ, g, k → ∞) et une phase correspondant `a une r´eseau tridimensionnel d’Abrikosov triangulaire pur (AT), dans laquelle les r´eseaux de lignes sont d´ecal´es d’un plan `a l’autre (g → 0, µ → −∞, k → ∞). La non pertinence du d´esordre autour de ce point fixe AT peut paraitre ´etonnante a priori : nous nous attendrions `a ce que ce d´esordre d´etruise cette phase `a temp´erature nulle. Cependant nous devons nous souvenir que nous ne prenons en compte ici que la premi`ere harmonique du d´esordre qui a une p´eriodicit´e ´egale `a a. Un simple regard `a la figure 5.14 suffit pour nous convaincre qu’un tel d´esordre ne sera pas efficace dans la destruction d’un r´eseau tridimensionnel. Cependant les harmoniques plus ´el´ev´es du d´esordre d´estabiliserait sans aucun doute ce point fixe, `a une temp´erature cependant plus faible que T c.

Autour du plan critique KT, le flot est domin´e par la renormalisation de g et ǫ = k + kc

puisque µ est d’ordre g2. Dans ce r´egime les ´equations de renormalisation s’´ecrivent :

∂lg = ǫg− 2g2

∂lǫ = −¹ 2^g

2

La pente locale de la ligne de flot λ(l) = g(l)/ǫ(l) satisfait l’´egalit´e λ^′(l) = λ(λ²/2− 2λ + 1)ǫ(l). Il existe donc deux lignes invariantes sous ces ´equations de renormalisation, qui correspondent aux pentes λ∗ = 2±^√2. Puisque ǫ(l) ne peut que d´ecroitre, le flot se rapproche du point critique le long de ces lignes. La recherche d’une valeur limite finie pour λ∗ avec ǫ∗ = g∗ = 0 nous am`ene `a une incoh´erence dans les ´equations ci-dessus : la ligne g = (2 +√

2)ǫ est donc la s´eparatrice entre le bassin d’attraction du point fixe critique de haute pemp´erature et de la r´egion qui converge vers la ligne de points fixes `a k < k_c. Le flot complet est report´e sur la figure 5.18

Le diagramme des phases dans la r´egion kc ≤ 0 est beaucoup moins int´eressant et ne sera pas ´etudi´e ici.

k µ phase 3D triangulaire point AT point CO phase carree 3D phase 2D decouplee point de transition HT g separatrice

Fig. 5.18 – Flot de renormalisation pour kc ≥ 0.

5.6 Conclusion

Nous venons ainsi d’´etudier un mod`ele de plans de vortex parall`eles les uns aux autres. `

A l’aide du groupe de renormalisation et de la m´ethode variationnelle avec r´epliques nous avons montr´e que le d´esordre induisait dans ce mod`ele une transition du premier ordre correspond `a une prolif´eration de boucles de dislocations induite par le substrat d´esordonn´e. Des arguments d’´energies (pour une boucle de dislocation) et une m´ethode variationnelle sans r´epliques ont ´et´e utilis´ees dans (Kierfeld & Hwa 1996) pour obtenir des r´esultats comparables.

Cette ´etude montre donc, dans un cas certes particulier, que la phase de verre de Bragg est bien stable en dimension trois, et est d´etruite par un d´esordre trop fort. Ce d´esordre induit alors des boucles de dislocations dans le r´eseau. Cette ´etude est donc en accord avec les r´esultats de (Giamarchi & Le Doussal 1995).

Afin de mieux comprendre cette transition, nous pouvons la relier `a quelques longueurs caract´eristiques de ce r´eseau. Dans la phase tridimensionnelle (verre de Bragg), dans chaque plan le r´eseau n’est coupl´e aux plans voisins qu’`a des ´echelles plus grandes qu’une longueur R_3d. Celle-ci peut ˆetre ´evalu´ee simplement en d´eveloppant le couplage en cosinus (dans la limite d’un couplage effectif important) et en utilisant un argument d’´echelle : c(a/R3d)2 ∼ ˜µa2(2π/a)2 o`u ˜µ est le couplage effectif entre plan (voir le corps du chapitre). Ceci nous donne une ´evaluation de R3d: R3d ∼ 2π<sup>p</sup>c/˜µ. D’apr`es l’expression (5.22) du couplage effectif, nous obtenons

R3d∼ ^µe ˜ T Λ ! 1 2(1− ˜T )

Chaque plan est par ailleurs ´egalement caract´eris´e par la longueur translationnelle

bidi-Kierfeld J. & Hwa T., (1996). Phys. Rev. Lett., 77:4233. Giamarchi T. & Le Doussal P., (1995). Phys. Rev. B, 52:1242.

mensionnelle R_a ∼ a(2πΛ/T g)2(1− ˜T ). Comme l’´etude de renormalisation nous le sugg`ere (et ce qui apparait physiquement raisonnable), nous retrouvons la transition (5.23) de d´ecouplage du premier ordre lorsque ces deux longueurs deviennent du mˆeme ordre. Ce lien entre couplage effectif et ordre bidimensionnel dans les plans se trouve d´ej`a dans la d´efinition de ˜µ. Ainsi si la longueur Ra est plus grande que R3d, le d´esordre est trop faible pour d´etruire l’ordre du r´eseau en dessous de R3d: les vortex se couplent donc entre plans (au del`a de R<sub>3d</sub>) comme dans le cas pur. Dans le second cas au contraire le d´esordre est suffisamment fort dans chaque plan pour induire des d´eplacements relatifs de l’ordre de a en dessous de R3d. Ces d´eplacements empˆechent le couplage entre plan et conduisent `a une phase amorphe.

En conclusion, remarquons que la g´en´eralisation de notre ´etude au cas g´en´eral du r´eseau tridimensionnel isotrope parait cependant d´elicate : dans le cas g´en´eral nous devons consid´erer des boucles de dislocations qui ne sont plus planaires, mais peuvent fluctuer dans les trois directions. De tels d´efauts topologiques auraient a priori une ´energie plus faible que les boucles de dislocations planaires dans le cas g´en´eral.

Annexe A Equations variationnelles

Dans cet annexe nous ´etablissons les ´equations variationnelles g´en´erales pour le hamil-tonien : H = Z d²r¹ 2^K −1 ij ∇φi∇φj− Mijcos(φi− φj) (5A.53) Les hamiltoniens gaussiens d’essai sont d´efini par une matrice G :

H0 = ¹ 2

Z d2q

(2π)2 φi(q)[G(q)⁻¹]ijφj(−q) (5A.54) L’´energie variationnelle est, quant `a elle, donn´ee par

Fvar = −T ln T r exp(−H0/T ) +hH − H0iH0 = ^T 2 Z d2q (2π)2T r− ln G(q) + q2KG(q) −^X ij Mijexp  −¹ 2^Bij  (5A.55) avec les corr´elateurs

Bij = T Z

d2q

(2π)2(G(q)ii+ G(q)jj− 2G(q)ij)

La maximisation de cette ´energie libre par rapport aux coefficients de la matrice Gij(q) donne les ´equations de point col suivantes :

G(q)−1 ij = K_ijq2+ σ_ij (5A.56) σij = 2 δij X k Mike⁻¹2Bik − Mije⁻¹2Bij ! (5A.57) Nous pouvons maintenant particulariser ces ´equations au mod`ele (5.5) en d´ecomposant l’indice i en un indice de r´eplique a et un indice de plan α : i = (a, α) o`u a ∈ [1, . . . , m]. En utilisant la condition (5.6), nous obtenons

G(q)⁻¹_aα,bβ = K_aα,bβ⁻¹ q²+ σaα,bβ σaα,bβ = σ_αβ^c δab+ σaα,bβ (5A.58) o`u nous avons d´ecompos´e l’´energie libre en une somme de sa partie connexe σc

αβ, qui va modifier la valeur du couplage µ entre plan, et une composante σaα,bβ qui modifie le d´esordre. Cette derni`ere v´erifie ^P_bσaα,bβ = 0. Cette ´energie devient ainsi

σ^c_αβ = 2 δαβ

X

γ

µαγe⁻¹2Baα,aγ− µαβe⁻¹2Baα,aβ (5A.59)

+δαβ X γ gαγ X b e⁻¹2Baα,bγ − gαβ X b e⁻¹2Baα,bβ ! σaα,bβ = −2gαβ e⁻¹2Baα,bβ− δab X c e⁻¹2Baα,cβ ! (5A.60)

Si nous nous restreignons encore un peu plus en ne gardant que les termes pr´esents dans la hamiltonien initial (5.4), il ne nous reste plus que

σ_αβ^c = ˜µ (2δαβ− δα+1,β− δα−1,β) (5A.61) ˜

µ = µe^−1/2Baα,aα+1 (5A.62)

σaα,bβ = −2gδαβ e⁻¹2Baα,bα− δab X c e⁻¹2Baα,cα ! (5A.63) o`u nous avons impos´e des conditions aux limites p´eriodiques dans la direction z.

Annexe B Solutions des ´equations variationnelles

Dans le document Défauts topologiques en présence de désordre, et application aux réseaux de vortex dans les supraconducteurs (Page 152-160)