Les limites du modèle de Potts étendu

+λ^X

(a(σ)−A

)

Γ(A

).

La dynamique de Métropolis-Hastings utilisée par Graner et Glazier est décrite en

détail à la section 3.3.5. Dans la suite de cette section, nous allons montrer que l'étude

approfondie de ce modèle soulève quelques limites. Ces limites sont principalement dues

à la discrétisation de l'espace en pixels.

3.4.1 Les limites du modèle de Potts étendu

En premier lieu, Graner et Glazier ont mis en avant le fait qu'aucune contrainte n'était

spéciée quant à la connexité des cellules (voir Figure 3.12). Pour contrôler ce problème,

la dynamique de Graner et Glazier utilise une conguration initiale qui satisfait déjà à

une géométrie régulière. Etant donné que le paramètre de température est faible, une

perte de connexité constitue dans leurs campagnes de simulation un événement rare.

Néanmoins, ce problème de connexité est lié au fait que l'espace soit discrétisé : sur un

modèle centré, la connexité des cellules est évidente.

En un second lieu, nous pouvons remarquer que l'algorithme utilisé par Glazier et

Graner construit une chaine de Markov non reversible. En eet, leur algorithme s'autorise

127 3.4. la classe CC

Fig. 3.12: Exemple de perte de connexité d'une cellule. La cellule grise suite

à l'itération schématisée ci-dessus n'est plus connexe.

à tuer certaines cellules mais ne peut pas en créer. La convergence de l'algorithme

n'est donc pas garantie et ce problème n'est pas traité par Graner et Glazier. Comme

pour le problème de connexité des cellules, les auteurs initialisent leur algorithme en une

conguration pour laquelle la contrainte de forme est déjà presque respectée. Par

consé-quent, l'algorithme se trouve, dès l'initialisation, proche d'un minimum local. Or, comme

le précise les auteurs, leur algorithme ne s'autorise que des petits sauts énergétiques

à chaque itération et va donc rester bloqué dans le minimum local le plus proche de la

conguration initiale.

En troisième lieu, nous avons remarqué que les auteurs ne s'étaient pas préoccupés

de l'invariance par changement d'échelle. En eet, Graner et Glazier se sont concentrés

sur la simulation du modèle dans le cas d'un pas de discrétisation égal à1: chaque pixel

est représenté par un carré de côté égal à 1 et donc d'aire égale à 1. Pourtant, nous

pouvons constater que pour un même jeu de paramètres et une discrétisation deux fois

plus ne, par exemple, l'Hamiltonien du système se trouve changé et modie également

le comportement de l'algorithme.

Premièrement, le choix de la taille de la grille de discrétisation modie le calcul de

l'Hamiltonien (voir gure 3.13). Pour une grille carrée composée de neuf pixels, chacun

des carrés étant de côté 1, l'Hamiltonien de la conguration décrite dans gure 3.13(a)

vaut 31. Pour la même conguration, mais sur une grille deux fois plus ne, composée

de 36 pixels, chacun carrés de côté1/2, l'Hamiltonien vaut 58, gure 3.13(b).

(a) (b)

Fig. 3.13: Exemple de calculs d'Hamiltonien pour une même conguration

et un même jeu de paramètres, mais avec des grilles de

discré-tisation de tailles diérentes. Les congurations (a) et (b) sont

géométriquement identiques : elles sont composées de deux

cel-lules, une grise et une blanche, dont la forme est conservée entre

la conguration(a)et(b). Dans la gure(a)la grille est

compo-sée de carrés de côté1et dans la gure (b)la grille est composée

de carrés de côté 1/2. En choisissant comme paramètres J = 3

pour une interaction entre un pixel d'une cellule grise et un pixel

d'une cellule blanche, A= 4 comme aire cible pour une cellule

grise et une cellule blanche, dans le cas (a) l'Hamiltonien du

système vaut31et dans le cas(b) 58. Si l'interaction entre deux

pixels est pondérée par le pas de discrétisation, l'Hamiltonien du

système(a)vaut toujours31(car le pas vaut1), et l'Hamiltonien

du système(b) vaut 35.5 (le pas vaut dans ce cas 1/2).

129 3.4. la classe CC

Nous pouvons facilement remarquer que plus la grille sera ne plus le poids sur les

interactions entre pixels voisins deviendra grand par rapport à la contrainte de forme

sur les cellules. An de conserver le même ordre de grandeur entre ces deux types de

contrainte, indépendamment de la nesse de discrétisation, il est naturel de pondérer

une interaction entre deux pixels par un facteurh, oùhest le pas de discrétisation. Cette

pondération permet de modérer l'interaction entre deux pixels par la longueur de leur

surface de contact et conserve donc la philosophie du modèle de Graner et Glazier, basée

sur l'hypothèse DAH de Steinberg. Dans ce cas, les Hamiltoniens du système calculés à

la gure 3.13 reste du même ordre de grandeur :H

= 31contreH

= 35.5.

Deuxièmement, ce problème d'échelle se répercute également sur l'algorithme de

si-mulation. En eet, la discrétisation joue un rôle important dans le calcul de la probabilité

d'acceptation d'une transition. Dans l'exemple décrit à la gure 3.14, si l'interaction entre

deux pixels n'est pas pondérée par le pas de discrétisation, la transition étudiée s'eectue

quasi-sûrement dans le cas(a) et avec une probabilité de exp(−4/(kT))dans le cas (b).

Comme k ≈ 1.38.10

et T ≈ 10, cette probabilité dans le cas (b) est très faible. Si

au contraire, l'interaction entre deux pixels est pondérée par le pas de discrétisation, la

transition sera acceptée presque-sûrement dans les deux cas (a)et(b).

La plupart des problèmes mis en avant ci-dessus sont liés à la discrétisation de l'espace.

Dans notre approche nous proposons une alternative au modèle de Graner et Glazier sur

un espace continu. Nous proposons ici un modèle centré, de type processus ponctuel, pour

lequel chaque cellule est caractérisée par un point et une zone d'inuence. L'interaction

entre les cellules est également dénie à l'aide d'un Hamiltonien, an de conserver l'esprit

de l'hypothèse biologique DAH.

3.4.2 Introduction d'une classe de fonctions Hamiltoniennes sur un