Modèle de convection-dispersion

Pour représenter le taux de dégradation du réacteur piston, il est nécessaire, dans un premier temps, de décrire son écoulement. L’Équation 3-52 tenant compte de la convection-dispersion est adaptée (Yang, 1987):

á

á = â. º â −â. Ã Équation 3-52 Où º est le coefficient hydrodynamique de dispersion (en m².s-1) qui s’écrit comme la somme du coefficient de diffusion moléculaire º 8 , du coefficient mécanique de dispersion º * et du coefficient macroscopique de dispersion. Généralement, seuls les deux premiers coefficients interviennent, le dernier étant représentatif du phénomène de dispersion pour des hétérogénéités à grande échelle.

º = º * + º 8 Équation 3-53

L’Équation 3-52 décrit le transport de matière dans le temps et l’espace, dans notre cas un fluide chargé en polluant de concentration , par les phénomènes physiques de convection ou de dispersion. Le terme de gauche représente le terme d’accumulation de la grandeur mesurée (la concentration). Le premier terme de droite représente le terme de transport par dispersion quantifié par le coefficient hydrodynamique de dispersion º. Le second terme représente le transport par convection du fluide à sa vitesse locale Ã.

Dans le cas où le milieu contient un média poreux, considéré saturé en fluide, l’équation généralisée de convection-dispersion peut s’écrire en faisant intervenir la porosité du media comme suit (Yang, 1987) :

·^á_á = â. · º â − â. Ã Équation 3-54

Où · est la porosité homogène du milieu, dans notre cas de 88% et à est cette fois la vitesse en fût vide en m.s-1.

En géométrie cartésienne, avec un plan orthonormé (jjj⃗,_¼ jjjj⃗,_ã jjj⃗ , F étant la profondeur _ä du réacteur, å le plan transversal et æ la hauteur du réacteur, cette forme générale peut se simplifier selon les données du problème. En écoulement de type piston orienté selon æ, imposé par le débit volumique entrant, l’hypothèse peut être faite que la vitesse de fluide dans les

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pores est longitudinale par conséquent ses composantes selon F ou å sont nulles, Ã⃗ = Ã_ä F, å, æ jjj⃗. Sous l’hypothèse que le milieu est homogène selon z, la composante longitudinale _ä s’écrit Ã_ä F, å . L’hypothèse supplémentaire effectuée est que la vitesse est invariante selon x et y (elle n’a pas un profil parabolique) ce qui revient à dire qu’il n’y a pas de frottements au niveau des parois du piston ou que l’observation se fait loin des parois du piston ; la vitesse est alors une constante : Ã⃗ = Ã_äjjj⃗._ä

Avec une concentration uniforme dans le plan (F, F) au niveau de l’alimentation en æ = 0 (et en l’absence de réaction), compte tenu des hypothèses retenues sur le vecteur vitesse, il n’y a pas d’apparition de gradient de concentrations selon les variables F et å (par convection ou diffusion), l’équation générale d’advection-dispersion se simplifie alors en un modèle 1D : á ä, á = º_ä^{á² ä,}_áä² −^¡ç èç á ä, áä

Où º_ä est le coefficient de dispersion selon z en m2.s-1 et Ã_ä est la vitesse en fût vide en m.s-1 dans cette expression, définie ci-dessous.

Ã_ä =^pœ Équation 3-56

Où ;_¡ est le débit volumique en m3.s-1 et S en m2 est la section en fut vide perpendiculaire à l’écoulement du photo-réacteur.

En pratique, le réacteur comprend trois zones dont il faut tenir compte pour résoudre cette équation. Dans les zones 1 et 3, où la mousse n’est pas présente, le coefficient de dispersion longitudinal est égal au coefficient de diffusion moléculaire de la caféine dans l’eau. Ce dernier est calculé par la loi de Fick.

º _{›,f …} = ⁺é €

® h -¢?Ì ê_?ë Équation 3-57

Où º _{›,f …} est le coefficient de diffusion moléculaire en m².s-1 ; est la constante de Boltzmann en J.K-1 ; _› est le rayon moléculaire de la caféine en m ; ì_{f …} est viscosité dynamique de l'eau en Pa.s à 298 K et T la température en K.

Dans la zone 2, le média poreux est présent. Le coefficient de dispersion est la somme du coefficient de diffusion moléculaire et d’un coefficient de dispersion longitudinale. En

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pratique, ce coefficient global a été identifié par comparaison entre les courbes de percées expérimentales et simulées (Figure 3-67). Il rend compte de manière relativement satisfaisante de la « forme en S » du front de caféine observé expérimentalement qui est caractéristique d’un piston avec dispersion axiale.

Les valeurs des différents paramètres intervenant dans la résolution de l’Équation

3-55 selon la zone sont résumées dans le Tableau 3-18. Cette équation est résolue par la

méthode des différences finies en utilisant un schéma implicite et en utilisant le logiciel MATLAB. Le détail de la méthode de résolution est fourni en annexe B.

íî (m2.s-1) ïî(-) Zones 1 et 3 º ›,f … = 4.10-10 1

Zone 2 º= 4.10-7 0,88

Tableau 3-18 Valeurs des paramètres de l’équation 3-55 selon la zone du réacteur.º est le coefficient

global de dispersion identifié.

Dans les zones 1 et 3, la valeur du coefficient de diffusion moléculaire est très faible et le transport par diffusion est totalement négligeable devant le terme convectif. Dans la zone 2, le coefficient de dispersion identifié est nettement plus élevé. Il doit essentiellement être considéré comme une grandeur équivalente qui, de manière très simplifiée, permet de rendre compte d’un écoulement par nature très complexe à l’intérieur du milieu poreux. Néanmoins, même si les temps de passage sont bien représentés par le modèle d’écoulement, les écarts entre le modèle d’écoulement et les données expérimentales se creusent en fin de chargement, lorsque la concentration en sortie tend vers la valeur de la concentration de l’alimentation (Figure 3-67). Le modèle d’écoulement permet néanmoins dans une juste mesure de rendre compte de l’écart à l’idéalité par rapport à un réacteur piston idéal (pour lequel le profil de charge aurait été en créneaux).

La Figure 3-68 est une autre façon de représenter la charge d’un réacteur piston. Les profils correspondent à des concentrations à l’intérieur du réacteur (selon l’axe z) à différents temps. Au temps 0, la concentration est nulle en tout point du réacteur excepté au niveau de l’entrée (z = 0) qui correspond à la concentration d’alimentation. Lorsque le temps croit, les courbes de concentration se comportent comme des courbes de percée : le front se propage longitudinalement et la concentration augmente au sein du réacteur.

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Figure 3-68 Évolution de la concentration selon z pour différents temps lors de la charge du réacteur piston. ;¡ = 8,3 mL.min-1 ; _f = 9 mg.L-1. Catalyseur : mousse de 16 mm - 20 PPI.