Analyse du mod`ele `a N plans

Nous passons maintenant au mod`ele d´ecrivant N plans coupl´es en pr´esence de d´esordre ponctuel, o`u nous allons en fait faire tendre N vers l’infini pour nous affranchir des probl`emes de bords. La difficult´e essentielle provient maintenant du nombre infini de constantes de couplage dont nous devons ´etudier le comportement d’´echelle : en effet nous devons a priori consid´erer des couplages ´elastiques possibles entre toute paire de plans (α, β). Les va-leurs propres des ´equations de renormalisation de toutes ces constantes de couplage ´etant diff´erentes et ind´ependantes, nous ne pouvons nous ramener `a un nombre fini de constantes sans approximation. Deux choix possibles se pr´esentent `a nous : soit tronquer de fa¸con auto-coh´erente la s´erie infinie des constantes de couplage `a une distance donn´ee, soit consid´erer une approximation de type champ moyen dans laquelle chaque plan est coupl´e de fa¸con ´egale avec tous ses voisins. Nous n’allons pas consid´erer la seconde possibilit´e, apparem-ment moins r´ealiste physiqueapparem-ment, et utiliserons plutˆot une proc´edure de troncation de la matrice de couplage. Nous ne consid´ererons que les couplages entre premiers et seconds plus proches voisins : dans ce cadre la pr´esence d’une phase tridimensionnelle se manifestera par des valeurs comparables de ces deux types de couplage. Bien sˆur l’approximation utilis´ee

Larkin A. & Ovchinikov Y., (1979). J. Low Temp. Phys., 34:409–428. Giamarchi T. & Le Doussal P., (1995). Phys. Rev. B, 52:1242.

10^-7 10^-6 10^-5 10^-4 10^-3 g0 200.0 300.0 400.0 500.0 600.0 longueur de Larkin resolution numerique courbe theorique 10^-7 10^-6 10^-5 10^-4 5.8 6.8 7.8 8.8 9.8 10.8 resolution numerique courbe theorique ε0=0.001 : ε0=0.08 :

Fig. 5.5 – Comparison entre la d´ependance en l’intensit´e du d´esordre de la longueur th´eorique de Larkin et la valeur num´erique de la longueur de corr´elation ael∗

de la phase d´esordonn´e 2D `a la transition.

cesse alors d’ˆetre valide. Ceci ne se passe heureusement qu’au voisinage imm´ediat de la transition qui se trouve ˆetre du premier ordre : nous pouvons donc raisonnablement esp´erer pouvoir d´ecrire correctement la diagramme des phases.

Pour ˆetre plus pr´ecis, mettons donc en oeuvre cette approximation. Pour toute s´eries de couplages kα,β, nous ne gardons dans toutes le ´equations de renormalisation que les trois premiers termes : le couplage intra-plans k0 ≡ kα,α , celui entre plus proches voisins k1 ≡ k_α,α±1, et celui entre seconds voisins k2 ≡ kα,α±2. Avec cette approximation les ´equations de renormalisation se reformulent selon

∂l∆i = ¹ 4 ^g 2 i ; i = 0, 1, 2 (5.15a) ∂lki =−¹₄(µ_i²− gi²) ; i = 1, 2 ∂lk0 = ¹ 4^(µ 2 1+ µ²₂− g²1− g2²) (5.15b) ∂lg0 = 2g0k0+ [2(µ− g)1g1+ 2(µ− g)2g2− g2 0] (5.15c) ∂lg1 = 2g1(k0 + δ1− δ0) + [(µ− g)1(g0+ g2) + µ− g)2g1− g0g1] (5.15d) ∂lg2 = 2g2(k0 + δ2− δ0) + [(µ− g)1g1+ (µ− g)2g0− g0g2] (5.15e) ∂lµ₁ = 2µ₁(k0− k1+ ∆1− ∆0) (5.15f) +¹ 2^{[(µ + g)1(µ}− g)2+ (µ + g)2(µ− g)1− 2g0g1] ∂lµ₂ = 2µ₂(k0− k2+ ∆2− ∆0) + ¹ 2^{[(µ + g)1(µ}− g)1− 2g0g2] (5.15g) Comme dans la partie pr´ec´edente dans l’´etude de deux plans, nous avons ´etudi´e num´eriquement ces ´equations de renormalisation coupl´ees. Cette int´egration est r´eduite `a la sous-vari´et´e correspondant aux conditions initiales ∆i = 0 ∀ i ; ki = gi = 0 i = 1, 2 ; µ₂ = 0. Nous ignorons les points fixes ne jouant aucun rˆole dans cette sous-vari´et´e (ils existent !). De fa¸con analogue au cas pr´ec´edent, trois diff´erentes phases sont observ´ees :

1. une phase tridimensionnelle d´esordonn´ee (3D) : k0, g0, g1, g2, µ1, µ2 → ∞, k1, k2 → −∞

2. la phase d´ecoupl´ee d´esordonn´ee (CO) : k0 → k∗

0 < ∞, g0 → g∗ 0 > 0, k1, k2 → k∗ 1, k∗ 2 < 0, ∆1, ∆2 → ∆∗ 1, ∆∗ 2 <∞, g1, g2, µ1, µ2 → 0 3. Une phase d´ecoupl´ee liquide.

Aux deux transitions vers la phase liquide d´ecoupl´ee, toutes les longueurs caract´eristiques divergent, ce qui est interpr´et´e comme la manifestation d’une transition continue. Cette transition survient lorsque la temp´erature renormalis´ee vaut Tc, soit pour une temp´erature initiale l´eg`erement en dessous de T<sub>c</sub>: T∗ .T<sub>c</sub>. Nous ne nous int´eressons pas plus `a cette tran-sition sachant que cette temp´erature de trantran-sition semble ˆetre sup´erieure `a la temp´erature de la transition supraconducteur-normal dans l’´echantillon (Efetov 1979, Mikheev & Kolo-meisky 1991, Korshunov & Larkin 1992).

La transition entre les deux phases d´esordonn´ees (tridimensionnelle et bidimensionnelle) s’´etend au contraire juqu’`a la temp´erature nulle. De mˆeme que pour le cas de deux plans, cette transition peut ˆetre caract´eris´ee pr´ecis´emment bien que les phases de part et d’autre correspondent `a des points fixes non perturbatifs dans notre approche. Ainsi si nous nous focalisons sur la constante de couplage µ1(l), son comportement est tr`es diff´erent dans les deux phases : il passe d’une divergence aux grandes ´echelles dans la phase tridimensionnelle, `a une annulation dans l’autre phase (voir la figure 5.6). De plus dans la phase bidimension-nelle, le r´egime asymptotique est atteint au del`a d’une ´echelle finie correspondant `a l∗. Or cette longueur de corr´elation ne diverge pas `a la transition mais reste finie, ce qui corres-pond `a une transition du premier ordre entre les deux phases d´esordonn´ees. Cette longueur

Efetov K., (1979). Sov. Phys. JETP, 49:905.

Mikheev L. & Kolomeisky E., (1991). Phys. Rev. B, 43:10431–10435. Korshunov S. & Larkin A., (1992). Phys. Rev. B, 46:6395–6399.

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 (l-1000)/400 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 µ1 phase 3D phase 2D l* lc

Fig. 5.6 – Constante de couplage entre plans plus proches voisins µ1(l) en fonction du logarithme de l’´echelle, au voisinage de transition entre les deux verres. Deux comportements sont facilement identifi´es : le r´egime bidimensionnel qui est atteint au bout d’une longueur l∗, et le r´egime tridimensionnel. A la transition cette longueur l∗ demeure constante, et ´egale `a la longueur de Larkin lc. Sur cette figure, la valeur initiale du couplage µ0

1 est vari´ee, avec toutes les autres valeurs initiales constantes.

finie `a la transition, qui d´epend de l’intensit´e initiale du d´esordre de petite longueur d’onde, peut ˆetre indentifi´ee `a la longueur de Larkin dans chaque plan (fig. 5.6).

Une d´etermination num´erique pr´ecise de cette longueur l∗ `a la transition a ´et´e faite, et les r´esultats sont repr´esent´es sur la figure 5.7. Contrairement au cas bidimensionnel, nous pouvons observer une l´eg`ere diff´erence entre cette longueur et la longueur de Larkin th´eorique, qui doit sans doute ˆetre imput´ee `a notre hypoth`ese de travail (troncature de la s´erie des couplages).

La s´eparatrice correspondant `a cette transition du premier ordre peut ´egalement ˆetre d´etermin´ee num´eriquement. Ici encore une l´eg`ere diff´erence avec le mod`ele `a deux plans est observ´ee. Remarquons d’abord que la divergence des flots de renormalisation autour de la transition se fait tr`es brutalement. Cette propri´et´e nous permet de v´erifier que l’ind´etermination sur la s´eparatrice est faible : en effet d`es que le flot quitte le r´egime pertur-batif, notre analyse cesse d’ˆetre valable. Nous escomptons alors une phase tridimensionnelle, mais ne pouvons la d´ecrire pr´ecisemment. Ce r´egime o`u notre analyse est invalid´ee est r´eduit du fait de cette divergence rapide `a une ´echelle finie. Deux s´eparatrices sont repr´esent´ees sur la figure 5.8. Elles sont d´ecrites par des ´equations de la forme µ1 = C g1+ǫ o`u ǫ est un tr`es petit param`etre positif qui d´epend de la temp´erature. Ce r´esultat est en parfait

1e-06 1e-05 0.0001 0.001 5e+03 2e+04 2e+04 4e+04 4e+04 longueur de Larkin (kc=0.0001) resultat de l’integration (kc=0.0001) long. de Larkin theorique (kc=0.0001)

1e-06 1e-05 0.0001 0.001 g0 750.0 1250.0 1750.0 2250.0 long. de Larkin (kc=0.003) resultat de l’integration (kc=0.003) long. de Larkin theorique (kc=0.003)

Fig. 5.7 – D´etermination num´erique de la longueur caract´eristique finie `a la transition et expression th´eorique de la longueur de Larkin .

accord avec l’analyse que nous allons maintenant mener avec une m´ethode variationnelle compl`etement diff´erente de ce groupe de renormalisation. Dans ce cas une valeur non nulle de l’intensit´e du d´esordre de grande longueur d’onde ∆0 induit une d´eviation par rapport `a une s´eparatrice lin´eaire dans le plan µ, g.