Le mod` ele de flou - Troisi` eme ´ etape : la mod´ elisation du syst` eme optique

4.4 Troisi` eme ´ etape : la mod´ elisation du syst` eme optique

4.4.2 Le mod` ele de flou

equation en proposant un modèle discret dans la partie 4.4.3. Mais avant tout, nous avons besoin de modéliser la PSF du système, c’est-à-dire le flou.

4.4.2 Le mod`ele de flou

Nous avons discuté des différents modèles de « flou » dans le chapitre 3. Le modèle de flou le plus commun en vision par ordinateur est le modèle de flou gaussien. Après avoir ´

etudié le modèle presque exact de Stokseth, nous en dériverons un modèle de flou gaussien et nous l’étudierons. Nous allons voir que bien que ces deux modèles soient assez proches « à l’œil », il peut exister au sens des moindres carrés une erreur importante entre eux. Nous verrons pourquoi nous abandonnons le modèle gaussien.

4.4.2.1 Le mod`ele de Stokseth

Nous allons reprendre les commentaires sur la formulation de l’OTF de Stokseth qui est plus détaillée dans les chapitres 2 et 3. Contrairement à ce que nous avons annoncé jusqu’à présent, nous allons travailler directement avec l’OTF¹⁰ H(u, v, ε) et non avec la PSF¹¹ h(x, y, ε). Ces fonctions sont équivalentes à une transformation de Fourier près, et il est plus aisé d’établir l’équation de l’OTF [Castleman 96] [Stokseth 69] :

H(q, ε) = (1 − 1.38 ( ^q f_c^{) + 0.0304 (} q f_c⁾ 2+ 0.344 (^q f_c⁾ 3) J inc 4k w(ε) 1 − ^q f_c q f_c (4.7) o`u q = ^px2+ y2, J inc(x) = 2^J1(x)

x avec J1 le premier ordre de la fonction de Bessel, f_c = _{λ d}^{2 A}

f est la fr´equence de coupure et k = ^{2 π}_λ . Stokseth note w(ε) = −d_i− ∆z(ε) cos α + q d²_i + 2di∆z(ε) + (∆z(ε) cos α)² o`u α = arctan A di et ∆z(ε) = di − ^{f (d}f+ε) d_f+ε−f pour un microscope.

L’avantage de cette formulation est qu’elle simplifie et corrige celle de Hopkins [Hopkins 55]. Elle permet de modéliser l’OTF du système par une fonction ne dépendant que des va-riables d’espace, et seulement 5 paramètres du système optique. Ce sont :

– le grossissement G : c’est uniquement le grossissement de l’objectif, pas celui de l’oculaire ;

– la longueur d’onde λ utilis´ee ;

– la longueur optique du tube di: en microscopie, la distance diest fixée par la longueur optique du tube. La distance mécanique du tube (distance physique) est généralement de 160mm. Cela nous donne une longueur optique comprise entre 190 et 210mm. Cela dépend du fabricant ;

10. Optical Transfert Function : Fonction de Transfert Optique en fran¸cais.

96 CHAPITRE 4. LE MOD `ELE PROPOS ´E

– l’ouverture num´erique ON ;

– l’indice n₀ du milieu entre le spécimen et la première lentille du microscope : si le microscope est à immersion, cet indice est celui de l’huile utilisée pour réaliser l’immersion. Sinon, cet indice est celui de l’air.

Le modèle de Stokseth est le modèle le plus proche de la réalité [[cite]] pour de grandes comme pour de petites défocalisations. Mais il semble complexe (fonction de Bessel) et on rencontre très souvent en vision par ordinateur un modèle de flou gaussien. Nous allons en dériver un du modèle de Stokseth pour vérifier s’il peut effectivement simplifier le modèle.

4.4.2.2 Le mod`ele gaussien

Nous avons développé un modèle de flou gaussien pour le confronter au modèle de Stokseth et vérifier s’il peut le remplacer dans une bonne approximation. La plupart des travaux en vision par ordinateur [Nayar 94] [Tomczak 98] (voir le chapitre 3) qui traitent du flou utilisent un flou gaussien basé sur les travaux de Pentland [Pentland 87]. Afin de rester proche des travaux effectués en vision par ordinateur, il peut être intéressant de travailler avec un modèle gaussien.

Nous avons présenté [Dey 01] un modèle d’OTF qui dérive du modèle de Stokseth (Eq. 4.7) ; nous allons approximer la fonction de Bessel par une gaussienne. On peut trouver des généralités intéressantes sur les fonctions de Bessel dans [Num.Rec. 93, Ch.6]. L’expression générale du développement en séries de Taylor en 0 de la fonction de Bessel Jn(x) d’ordre n est donnée par l’Eq. 4.8 :

Jn(x) = ∞ X m=0 (−1)^m(^x₂)^n+2m m! (m + n)! ^(4.8) Pour un J_inc(x) = 2^J1(x)

x , cela donne J_inc(x) = 1 − ^x₈² + ₁₉₂^x⁴ − x6

9216 + .... L’expression générale du développement en séries de Taylor pour une gaussienne G(x) = e^−α²^x² est donnée par l’Eq. 4.9 :

G(x) = ∞ X m=0 (−1)^m(α x)^2m m! ^(4.9) ce qui donne G(x) = 1 −^x₈²+^x₆₄⁴− x6

512+ ... si α²= ¹₈. Ces développements sont similaires en ce qui concerne l’alternance du signe et les puissances des termes, mais les dénominateurs dans la décomposition de Bessel augmentent plus vite que dans le cas de la gaussienne. J_inc(x) a des valeurs négatives alors que la gaussienne est définie positive. On approche J_inc(x) par e⁻^x28 ce qui transforme l’Eq. 4.7 en :

H(q, ε) = (1 − 1.38 (^q fc ) + 0.0304 (^q fc )²+ 0.344 (^q fc )³) e⁽ 4k w(ε)(1−fc^q) q fc)² 8 (4.10)

Sur la Fig. 4.16, nous avons représenté l’OTF de Stokseth et son approximation gaussienne pour 2 valeurs de défocalisation. Nous avons fait tous ces développements pour x 1,

4.4. TROISI ÈME ÉTAPE : LA MOD ÉLISATION DU SYST ÈME OPTIQUE 97

Fig. 4.16 – Coupes à 1D des 2 types d’OTF : l’OTF de Stokseth et son approximation par une gaussienne. Il y a 2 paires de courbes : les 2 courbes supérieures sont défocalisées de 1 µm et les courbes du bas de 2 µm.

mais sachant que ces fonctions d´ecroissent toutes les deux vers 0, l’erreur pour les grandes valeurs de x n’est pas divergente.

Nous pouvons étudier l’erreur entre le modèle de Stokseth et le modèle gaussien en fonction de la défocalisation. Cette erreur est une erreur cumulée au sens des moindres carrés. Nous avons tracé cette erreur en fonction de la défocalisation sur la Fig. 4.17 (a). Elle est maximale à ±1.6 µm. Il ne faut pas oublier qu’une grande partie de l’erreur provient du fait que le modèle gaussien est positif, tandis que le modèle de Stokseth peut devenir négatif. Le modèle gaussien annule donc l’effet d’inversion de contraste (OTF négative) dont on a parlé dans le chapitre 2. De plus, une différence entre 2 OTF induit une différence dans l’énergie qui va pouvoir passer. Sur la Fig. 4.17 (b) nous voyons que l’approximation gaussienne peut laisser passer plus d’énergie que l’OTF de Stokseth, et il faut investiguer plus en avant.

L’OTF d’un système est en quelque sorte un filtre qui laisse ou non passer de l’énergie. L’énergie qui passe est proportionnelle à la surface située sous cette courbe (voir Fig. 4.18 (a)). Entre deux courbes, on peut considérer qu’il y a plus d’énergie qui passe si la surface d’intégration est supérieure et vice-versa. Sur la Fig. 4.18, nous avons représenté en pour-centages la variation relative de surface du modèle d’OTF de Stokseth par rapport à son approximation par une gaussienne. Ces calculs sont effectués pour des intervalles de d´ efo-calisation de [−30; 30] µm (Fig. 4.18 (b)) et sur la portion la plus proche de la profondeur de champ, dans l’intervalle [−5; 5] µm (Fig. 4.18 (c)). Nous voyons des variations relatives de ±20% ce qui est très important.

De plus, un calcul de vitesse d’algorithme sur un PC Linux équipé d’un processeur Pentium III cadencé à 850 MHz et de 128 Mo de mémoire vive donne une moyenne

98 CHAPITRE 4. LE MOD `ELE PROPOS ´E

(a) erreur cumul´ee `a 1D (b) erreur relative pour ε = 1.6µm

Fig. 4.17 – Différence entre le modèle de Stokseth et le modèle à base de gaussienne. (a) Nous avons tracé la courbe de l’erreur cumulée (au sens des moindres carrés) en fonction de la défocalisation. Les calculs ont été fait à 1D sur toute la zone de variation des modèles d’OTF (pour une fréquence absolue inférieure à la fréquence de coupure) en prenant un échantillonnage fin de 10⁴ points par micron. Le grand nombre de points explique que les valeurs culminantes des erreurs soient également très fortes (199.5 au maximum). Si on divise par 10 le nombre de points, cela revient aussi à diviser par 10 cette valeur maximale. (b) Etude plus détaillée de la différence relative entre l’OTF de Sokseth et son approximation gaussienne pour un des pic de l’erreur cumulée (on a choisi ε = 1.6 µm). Sur cette sous-figure, nous voyons donc que les valeurs prises par la gaussienne sont supérieures à celle de l’OTF de Stokseth.

de 6.89 s pour le modèle de Stokseth et de 6.31 s pour son approximation gaussienne (100000 points par pixel, défocalisation de 3 µm). Le gain en vitesse est intéressant mais pas révolutionnaire, puisqu’il se situe aux alentours de 10%.

En conclusion, toutes ces raisons font que nous ne nous intéressons pas à un modèle d’OTF gaussien et que nous conservons celui de Stokseth.

5), en utilisant le flou gaussien, la simulation est satisfaisante. Le probl`eme inverse visant `

a enlever le flou présent dans une séquence d’images réelles est alors réalisable en utilisant les méthodes de déconvolution gaussiennes comme celle de Haar [t. Haar Romeny 94] (voir chapitre 3 pour plus de détails bibliographiques).

Dans le document Etude de la formation de l'image d'un objet microscopique 3D translucide - Application à la microscopie (Page 108-111)