D´ etails sur l’impl´ ementation de la source lumineuse

eclair´e peut changer ´enorm´ement (en valeurs relatives) lorsque l’on change la valeur de ce param`etre. Dans le cas du mod`ele d’une sph`ere translucide qui baigne dans un milieu d’indice inf´erieur, une caustique se forme (voir le chapitre 2 et la Fig. 4.10 par exemple), et un point caract´eristique tr`es intense apparaˆıt sur l’axe optique. Si on augmente l’angle maximum d’´eclairage, ce point particulier se rapproche de la sph`ere, comme si l’on avait fait varier les indices. Pour ce point particulier, il existe une distance maximale `a la sph`ere qui correspond `a un angle d’´eclairage maximal ´egal `a z´ero (lumi`ere incidente parall`ele `a l’axe optique).

4.3.2.2.3 Le nombre de rayons par unit´e d’angle La discr´etisation angulaire est aussi importante que la discr´etisation de la source, et on voit aussi apparaˆıtre des ph´enom`enes d’aliasing si cette valeur est trop faible (Fig. 4.10 (d)).

4.3.2.3 D´etails sur l’impl´ementation de la source lumineuse

La source lumineuse est donc simul´ee comme une multitude de points source ´el´ emen-taires r´epartis sur un support rectangulaire (Fig. 4.11 (a)). Chacun de ces points source peut ´emettre dans toutes les directions, selon un angle variant de 0^◦ `a 90^◦, mais g´en´ erale-ment on choisit un angle maximum que l’on note αmax. Nous l’avons repr´esent´e en d´etails sur la Fig. 4.11 (b) : en haut, nous voyons l’angle maximal d’´eclairage, et en bas, nous

86 CHAPITRE 4. LE MOD `ELE PROPOS ´E

(a) (b)

Fig. 4.11 – D´etails de la source lumineuse : (a) repr´esente le support de la source. Il est bidimensionnel, de taille sxx sy (tr`es souvent sx = sy). Lorsque l’on passe `a un monde discret, on a un nombre fini de points source. On pilote l’´echantillonnage XY de la source `

a travers un param`etre. (b) Nous avons repr´esent´e un d´etail d’un point source : afin de simuler une source qui ´eclaire dans toutes les directions (source d’onde sph´erique), `a chaque point source est associ´e le mˆeme angle solide d’´eclairage. Il est fourni `a travers un angle αmax, angle maximum au-del`a duquel on n’envoie plus de rayon. Enfin, la discr´etisation de l’angle solide ((b), en bas) nous donne le nombre de rayons par unit´e d’angle solide ; cela nous permet d’avoir un nombre fini de rayons `a lancer.

avons repr´esent´e la discr´etisation de cet angle solide pour avoir un nombre fini de rayons. Plutˆot que de simuler une source lointaine tr`es ´etendue qui ´emet dans un certain angle limit´e par αmax, on peut simuler une source proche moins ´etendue (suffisamment pour qu’aucune discontinuit´e d’intensit´e n’apparaisse spontan´ement) avec le mˆeme angle limite αmax. Nous illustrons ces propos sur la Fig. 4.12 avec une source ponctuelle. Si le nombre de rayons par unit´e d’angle (sur la figure, en 2D) est tr`es grand, la source peut ˆetre plac´ee tr`es loin sans alt´erer la continuit´e de la r´epartition lumineuse (Fig. 4.12 (a)).

On d´efinit la longueur de continuit´e comme ´etant la distance `a la source `a laquelle apparaˆıt la discr´etisation angulaire de la source. Connaissant la taille t (en µm) d’un pixel carr´e et la valeur A (en rayons par radian en 2D, et en rayons par st´eradian en 3D) de la discr´etisation angulaire, on peut facilement d´eduire `a quelle distance ddiscde la source , 2 rayons voisins seront distincts : il suffit que la distance inter-rayons soit sup´erieure `a t. Nous allons effectuer ce calcul en 2D en prenant en compte les rayons extrˆemes (le dernier et l’avant dernier plus proche de l’angle limite), car l’´ecart apparaˆıt plus tˆot (probl`eme de g´eom´etrie). Entre 2 rayons, la diff´erence d’angle est _A¹, et il faut

4.3. LA MOD ´ELISATION DE L’ESPACE OBJET ´ECLAIR ´E 87

(a) bonne discr´etisation angulaire de la source

(b) mauvaise discr´etisation angulaire de la source

Fig. 4.12 – Dans des conditions r´eelles, la source de lumi`ere se trouve physiquement `a quelques dizaines de centim`etres de l’objet ; elle est d´ecrite en d´etails dans le [[Chapitre-2]]. Lors de la discr´etisation, il est difficile de placer une source lumineuse `a plusieurs centim`etres, dans l’espace physique. En effet, si on a une source discr`ete, nous aurons besoin de nombreux rayons par unit´e d’angle solide pour avoir une impression de continuit´e si on se place loin de la source (a) ; si la discr´etisation n’est pas suffisante, on la voit apparaˆıtre loin de la source (b). De plus, une forte densit´e de rayons par unit´e d’angle implique un tr`es grand nombre de rayons, soit un te de calcul accru.

ddisc(tan αmax− tan(α_max− _A¹) < t. Avec t = 7.75 pix, A = 5 rayons.rad⁻¹ et αmax = 0.1 rad, on trouve d_disc ∼ A t ∼ 38 µm.

Pour lutter contre un ph´enom`ene d’aliasing<sup>8</sup> qui apparaˆıt lors de l’´eclairage, nous permettons `a chaque point de la source lumineuse de pouvoir :

– se mouvoir selon l’axe z selon une toute petite distance, qui est calcul´ee al´ eatoi-rement. Cela peut se justifier physiquement du fait que la source lumineuse r´eelle est ´epaisse, alors que la pr´esente source mod´elis´ee ´etait uniquement 2D (en XY). L’´echelle de variation est de l’ordre de 0.25% ;

– faire varier leur intensit´e de l’ordre de 1% ; c’est aussi une variation al´eatoire. Grˆace `a ces variations, nous avons pu am´eliorer grandement la qualit´e des images calcul´ees. Malheureusement, la totalit´e de l’aliasing n’est pas enlev´e. De plus, les valeurs indiqu´ees sont relativement faibles, car une trop grosse variation aura une influence n´efaste sur l’aliasing de l’image.

88 CHAPITRE 4. LE MOD `ELE PROPOS ´E

(a) un d´eplacement de la source discr´etis´ee entraˆıne sa diminution de taille

(b) si la zone d’int´erˆet est connue, on peut optimiser la taille de la source

Fig. 4.13 – Nous pouvons d´efinir une source lumineuse optimale, en terme de calcul, tout en gardant le mˆeme r´esultat que la simulation de la source physique. Tout d’abord, nous pouvons limiter la discr´etisation angulaire (voir Fig. 4.12) par le rapprochement de la source lumineuse le plus proche possible de l’objet (a) : dans ce cas-l`a, on obtient une source moins ´etendue et moins discr´etis´ee angulairement qui est ´equivalente. Ensuite, il est possible de d´efinir une taille optimale de source lumineuse si on connaˆıt l’angle maximum αmax et la zone d’int´erˆet, i.e. la zone qui sera prise en compte dans les ´etapes suivantes (b). Le z´ero est d´efini au centre de l’objet.

4.3. LA MOD ´ELISATION DE L’ESPACE OBJET ´ECLAIR ´E 89

4.3.2.3.1 Restriction de la source lumineuse Nous allons donc chercher `a rap-procher la source lumineuse de l’objet de fa¸con `a diminuer le nombre de rayons `a lancer, comme nous l’avons expliqu´e la partie pr´ec´edente. Si nous conservons une source ponc-tuelle, il n’est pas possible d’obtenir le mˆeme r´esultat si on rapproche la source de l’objet : en effet, certaines fr´equences spatiales sont perdues. Par contre, si on a une source suffi-samment ´etendue, une source lointaine et tr`es ´etendue est ´equivalente `a une source plus proche et moins ´etendue. Cette assertion est illustr´ee sur la Fig. 4.13 (a) avec une source tr`es discr´etis´ee. Soit une source ´etendue compos´ee de N points source distants de d, et pr´esentant un angle maximal α_max donn´e. A une distance D = _{2 tan}^dαmax

2

, nous pouvons recr´eer une source identique, mais avec N − 1 points source. Si on suppose que l’´energie lumineuse ´emise est homog`ene, on peut facilement montrer que les N − 1 points source secondaires sont de mˆeme intensit´e que les N points source initiaux. Si on choisit une distance d = 0.01 µm, un αmax = 3.6<sup>◦</sup>, ce qui nous donne D = 0.16 µm. Une source initiale de 4000 points source situ´ee `a 600 µm de l’objet est ´equivalente une source de 4000 − (600 − 6)/(D) = 3313 points situ´ee `a 6 µm de l’objet. En calculant ces 2 images en format double pr´ecision, nous obtenons 2 images identiques⁹.

La taille de la source peut aussi ˆetre limit´ee : `a partir d’une certaine taille, mˆeme si on augmente la taille de la source (voir la Fig. 4.13 (b)), il n’y a plus aucun nouveau rayon qui se retrouve pr´esent dans l’image. Nous pouvons facilement estimer la taille de la source d’apr`es une construction g´eom´etrique : connaissant l’angle αmax et les caract´eristiques de la zone d’int´erˆet (position par rapport `a la source, taille), il est facile de trouver quelle doit ˆetre la dimension minimum de la source pour avoir un ´eclairage uniforme. Nous allons faire les calculs en 2D, mais ils se g´en´eralisent sans difficult´e en 3D. En relation avec la Fig. 4.13 (b), on appelle D la position de la source lumineuse, H la hauteur de la zone d’int´erˆet et W sa largeur. La discr´etisation horizontale (en z) est de pz et verticale (en x) de p_xy. On montre que la source doit au minimum mesurer une taille L_min donn´ee par l’Eq. 4.2 : Lmin= _p^H xy + 2.l = _P^H xy + 2^{W +D}_p z tan^αmax 2 (4.2)