Modélisation d’un réacteur ouvert

Pour une loi cinétique donnée, les performances chimiques d’un réacteur ouvert sont influencées par la cinétique chimique, la distribution des temps de séjour (DTS), l’état de ségrégation du fluide et la précocité du mélange (Levenspiel, 1999). De façon schématique, plusieurs temps sont associés à ces paramètres : le temps de réaction qui caractérise la vitesse de réaction, la DTS qui caractérise le temps passé par le fluide dans le réacteur et le temps de micro-mélange qui caractérise l’état de ségrégation.

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II.5.2.1 Le temps de réaction

En chimie, le temps de réaction se définit comme le temps mis pour abattre complétement le réactif d’étude. Il dépend de la cinétique de la réaction mise en jeu. En photocatalyse hétérogène, la cinétique est, comme nous l’avons vu précédemment (section II.4) bien décrite dans la littérature et dépend du couple polluant/photo-catalyseur.

II.5.2.2 La distribution des temps de séjour

Les molécules chimiques entrantes dans un réacteur ouvert n’y passent pas le même temps selon le chemin qu’elles empruntent. Ce temps dépend des conditions hydrodynamiques imposées et de la géométrie du réacteur (Levenspiel, 1999; Villermaux, 1994). Elles se retrouvent donc en sortie du réacteur à des temps différents et donc avec des taux d’avancements différents si une réaction chimique a lieu. Connaissant le temps de réaction, la détermination de l’ensemble de ces temps passés, dits « temps de séjour » permet de remonter aux performances chimiques du réacteur. En pratique, plutôt que de les déterminer par la résolution des équations de Navier-Stokes qui permettent de remonter aux profils de vitesses dans le réacteur, une approche systémique est employée en définissant la fonction de distribution des temps de séjours dans le réacteur (la DTS nommée E) (Levenspiel, 1999).

E(ts)dts est la fraction du débit de sortie contenant des molécules d’âges compris entre ts et

ts+dts (Villermaux, 1994) ou autrement dit, E(ts) est la densité de probabilité du temps de séjour ts en sortie du réacteur. Cette fonction a toutes les propriétés d’une distribution au sens mathématiques du terme.

La DTS caractérise l’hydrodynamique du réacteur c’est pourquoi elle se définie bien en termes de fraction de débit volumique et non en termes de concentration. Indépendamment des réactions chimiques, la détermination de la DTS de façon expérimentale permet de diagnostiquer des défauts d’écoulements d’un système (court-circuit, volume mort, zones fortement mélangées, etc) (Schweich, 2001).

Elle est parfaitement établie dans le cas des réacteurs ouverts dits « idéaux » que sont le réacteur piston ou le réacteur parfaitement agité. Dans le cas de systèmes non idéaux, elle se détermine de façon expérimentale à partir de modèles d’écoulements tels que par exemple le modèle à dispersion axiale où l’écart au cas idéal du réacteur piston est quantifié, ou encore

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le modèle des mélangeurs en cascade ou le modèle de Cholette et Cloutier pour lesquels le réacteur réel est représenté comme une association de réacteurs idéaux, etc.

À titre d’exemple, la DTS d’un réacteur parfaitement agité est :

I A = ^#_J FK L−_JM Équation 1-13

Où τ est le temps de passage. Ce réacteur est celui qui a la distribution de séjour la plus étalée. Cette DTS permet par exemple de définir que le temps de séjour 3τ est celui pour lequel il reste 5% des molécules initialement présentes (1% pour 5τ) (Villermaux, 1994).

II.5.2.3 L’état de ségrégation du fluide

L’état de ségrégation du fluide dépend de la façon dont les réactifs sont mélangés dans le système réactionnel (du système d’agitation par exemple) et de la nature du fluide. Deux cas extrêmes se distinguent : la représentation du fluide en macro-fluide ou en micro-fluide.

Le macro-fluide est la représentation d’un fluide par un ensemble de paquets (ou filets) de molécules ayant chacun un âge interne. Les paquets sont mélangés dans le réacteur mais n’interagissent pas entre eux. Par exemple, un paquet peut contenir un réactif A et un paquet un réactif B sans qu’ils ne puissent réagir. La concentration est donc inhomogène au sein d’un macro-fluide et chacune des entités est prise en compte (Levenspiel, 1999) (Schweich, 2001). Le cas extrême inverse est le modèle du micro-fluide : les paquets sont infiniment petits, définis à l’échelle microscopique ou moléculaire et le fluide est alors étudié comme un ensemble homogène où les molécules se mélangent et interagissent avec leurs voisines.

Un fluide réel se situe généralement entre ces deux états et se décrit non pas par la notion de paquets réservée au macro-fluide mais par le terme « agrégat ». C’est l’association d’agrégats qui évoluent et échangent de la matière au cours du temps.

L’état de ségrégation est caractérisé en pratique par le du temps de micro-mélange. Il correspond au temps mis par le fluide pour passer de l’état de macro-mélange (paquets de concentrations différentes) à l’état de micro-mélange (concentration homogène) appelée également « décroissance de ségrégation ». Ce passage s’effectue en plusieurs étapes et sous plusieurs échelles (échelles de Kolmogorov, Batchelor, etc.) qui se décrivent par des modèles (Schweich, 2001). Certains modèles prennent en compte les processus physiques de passage

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du macro-mélange au micro-mélange tel que le modèle « d’Interaction par échange avec la moyenne » tandis que d’autres n’en tiennent pas compte, tel que la méthode de la « précocité du mélange » (Schweich, 2001). En pratique, le temps de micro-mélange est difficile à déterminer que ce soit de façon expérimentale où du matériel spécifique (sondes très précises) et des réactions particulières sont à mettre en place, ou de façon théorique où les corrélations empiriques sont multiples.

Dans un fluide ayant un état de ségrégation, il existe donc une distribution de concentration locale. Elle se quantifie par la fonction densité de probabilité (pdf) de concentration. p(C)dC est la probabilité qu’un agrégat de fluide, situé en un point donné, est une concentration comprise entre C et C+dC (Schweich, 2001).

II.5.2.4 La précocité de mélange

Dans le cas des systèmes ouverts, et en particulier des systèmes à plusieurs entrées, la notion de précocité de mélange intervient également : c’est la façon dont les réactifs sont introduits dans le système, s’ils sont mélangés « tôt » ou « tard ». Dans le cas d’un macro-fluide, la précocité de mélange n’importe pas mais dans des cas intermédiaires et celui des micro-fluides elle est à prendre en compte dans la représentation des résultats (Levenspiel, 1999 ; Schweich, 2001).

II.5.2.5 Comment procède-t-on en pratique ?

Dans la pratique, la plupart des fluides sont assimilés à des micro-fluides et la modélisation des réacteurs par les équations de bilan matière est employée. En revanche, dans le cas de fluide intermédiaire, pour déterminer les performances d’un réacteur, la démarche est assez complexe du fait que l’état de ségrégation, la précocité du mélange et la DTS sont fortement interdépendants. La notion de distribution des interactions a été introduite pour faire le lien (Schweich, 2001).

Pour résumer, afin d’établir un modèle de représentation d’un réacteur ouvert, il est nécessaire d’une part de connaître la cinétique qui en photocatalyse hétérogène dépend du rayonnement, et d’autre part, de mettre au point un « modèle hydrodynamique » en déterminant la distribution des temps de séjour (DTS) et l’état de ségrégation du fluide.

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II.6 Utilisation de composites dioxyde de titane/charbon