Chapitre 3. Modélisation d’un cours d’eau : le système TELEMAC 2D
3.3 Le code de calcul hydraulique TELEMAC 2D
3.3.5 Modélisation de la turbulence
3.3.5.1 Théorie de la turbulence homogène et isotrope
La turbulence est un mouvement tourbillonnaire. Dans un écoulement turbulent, on trouve de nombreux tourbillons de tailles fort différentes. Les plus gros tourbillons peuvent être à l’échelle de l’écoulement, les plus petits tourbillons de la taille du millimètre.
Bien qu’ils soient différenciés les uns des autres, les tourbillons sont liés par un processus de transmission de l’énergie appelé couramment « cascade d’énergie ».
Les grands tourbillons interagissent dans un premier temps avec l’écoulement moyen, leurs échelles de longueur étant similaires. La présence de gradients de vitesses dans l’écoulement provoque la distorsion de ces tourbillons. Lors de ce processus d’étirement, de l’énergie cinétique est extraite de l’écoulement moyen pour alimenter les mouvements turbulents de grande échelle. La plus grande part de l’énergie cinétique étant contenue dans les tourbillons de plus grande taille, cela permet de maintenir la turbulence.
A force d’être étirés, les gros tourbillons sont scindés en tourbillons de plus en plus petits, jusqu’à ce que les forces visqueuses deviennent actives, dissipent cette énergie en détruisant les petits tourbillons et la convertissent en énergie thermique interne.
Le taux d’énergie dissipée est déterminé par les mouvements turbulents de grande échelle même si les forces visqueuses interviennent aux niveaux des tourbillons les plus petits. En effet, c’est l’énergie extraite de l’écoulement moyen et transmise aux gros tourbillons qui est ensuite apportée aux petits tourbillons et finalement dissipée (Rodi, 1980).
Malgré les récents progrès réalisés en terme de moyens de calcul, les équations exactes de Navier- Stokes, permettant de décrire les écoulements turbulents, ne peuvent être résolues numériquement. En effet, les tourbillons pouvant être de l’ordre du millimètre, ils ne sont pas du tout à l’échelle du domaine. Une grille permettant une description précise de toutes les échelles de la turbulence exigerait un nombre considérable d’éléments. Or, la capacité de stockage et la vitesse des ordinateurs demeurent à l’heure actuelle insuffisantes.
Afin de passer outre ce genre de difficultés, la solution couramment utilisée est de s’intéresser uniquement aux valeurs moyennes sans se préoccuper des fluctuations temporelles dont la connaissance précise est extrêmement délicate. Toutefois, le passage à la moyenne temporelle crée un nouveau problème : les équations comportent des termes inconnus supplémentaires qu’il est nécessaire d’expliciter (tenseur de Reynolds).
Le problème est résolu par l’introduction de modèles de turbulence constitués d’équations différentielles et de constantes qui permettent de fermer le système (Buil, 1999).
3.3.5.2 Modèles de turbulence dans TELEMAC 2D
Il existe un nombre important de modèles de fermeture plus ou moins complexes. Deux de ces modèles sont disponibles dans le code TELEMAC 2D. Ils reposent tous les deux sur le concept de viscosité turbulente.
Le premier de ces modèles consiste à utiliser un coefficient de viscosité constant. Dans ce cas, celui ci représente à la fois la viscosité moléculaire, la viscosité turbulente et la dispersion. Sa valeur est fourni par l’utilisateur et a une importance certaine sur la taille et la forme des recirculations. Une valeur faible aura tendance à ne dissiper que les tourbillons de petite taille, une valeur importante aura tendance à dissiper les recirculations de grande taille. L’utilisateur doit donc choisir cette valeur avec soin, notamment en fonction de la taille des recirculations qu’il souhaite dissiper et de la vitesse moyenne de retournement de ces
recirculations. Il faut noter par ailleurs qu’une valeur conduisant à la dissipation de recirculations de taille inférieure à deux mailles n’a pratiquement aucune influence sur le calcul. TELEMAC 2D offre la possibilité d’un coefficient variable en espace et en temps. Il est alors nécessaire de programmer ces variations dans une subroutine appropriée.
Dans le cas où une viscosité constante n’est pas suffisante, TELEMAC 2D offre la possibilité d’utiliser un modèle à deux équations permettant de calculer en tout point du maillage le coefficient de viscosité turbulente. C’est le modèle (
k,ε
), qui résout directement les équations de transport de l’énergie cinétique turbulente k et de son taux de dissipation ε.L’énergie cinétique et la dissipation turbulente moyennées sur la verticale sont définies de la façon suivante :
(
1,3)
2 1 1 ' ' = =∫
u u dZ i h k Z Z i i f (3.24)(
1,3; 1,3)
1 ' ' = = ∂ ∂ ∂ ∂ =∫
dZ i j x u x u h j i j i Z Z t fν
ε
(3.25)L’énergie cinétique turbulente constitue, compte tenu de sa définition, une mesure directe de l’intensité des fluctuations turbulentes dans les trois directions. Cette valeur correspond bien à l’échelle de vitesse des plus grands tourbillons dans la mesure où ce sont eux qui détiennent la plus grande part de l’énergie cinétique turbulente (Binder, 1993).
La viscosité turbulente est alors donnée par la relation semi-empirique suivante donnée par Kolmogorov :
ε
ν
c
μk
2t
=
(3.26)μ
c est un coefficient empirique qui vaut 0.09.
Les deux grandeurs transportées dans un modèle
(
k,ε
)
sont donc l’énergie cinétique turbulente etson taux de dissipation. Le modèle de turbulence utilisé dans TELEMAC 2D est une extension du modèle classique développé par Rastogi et Rodi (1978), que nous ne détaillerons pas ici. Simplement, les termes des équations de k et de ε correspondent à leur transport par convection par l’écoulement moyen, à leur diffusion par le mouvement turbulent, et à leur taux de production ou de destruction. La production et la destruction de l’énergie cinétique turbulente sont étroitement liées. Le taux de dissipation de l’énergie cinétique turbulente, ε, est grand quand la production d’énergie cinétique est grande. En effet, les termes de production et de destruction de ε sont proportionnels à ceux de k .
Le modèle
(
k,ε
)
nécessite la détermination de cinq coefficients empiriques. La sensibilité desrésultats à la variation de ces coefficients a été largement étudiée dans la littérature. Il s’avère que les valeurs généralement proposées s’accordent bien avec la plupart des écoulements rencontrés. Dans TELEMAC 2D elles sont toutes empruntées à Launder & Spalding (1974).
Malgré sa grande généralité, le modèle
(
k,ε
)
est, dans certains cas, sujet à caution du fait de la présence dans l’écoulement d’une anisotropie importante de la viscosité turbulente (comme par exemple au niveau d’écoulement secondaire ou d’écoulement instable thermiquement). Pour cette catégorie d’applications (qui ne rentre pas dans le cadre de cette thèse), il faut se tourner vers les modèles de fermeture du second ordre.Pour une revue plus complète de l’ensemble des modèles de turbulence, on peut se reporter à la revue de l’état de l’art de Rodi (1980).