PARTIE II. Méthodologie de contrôle en place de la résistance en service des
II.2. Modélisation numérique de chargement dynamique d’un micropieu
Afin d’étudier le phénomène dynamique engendré par l’impact d’un marteau sur la tête d’un micropieu, une modélisation simple du battage des micropieux est ici exposée. Les simulations numériques ont été réalisées à l’aide de deux logiciels : GRLWEAP (Pile Dynamics, Inc., 2010) et PFC2D (Itasca Consulting Group, Inc., 1997). Ces deux logiciels, basés sur des théories différentes,
nous ont permis d’analyser le phénomène dynamique avec deux approches différentes.
II.2.1. Modélisation du battage sur GRLWEAP
Le logiciel GRLWEAP (Pile Dynamics, Inc., 2010) est un logiciel d’analyse numérique de l’équation de l’onde dans un pieu. Il permet, d’estimer le mouvement et la force dans différentes sections pendant le battage ou le vibrofonçage d’un pieu. Le modèle utilisé est basé sur un modèle discret du système pieu/sol originalement proposée par Smith (1960).
GRLWEAP 2010 modélise plusieurs sous-systèmes : marteau, système de battage, pieu et sol. Les informations qu’il requiert pour l’analyse sont :
les caractéristiques du pieu (matériau, longueur et largueur) ;
les caractéristiques du marteau (type du marteau, poids et hauteur de chute) ;
les accessoires utilisés (tels que les amortisseurs, le casque ou le cousin) ;
les caractéristiques du sol (type de sol, caractéristiques mécaniques classiques et paramètres dynamiques du sol).
(a) Principe
Le modèle mathématique du pieu est représenté par une série de masses et ressorts et la réaction du sol est modélisée à chaque nœud par l’effet de ressorts, amortisseurs et patins de frottement (figure II.13).
Partant des équations du mouvement en chaque nœud du système discrétisé, et en remplaçant les dérivées temporelles par des développements limités au second ordre en t, Smith aboutit à la formulation suivante (Bossard & Corté, 1983) :
𝑢(𝑚,𝑡)= 𝑢(𝑚,𝑡−∆𝑡)+ ∆𝑡. 𝑉(𝑚,𝑡−∆𝑡) équation II-3 𝐶(𝑚,𝑡)= 𝑢(𝑚,𝑡)− 𝑢(𝑚+1,𝑡) équation II-4 𝐹(𝑚,𝑡)= 𝐶(𝑚,𝑡). 𝑘𝑝𝑚 équation II-5 𝑅𝑢(𝑚,𝑡)= [𝑢(𝑚,𝑡)− 𝑢′(𝑚,𝑡)]. 𝑘𝑠𝑚. [1 + 𝐽𝑠𝑚. 𝑉(𝑚,𝑡−∆𝑡)] équation II-6 𝑉(𝑚,𝑡)= 𝑉(𝑚,𝑡−∆𝑡)+ [𝐹(𝑚−1,𝑡)− 𝐹(𝑚,𝑡)− 𝑅𝑢(𝑚,𝑡)] 𝑔. ∆𝑡 𝑊𝑚 équation II-7
où : m : numéro de la masse ou du tronçon, t : instant du calcul,
t : pas de temps pour l’intégration,
u(m,t) : déplacement de la masse m à l’instant t,
u’(m,t) : déplacement plastique du ressort de sol m à l’instant t, F(m,t) : effort de compression du ressort de pieu m à l’instant t, g : accélération de la pesanteur,
Jsm : constante d’amortissement du sol au niveau m,
kpm : raideur du ressort entre l’élément du pieu m et m+1, qui est calculée à partir du module
d’élasticité Ep, la section transversale du pieu Ap, et la longueur de l’élément lm (kpm = Ep.Ap/lm),
ksm : raideur du ressort de sol au niveau de l’élément m,
Ru(m,t) : force exercée par le ressort de sol et l’amortisseur sur la masse m à l’instant t, V(m,t) : vitesse de la masse m à l’instant t,
Wm : poids de la masse m.
Figure II.13. Modélisation de l’ensemble sol-pieu proposée par Smith (1960)
Cet algorithme n’est que conditionnellement stable et le pas de temps t doit être choisi
supérieur à la valeur critique Tm. Le temps critique est le temps que l’onde prend pour voyager à
𝑇𝑚=
𝐿𝑚
𝑐𝑡𝑚 équation II-8
où : Lm : longueur de l’élément m du pieu,
ctm : célérité de l’onde dans l’élément m du pieu.
Pour un élément de pieu discrétisé (Smith, 1960) : 𝑇𝑚= √
𝑊𝑚. 𝑔
𝑘𝑝𝑚 équation II-9
(b) Modélisation
Modèle du micropieu
Le micropieu modélisé est un micropieu foré composé par un tube et rempli par un coulis de ciment. Il est discrétisé par des éléments rigides, chaque élément est défini par sa longueur lm, sa
section transversale Am, son module d’élasticité Eeq et son poids volumique eq. Le micropieu est
composé par deux matériaux des propriétés différents (coulis de ciment et acier), pour définir l’élément nous avons calculé les propriétés équivalentes du matériau composite à partir des expressions suivantes (Hearn, 1997) :
𝐸𝑒𝑞 = 𝐸𝑎. 𝐴𝑎+ 𝐸𝑏. 𝐴𝑐 𝐴𝑎+ 𝐴𝑐 équation II-10 𝜌𝑒𝑞= 𝜌𝑎. 𝐴𝑎+ 𝜌𝑏. 𝐴𝑐 𝐴𝑎+ 𝐴𝑐 équation II-11
où : Eeq : module d’élasticité du matériau composite de l’élément m du micropieu, Ea : module d’élasticité de l’acier,
Ec : module d’élasticité du coulis,
eq : poids volumique du matériau composite de l’élément m du micropieu, a : poids volumique de l’acier,
c : poids volumique du coulis, Aa : section transversale de l’acier, Ac : section transversale du coulis.
Le micropieu a été discrétisé en segments de 1 m de longueur chacun. Il est à noter que le logiciel permet de diviser le micropieu en définissant la longueur de chaque élément, la raideur et le poids sont alors déterminés automatiquement ou bien on peut définir la longueur, la raideur et le poids de chaque segment. Pour nos analyses, c’est la première option qui a été choisie car des longueurs plus petites de 1 m vont augmenter le temps de calcul sans apporter beaucoup dans la précision de l’analyse. Nous nous sommes basés sur une étude réalisée sur de pieux par Rausche et al. (2004) pour faire ce choix.
Rausche et al. (2004) ont modélisé un pieu métallique battu avec un marteau IHC de combustion externe de 44,2 kN de poids. Deux modèles ont été réalisés un avec des segments de 2 m de longueur et l’autre avec des segments de 1 m de longueur. Les résultats des modèles sont comparés en termes de proportionnalité entre la force et la vitesse mesurées dans la tête (figure II.14). Le modèle avec des segments de 1 m de longueur donne une proportionnalité améliorée entre les courbes par rapport à l’autre modèle.
(a) (b)
Figure II.14. Vérification de la proportionnalité entre la force et la vitesse mesurées dans la tête pour le modèle avec des éléments de a) 2 m et b) 1 m (Rausche, et al., 2004)
Dans cette même recherche, Rausche et al. (2004) ont étudié l’influence de la longueur de chaque élément sur les contraintes et la prédiction de l’enfoncement sur un pieu métallique battu de 100 m de longueur avec la résistance du sol concentrée sur la pointe. Des éléments de 0,25, 0,5, 1, 2, 3 et 4 m de longueur ont été modélisés. La différence sur les contraintes et l’enfoncement pour des éléments de longueur de moins de 2 m n’est pas très importante (moins de 5 %) par rapport à un modèle avec des éléments de 0,25 m de longueur. Par contre si les éléments font plus de 2 m, l’erreur est importante dans la prédiction de l’enfoncement par coup (figure II.15). La conclusion finale est donc que des éléments de 2 m ou moins donnent des résultats satisfaisants.
Figure II.15. Influence de la longueur de l’élément (Segment Length) par rapport à la contrainte dans la tête du pieu (Top Stress) et à l’inverse de l’enfoncement par coup
(Blow Ct) (Rausche, et al., 2004)
Modèle du sol
Les paramètres du sol nécessaires pour faire l’analyse sont :
l’enfoncement élastique maximal q (quake) ;
le coefficient d’amortissement Js.
La valeur de q recommandée par le logiciel est de 2,50 mm pour le fût (pour tous les types de sol) (Smith, 1960). Mais cette valeur correspond à un pieu (diamètre plus grand que les micropieux). Zhou (1997) et Arbaoui (2003) ont constaté des valeurs pour l’enfoncement élastique (quake) comprises entre 0,5 mm et 2,0 mm pour la plupart des sols testés lors des essais de chargement statique à l’aide d’un pénétromètre. Ainsi, la valeur que nous avons choisie pour un type de sol moyen est de 1,5 mm pour le fût et pour la pointe.
Tableau II.3. Valeurs de Js pour la méthode Smith
Nature du sol Js (pointe) [m/s]
(Forehand & Reese, 1964)
Js (fût)
[m/s]
(Pile Dynamics, Inc., 2010)
Non-cohésive 0,50 0,16
Cohésive 0,50 0,65
Pour la modélisation de la résistance dynamique, plusieurs modèles sont proposés (Case, Smith, Smith-visqueux, Coyle et Gibson, et Rausche). Un détail de tous ces modèles peut être trouvé dans le travail réalisé par Charue (2004). Dans notre étude, on a choisi le modèle de Smith car il est bien adapté aux cas les plus courants des battages de pieux (Pile Dynamics, Inc., 2010). Les autres modèles ont apporté des améliorations au modèle de Smith pour représenter des cas particuliers, par exemple le modèle de Case est utilisé dans le cas où la résistance du pieu provient de la pointe (Goble, et al., 1975). Dans le tableau II.3 les valeurs des coefficients de Smith sont résumées pour différents types de sols.
Modèle du marteau
Le logiciel propose plusieurs types de marteaux prédéfinis : marteaux hydrauliques, marteaux à air comprimé, marteaux en chute libre, marteaux vibratoires …. Les modèles présents dans le logiciel sont modélisés en se basant sur des informations fournies par les fabricants. Il est également possible de créer un marteau. C’est le choix que nous avons fait, puisque nous avons utilisé un marteau avec une masse et des caractéristiques géométriques spécifiques.
Pour réaliser un nouveau marteau le logiciel propose trois types : combustion interne, combustion externe et vibratoire. Un marteau par combustion externe a été choisi car c’est le modèle considéré par le logiciel pour représenter un marteau en chute libre.
On a donc défini un marteau en chute libre de 4,9 kN de poids avec une hauteur de chute variable. Le mouton est une masse cylindrique en acier de 500 mm de hauteur et 400 mm de diamètre. L’efficacité du marteau a été imposée à 0,60, en fonction des recommandations du logiciel pour ce type de marteau. Normalement un marteau de chute libre réelle a une efficacité de 95 %, mais dans la plupart des cas, le marteau doit être guidé ce qui réduit son efficacité. C’est pourquoi, nous avons choisi une efficacité de 60 %.
Un amortisseur de 100 mm de hauteur et 150 mm de diamètre a été utilisé entre le marteau et la tête du micropieu (casquette). Le matériau est un plastique appelé polyéthylène de haute densité (PE HD 1000) avec un module d’élasticité de 750 MPa et un coefficient de restitution de 0,8.
II.2.2. Modélisation de la propagation de l’onde sur PFC2D
Le battage des pieux ou micropieux est un problème dynamique en grandes déformations pour la partie plastique, cas où la méthode des éléments distincts (MED) se révèle ainsi bien adaptée pour sa modélisation. Celle-ci est basée sur une approche micromécanique qui tente d’expliquer les mécanismes de déformation et de rupture à partir de l’analyse des propriétés des grains et de leurs contacts.
Le modèle du battage de micropieux réalisé sur GRLWEAP a la limitation principale que pour obtenir une solution au modèle de Smith, il est nécessaire de provoquer un déplacement plastique à chaque impact donc on n’est pas capable d’obtenir la solution de l’équation de l’onde pour des impacts à faibles déformations. Le logiciel PFC2D (Itasca Consulting Group, Inc., 1997) est un code bidimensionnel basé sur la méthode des éléments distincts, où il est possible de modéliser la propagation d’ondes dynamiques à travers le milieu sans aucune limitation quant aux déplacements, rotations, etc…
La présente étude consiste à simuler le battage d’un micropieu à l’aide de la MED sur le logiciel PFC2D. Le micropieu et le système de battage sont modélisés par un système discret billes/ressorts/amortisseurs et l’interaction fût/sol est conçue par un contact bille/parois (figure II.16).
Les billes qui composent le micropieu ou le système de battage sont des particules, supposées rigides, qui se déforment localement aux points de contact. Les particules peuvent être indépendantes pour modéliser des granulats ou liées les unes aux autres pour représenter un matériau solide, tel qu’une tige. La déformation du modèle est expliquée par le chevauchement entre les particules, dont la force de chaque contact est proportionnelle au chevauchement. Différentes lois de contact sont prédéfinies dans le code. Toutefois, pour la modélisation du battage, on retiendra une loi de contact linéaire élastique.
(a) (b) (c)
Figure II.16 . a) Système de battage d’un micropieu, b) modèle discrétisé et c) modèle de l’interaction sol-micropieu
La force de contact est alors directement proportionnelle au chevauchement entre les entités en contact, soit un contact particule-particule soit un contact particule-parois et cette proportionnalité est contrôlée par la raideur au contact. Ainsi les forces normale et tangentielle au niveau du contact sont définies d’après les expressions suivantes :
𝐹𝑛= 𝐾𝑛𝑈𝑛 équation II-12
∆𝐹𝑠 = 𝐾𝑠∆𝑈𝑠 équation II-13
où : Un : chevauchement au contact,
Un : incrément du déplacement tangentiel, Kn : raideur normale au contact,
Figure II.17. Schéma d’un contact élastique linéaire (Benz Navarrete, 2009)
Les raideurs de contact Kn et Ks sont fonctions des raideurs définies pour deux entités A et B
en contact d’après les expressions suivantes : 𝐾𝑛= 𝑘𝐴 𝑛. 𝑘 𝐵𝑛 𝑘𝐴𝑛+ 𝑘𝐵𝑛 et 𝐾𝑠 = 𝑘𝐴 𝑠. 𝑘 𝐵𝑠 𝑘𝐴𝑠+ 𝑘𝐵𝑠 équation II-14
A ou B pouvant être une particule ou une paroi, mais en aucun cas A et B ne sont des parois,
car le contact entre ces entités n’est pas permis.
(a) Principe de la modélisation du battage d’un micropieu
Le modèle du battage d’un micropieu est basé sur les idées de Zhou (1997) et Benz (2009) utilisées pour modéliser le battage d’un pénétromètre. Le micropieu est modélisé par un système de masses et ressorts dont les masses correspondent aux particules disponibles dans le code (figure II.16). Nous considérons que le modèle est sans amortissement. Pour cela le coefficient d’amortissement considéré est très faible ( = 0,5% de l’amortissement critique).
Les paramètres physiques et mécaniques des particules du micropieu sont ceux du coulis armé et pour le marteau ceux de l’acier. Ainsi, pour établir la relation entre les paramètres continus du matériau composite du micropieu et les paramètres de chaque particule, on considère l’ensemble de celles-ci comme un milieu continu représentant un micropieu de section circulaire uniforme, avec rp le rayon de chaque particule et donc du micropieu. Axialement, chaque particule
représente un cylindre équivalent de hauteur égale à 2.rp. Ainsi le module d’Young Ep est exprimé
d’après : 𝐸𝑝 = 𝜎 𝜀 = 𝐹 𝜋𝑟𝑝2 2. 𝑟𝑝 ∆𝑢 équation II-15
F étant la force de contact et u le déplacement du contact. En considérant une loi de contact
linéaire élastique entre les particules, considérées elles-mêmes de même taille, on peut écrire : 𝐹
∆𝑢= 𝑘𝑛
2 équation II-16
kn étant la raideur normale de chaque particule. Ainsi, compte-tenu de la relation précédente, le
module d’Young Et du micropieu discrétisée peut être obtenu d’après :
𝐸𝑝=
𝑘𝑛
𝜋. 𝑟𝑝 équation II-17
D’après la théorie de la propagation longitudinale d’ondes, le carré de la célérité de l’onde ct
est égal au rapport entre le module de Young Ep et la densité du milieu traversé p. La raideur
𝑘𝑛 = 𝜋. 𝑟
𝑝. 𝜌𝑝𝑐𝑡2 équation II-18
Pour prendre en compte les effets des forces inertielles, la densité équivalente ball de
chaque particule composant le micropieu est obtenue en supposant sa masse égale à la masse d’un cylindre équivalent :
4 3𝜋. 𝑟𝑝 2. 𝜌 𝑏𝑎𝑙𝑙= 𝜋. 2. 𝑟𝑝2. 𝜌𝑝 équation II-19 𝜌𝑏𝑎𝑙𝑙 = 3 2𝜌𝑝 équation II-20
Pour définir l’interaction micropieu-sol on suppose que les efforts dus au frottement latéral sont concentrés au niveau de chaque particule. Ils sont représentés par deux parois, une de chaque côté de la particule, dont le comportement est assimilable à une loi du type élastoplastique parfaite (cf. figure II.16.c). L’interaction pointe-sol n’est pas prise en compte dans le modèle. Au cours de l’enfoncement, une fois dépassé le seuil de plasticité, le sol oppose une résistance Ru
constante, déterminée à partir de l’expression suivante :
𝑅𝑢= 𝐹1𝑠+ 𝐹2𝑠= 2. 𝜇. 𝐹𝑛 équation II-21
En considérant un contact linéaire élastique, et après quelques arrangements, on obtient : 𝑅𝑢= 2. 𝜇. 𝑈𝑛
𝑘𝑏𝑛. 𝑘 𝑤𝑛
𝑘𝑏𝑛+ 𝑘𝑤𝑛 équation II-22
Avec kn la raideur normale de chaque élément, b : ball et w : wall. La droite d’effort
enfoncement au niveau du contact du modèle de Zhou (1997) est ainsi celle exposée (cf. figure II.16.c).
Par ailleurs, pour maintenir les particules qui composent les différents éléments du système (micropieu, marteau, tête de battage) nous avons utilisé une loi de contact liant du type bond qui consiste en la création d’un contact de type « colle » entre les particules en contact. Cette loi simule une sorte de « cohésion » et le contact élastique développe une résistance à la traction et au glissement.
Initialement, l’ensemble est soumis aux forces de pesanteur. L’arrivée à l’état d’équilibre est déterminée à partir de l’histoire de la force d’équilibre en fonction du nombre de pas de calcul. Ainsi le contact se trouve compressé sous une force égale à mg, m étant la masse de l’ensemble des particules.