Applications ` a l’optique

1 si x ∈−1 2; ¹₂ 0 sinon ^(2.30)

est la fonction sinus cardinal d´efinie par ^{sin πu}_πu ≡ sinc πu ; • en 2 dimensions, la TF deQ(^ρ_d) =

(

1 si ρ ∈−d 2; ^d₂^

0 sinon ^{n’est pas un sinus cardinal en} 2D, mais une fonction qui lui ressemble : une fonction d’Airy.

2.4.1.3 Fonctions paires/impaires

On v´erifie facilement que la transform´ee de Fourier d’une fonction paire (sym´etrique) est purement r´eelle, alors que celle d’une fonction impaire est purement imaginaire. De mˆeme la transform´ee de Fourier d’une fonction purement r´eelle sera paire. A 2 dimensions, cela s’interpr`ete de la fa¸con suivante : une image pr´esentant un centre de sym´etrie a une TF purement r´eelle.

2.4.1.4 Energie

La Transformation de Fourier, par d´efinition, doit conserver l’´energie ; en effet, c’est une transformation bijective, donc l’´energie doit ˆetre la mˆeme dans le plan des fr´equences comme dans le plan direct. C’est le th´eor`eme de Parseval qui le formalise (Eq. 2.31) :

Z +∞ −∞

Z +∞ −∞

|o(x, y)|²dx.dy = Z +∞

−∞

Z +∞ −∞

|o(u, v)|_b ²du.dv (2.31) Il faudra en tenir compte lorsque nous utiliserons une TF discr`ete dans le chapitre 4.

2.4.2 Applications `a l’optique

Les d´efinitions que nous avons introduites pr´ec´edemment sont fort utiles quand elles sont appliqu´ees `a l’optique ondulatoire : nous faisons alors de l’optique de Fourier. Nous allons pouvoir caract´eriser un instrument d’optique grˆace `a deux fonctions particuli`eres ´

equivalentes entre elles `a une TF pr`es. Elles lui sont propres, car elles ne d´ependent que de certains param`etres physiques (taille de l’ouverture, focale, etc.) ou des conditions d’observation (longueur d’onde, etc.). Ces fonctions sont la Fonction de Transfert Optique (Optical Transfert Function ou OTF en anglais) et la R´eponse Impulsionnelle (Point Spread Function ou PSF ). Sur la Fig. 2.11, nous repr´esentons le syst`eme optique par une lentille convergente ; nous avons fait figurer le diaphragme (ou « pupille ») qui va ˆetre `

a l’origine de la PSF et de l’OTF. Nous allons maintenant voir la d´efinition de chacune de ces fonctions.

2.4. OPTIQUE DE FOURIER 25

Fig. 2.11 – Un point source plac´e sur l’axe optique et dans le plan objet ´eclaire un syst`eme optique. Celui-ci est compos´e (pour simplifier) d’une lentille convergente et d’une pupille d’entr´ee circulaire. La distance entre le plan objet et le plan central d´efini par le syst`eme optique est d_f et la distance entre ce dernier plan et le plan image est d_i.

2.4.2.1 La PSF et l’OTF

Nous allons utiliser les notations anglaises pour caract´eriser la fonction de transfert et la r´eponse impulsionnelle car ce sont celles que l’ont retrouve le plus dans la litt´erature. Nous allons uniquement traiter des PSF et OTF en lumi`ere incoh´erente car ce sont nos hypoth`eses de travail. Avant d’introduire ces fonctions, nous devons introduire la fonction pupille d’un instrument d’optique.

2.4.2.1.1 La fonction pupille La pupille d’entr´ee d’un instrument d’optique est le diaphragme qui limite le plus l’entr´ee de la lumi`ere. Elle d´efinit le faisceau conique le plus ´

etroit issu d’un point source. A partir de la forme de ce diaphragme, on d´efinit [Perez 95] la fonction pupille ℘(x, y) de l’instrument. Elle caract´erise le diaphragme en exprimant la surface qui laisse passer la lumi`ere et celle qui ne la laisse pas passer. C’est une fonction qui donne des valeurs entre 0 (rien ne passe) et 1 (tout passe). Par exemple, pour une pupille circulaire de rayon r, la fonction pupille est donn´ee par l’Eq. 2.32 :

℘(x,y) = (

1 si (x²+ y²) ≤ r²

0 si (x2+ y2) > r2 (2.32)

Si on g´en´eralise en 2D la notation `a 1D de l’Eq. 2.30, on a (Eq. 2.33) :

℘(x, y) =^Y p x2+ y2 r ! (2.33)

26 CHAPITRE 2. LA TH ´EORIE DE LA FORMATION DE L’IMAGE

2.4.2.1.2 La PSF en lumi`ere incoh´erente D’apr`es [Perez 95],

« On appelle PSF [...] la r´epartition de l’intensit´e dans le plan image lorsque l’objet est un point lumineux plac´e sur l’axe optique. »

On d´efinit la PSF d’un syst`eme grˆace `a sa fonction pupille. En lumi`ere monochromatique (λ) incoh´erente, cela donne l’Eq. 2.34 :

h_i(x, y) = C^ste. |℘(u, v)|_b ² (2.34) o`u ℘(u, v) repr´_b esente la TF de ℘(x, y). Si z est un nombre complexe, sa norme au carr´e est repr´esent´ee par |z|² = z.z, z le complexe conjugu´e de z.

Dans le cas o`u la fonction pupille est donn´ee par l’Eq. 2.33, la PSF hi donne une fonction d’Airy (Eq. 2.35) :

h_i(x, y) = C^ste πD2 4 ^Jinc  π^px2+ y2D^  (2.35) que l’on peut voir sur la Fig. 2.12 (b). On ´ecrit la fonction J_inc(x) = 2^J1(x)

x est la fonction « J₁ cardinale » o`u J1 est la fonction de Bessel du premier ordre. Le premier z´ero de la fonction de Bessel d’ordre 1 a lieu pour r = ^px2+ y2 = _n^{0.61 λ}

0 sin(α) o`u n₀ est l’indice de r´efraction du milieu entre la lentille et l’´echantillon, et λ la longueur d’onde du rayonnement utilis´e. Les fonctions de Bessel sont g´en´eralement tabul´ees et leur expression analytique g´en´erale⁷ est donn´e pour l’ordre n (Eq. 2.36) :

J_n(x) =^x 2 n Σ^∞_k=0 ⁽⁻¹⁾ k k! (n + k + 1)! x 2 2k (2.36)

2.4.2.1.3 L’OTF en lumi`ere incoh´erente La fonction qui caract´erise l’instrument d’optique dans le plan des fr´equences spatiales est la fonction de transfert incoh´erente (ITF). Elle correspond `a la PSF `a une TF pr`es (Eq. 2.37) :

H_i(u, v) = TF [h_i(x,, y)] (2.37)

Puisque hi(x, y) = C^ste. |℘(u, v)|_b ², par d´efinition de la norme au carr´e, on a (Eq. 2.38) : Hi(u, v) = C^ste(℘(x, y) ∗ ℘(x, y)) (2.38) o`u ℘ repr´esente le complexe conjugu´e de ℘. Si on normalise l’ITF, on obtient alors la fonction de transfert optique (OTF) Hi qui d´epend elle-aussi de la fonction pupille de l’instrument : H_i(u, v) = R+∞ −∞ R+∞ −∞ ℘(x, y).℘(x − λdou, y − λdov) dx.dy R+∞ −∞ R+∞ −∞ ℘(x, y).℘(x, y) dx.dy ^(2.39)

o`u do est la distance du point source `a la pupille d’entr´ee de l’instrument (voir Fig. 2.11). C’est donc l’OTF qui nous int´eressera le plus dans les chapitres 3 et 4. Un cas particulier important pour nous est le calcul de l’OTF d’un instrument `a pupille circulaire.

2.4. OPTIQUE DE FOURIER 27

(a) pupille circulaire (b) TF `a 2D de (a) (fonction d’Airy)

Fig. 2.12 – Illustration des r´esultats sur la pupille circulaire en 2D avec deux images calcul´ees ; (a) repr´esente la pupille circulaire (noir : rien ne passe, blanc : tout passe) et (b) la fonction d’Airy correspondante. La fonction d’Airy a ´et´e grossie 5 fois pour que l’on distingue la figure de diffraction.

2.4.2.2 Calcul de l’OTF d’une pupille circulaire

On peut trouver le calcul de l’OTF d’un instrument `a pupille circulaire dans la plupart des livres qui traitent d’optique [Born 99] [Castleman 96] [Goodman 68] [Perez 95]. Nous n’allons pas le d´etailler `a nouveau ici. Il faut noter que ce calcul est fait dans le cas o`u le plan objet n’est pas d´efocalis´e. Pour une pupille circulaire de rayon r, on a [Goodman 68] :

Hi(ρ) = ² π  arccos  ρ 2 ρ₀  − ^ρ 2 ρ₀ s 1 −  ρ 2 ρ₀ 2^  (2.40) si et seulement si ρ ≤ 2 ρ₀. ρ = ^√u2+ v2 et la quantit´e ρ₀ = _{λ d}^r i est la fr´equence de coupure (voir la partie 2.6.3 pour la d´efinition).

Si maintenant on a une aberration, comme une d´efocalisation ε, l’Eq. 2.4 devient (Eq. 2.41) : 1 d_i ⁺ 1 d_o ⁻ 1 f ^{= ε (2.41)}

La fonction d’aberration W (x,y) devient W (x,y) = ^ε.(x2₂^+y2). Cette fonction d’aberration intervient dans la d´efinition de la fonction pupille de la mani`ere suivante (Eq. 2.42) :

e

℘(x, y) = ℘(x, y).e^{−iW (x, y)} (2.42)

o`u la fonction pupille est donn´ee par l’Eq. 2.33. Ce cas, beaucoup plus d´elicat `a traiter dans le cas d’une pupille circulaire, peut faire apparaˆıtre [Born 99] des inversions de

28 CHAPITRE 2. LA TH ´EORIE DE LA FORMATION DE L’IMAGE

contraste en fonction de W (x, y) : c’est une zone de l’OTF qui devient n´egative. Nous ne d´etaillerons pas le calcul ici, mais nous renvoyons le lecteur int´eress´e au chapitre 3 qui propose des r´ef´erences int´eressantes `a ce sujet.

Si on consid`ere le flou comme une aberration, FitzGerrell et al. [FitzGerrel 97] ´ecrivent (Eq. 2.43) : W₂₀= ^α