2.3 G´en´eralit´es sur les ondes en optique
Cette partie va introduire de nombreuses notions qui vont nous ˆetre utiles. En optique ondulatoire, il est commode de d´efinir une onde par son amplitude complexe (Eq. 2.18) :
Ψ(−→r , t) = A(−→r ).e−iωtei
− →
k .−→r (2.18)
avec les notations complexes usuelles (eiπ2 = i). Son amplitude complexe d´epend de la position −→r , du vecteur d’onde−→k et du te t. Cette onde se d´eplace selon la direction de−→k . Nous la supposons monochromatique de longueur d’onde λ, si bien que k =
− → k = 2πλ. Une grandeur qui nous int´eresse beaucoup ici est l’intensit´e de cette onde, qui se d´efinit par le module au carr´e de l’amplitude. On la note I dans l’Eq. 2.19 :
I(−→r ) = |Ψ(−→r , t)|2= |A(−→r )|2 (2.19)
L’intensit´e en un point de l’espace correspond `a l’´energie que l’on trouve en ce point. Tr`es souvent, il est commode de faire l’approximation que l’onde est stationnaire, c’est-`a-dire qu’elle ne d´epend plus du param`etre te t. Dire que l’onde est stationnaire revient `a dire que l’amplitude de l’onde en un point de l’espace ne d´epend plus du te. Nous allons nous-aussi faire cette hypoth`ese ; cela revient `a poser t = 0 s dans l’Eq. 2.18. Physiquement, cela revient `a dire que la source lumineuse ´eclaire l’espace toujours de la mˆeme fa¸con ; elle a atteint un r´egime stationnaire.
Nous allons maintenant voir plusieurs notions que nous utiliserons tout au long de ce manuscrit sans les red´efinir `a chaque fois. Il s’agit par exemple de la propagation de l’onde selon le principe d’Huygens, ce qu’est une onde sph´erique, un ´eclairage incoh´erent. Nous expliquerons le point de vue ondulatoire de la r´efraction avant de r´ecapituler toutes les hypoth`eses que nous posons.
2.3.1 Principe d’Huygens-Fresnel
On peut trouver dans tous les livres d’optique [Born 99] [Perez 95] la d´efinition du principe d’Huygens-Fresnel qui d´ecrit la propagation5 de la lumi`ere. Le principe dans son ensemble mentionne que la lumi`ere se propage de proche en proche dans l’espace. Chaque zone de l’espace atteinte par l’onde lumineuse va se comporter a son tour comme une source lumineuse secondaire. L’amplitude complexe en un point sera de plus la somme de toutes les amplitudes complexes atteignant ce point. On dit que ces amplitudes complexes interf`erent.
20 CHAPITRE 2. LA TH ´EORIE DE LA FORMATION DE L’IMAGE
2.3.2 Ondes planes et ondes sph´eriques
Il existe deux types d’ondes qui vont nous int´eresser : les ondes sph´eriques et les ondes planes. Une onde sph´erique est une onde qui va se propager dans toutes les directions `a partir d’un point source. Elle est dite sph´erique car ses fronts d’ondes sont des sph`eres. Loin du point source, le rayon des sph`eres devient de plus en plus grand et, si on ne s’int´eresse qu’`a une petite partie de l’espace, les fronts d’onde ressemblent alors `a des plans : on approche d’une onde plane. On a ainsi d´efini un axe optique, arbitrairement z, suivant lequel l’onde n’a plus de d´ependance spatiale. Nous ´ecrirons l’amplitude d’une onde sph´erique − → A (−→r , t) = −→ A0(−→r , t) k−→r k e i(−→k .−→r −ω.t) (2.20) et pour une onde plane
− → A (−→r , t) =−A→0(x, y, t) ei( − → k .−→r −ω.t) (2.21) Sur la Fig. 2.10, nous avons repr´esent´e la relation entre rayons lumineux et front d’onde : le front d’onde est la surface perpendiculaire en tous points aux rayons lumineux d’un faisceau optique qui proviennent d’un point source. Un point source ´emet une onde sph´erique ; si celui-ci est positionn´e dans le plan focal objet d’un instrument d’optique, l’onde sph´erique est transform´ee en onde plane apr`es passage dans l’instrument. De mˆeme, une onde plane incidente est transform´ee en onde sph´erique apr`es passage dans l’instrument.
Dans le chapitre 4 nous mod´elisons la source lumineuse d’un syst`eme optique. Comme cette source n’est pas suppos´ee plane, nous mod´elisons chaque point de la source comme une source ponctuelle d’onde sph´erique. Nous ne choisissons pas la description ondulatoire, mais plutˆot la description g´eom´etrique, sous forme de rayons lumineux. Une autre propri´et´e de la source que nous mod´elisons dans le chapitre 4 est le fait qu’elle soit mod´elis´ee incoh´erente. La partie 2.3.3 va expliquer bri`evement ce qu’est l’incoh´erence d’une source lumineuse.
2.3.3 Eclairage incoh´erent
Il y a deux types de coh´erences : la coh´erence temporelle, qui nous dira si l’onde est plus ou moins monochromatique, et la coh´erence spatiale qui donnera la corr´elation de deux ondes. Nous nous int´eresserons uniquement `a la coh´erence spatiale, que nous d´esignerons par abus de langage par « coh´erence ».
On a besoin de parler de coh´erence spatiale d`es que l’on a une source lumineuse ´etendue. Une source lumineuse est dite coh´erente si tous ses points sources ´emettent de mani`ere or-donn´ee. Supposons que nous avons une source lumineuse ´etendue. Toute source lumineuse ´
emet dans une bande de fr´equences ´etroite, mais finie. Chaque point source peut ˆetre vu comme un oscillateur harmonique dont les fr´equences d’oscillations sont dans cette bande. Une onde ´emise par le point source indic´ep est compos´ee des vecteurs champ ´electrique−E→p
2.3. G ´EN ´ERALIT ´ES SUR LES ONDES EN OPTIQUE 21
(a)
(b)
Fig. 2.10 – Repr´esentation des fronts d’onde correspondants `a une onde plane ou une onde sph´erique. La lumi`ere se d´eplace de la gauche vers la droite. Sur chaque sch´ema, nous avons fait figurer un rayon lumineux pour illustrer sa d´efinition : il est perpendiculaire aux fronts d’onde. (a) Le point source est positionn´e au foyer objet de la lentille convergente. Il g´en`ere une onde sph´erique qui, apr`es passage de la lentille, va devenir une onde plane. (b) La source est situ´ee `a l’infini ou bien est une source d’onde plane (un laser par exemple). C’est donc une onde plane avant le passage de la lentille convergente, et une onde sph´erique ensuite, qui converge vers le foyer image.
22 CHAPITRE 2. LA TH ´EORIE DE LA FORMATION DE L’IMAGE
et magn´etique −H→p. S’il n’y a qu’un seul point source, l’intensit´e Ip de l’onde en un point M s’´ecrit [Born 99] [Perez 95] (Eq. 2.22) :
Ip(M ) = c 4π D−→ Ep∧−H→pE (2.22)
o`u ∧ d´enote le produit vectoriel et < ... > la moyenne temporelle. On note c la vitesse de la lumi`ere dans le vide.
Si on consid`ere une source ´etendue, il faut maintenant tenir compte des cha ´electrique et magn´etique globaux. L’expression de ces cha et l’intensit´e totale en un point M s’´ecrivent (Eq. 2.23) : − → E =P p −→ Ep − → H =P p −→ Hp I(M ) = 4πc D−→E ∧−→HE (2.23)
Si on d´eveloppe le produit vectoriel on a l’Eq. 2.24:
I(M ) = c 4π X p, q D−→ Ep∧−H→qE (2.24)
Lorsque p 6= q, on appelle cette somme partielle termes de coh´erences mutuelles. En s´eparant les termes de coh´erence des termes d’intensit´e, cela donne (Eq. 2.25) :
I(M ) = c 4π X p D−→ Ep∧−H→pE+X p6=q D−→ Ep∧−H→qE (2.25)
En regardant la forme du terme de coh´erence, on peut voir que c’est un vecteur. Si les diff´erents points sources ´emettent de fa¸con « corr´el´ee », ce vecteur aura alors une r´esultante globale qui affectera l’intensit´e en M . On dit que la lumi`ere est coh´erente. Par contre, si les points sources ´emettent de mani`ere totalement ind´ependante, ce terme d’interf´erence va, en moyenne, donner un vecteur `a r´esultante nulle. La lumi`ere est alors dite incoh´erente. C’est cette approximation que nous allons utiliser par la suite.