Introduction d'une classe de fonctions Hamiltoniennes sur un es-

Notations

Dans notre approche, nous considérons n cellules, décrites par les coordonnées

spa-tiales de leurs centres (x

i

)

i=1,...,n

. A chaque cellule est attaché un type, noté(τ

i

)

i=1,...,n

.

Ainsi, un ensemble de cellules, appelé conguration et noté ϕ, peut se formaliser par :

(a)

−−−−−→

1 itération

(b) 4 itérations

^{−−−−−→}

Fig. 3.14: Exemple de calculs de diérence d'Hamiltoniens entre une

con-guration initiale et une concon-guration terminale en fonction du

pas de discrétisation pour le modèle de Graner et Glazier. Le

jeu de paramètres choisi est : J = 3 pour une interaction entre

un pixel d'une cellule grise et un pixel d'une cellule blanche,

A = 4 comme aire cible pour une cellule grise et pour une

cel-lule blanche. Dans le cas(a), où le pas de discrétisation vaut 1,

la diérence d'Hamiltonien entre la conguration de droite et la

conguration de gauche vaut ∆H = 26−31 =−5. Dans le cas

(b), où le pas de discrétisation vaut 1/2, ∆H = 62−58 = 4.

Ainsi dans le cas(a), le changement est accepté avec une

proba-bilité de1, tandis que dans le cas(b), le changement est accepté

avec une probabilité de exp(−4/(kT)). Si l'interaction entre 2

pixels est pondérée par le pas de discrétisation, dans le cas (a),

∆H reste inchangé : ∆H = 5. Dans le cas (b), nous avons :

∆H = 34,5 −35,5 = −1. La probabilité d'acceptation reste

diérente entre le cas (a) et (b) mais reste du même ordre de

grandeur.

131 3.4. la classe CC

Par la suite nous noteronsx= (x, τ

x

) un point marqué, oùx correspond à la

locali-sation spatiale du point (ou du centre de la cellule), etτ

_x

, la marque attachée à ce point.

Ainsi une conguration de cellules,ϕ, peut-être vue comme une conguration de points

marqués de la manière suivante :

ϕ={ϕ, τ

_ϕ

},

oùϕ={x

₁

, . . . , x

_n

}correspond à un processus de points non marqués etτ

_ϕ

={τ

_x1

, . . . , τ

_xn

}

correspond aux marques associées à chaque point.

Nous proposons un modèle continu en associant à chaque cellule biologique une zone

d'inuence dansR

²

dénie par la cellule de Dirichlet centrée sur chaque point(x

i

)

i=1,...,n

.

L'utilisation du diagramme de Dirichlet pour modéliser des cellules biologiques est

as-sez répandue. Cette modélisation a été étudiée en détail par Honda [Honda, 1978] et

[Honda, 1983]. Au début des années 2000, un test mesurant l'agressivité d'une tumeur a

été développé à partir d'une modélisation de cellules biologiques par un diagramme de

Di-richlet [Nawrocki-Raby et al., 2001]. Nous allons rappeler ici la dénition du diagramme

de Dirichlet, également appelé diagramme de Voronoï. Pour de plus amples détails, le

lecteur est invité à se référer à [Okabe et al., 2000].

Dénition du diagramme de Dirichlet

Dénition 12 Soit ϕ un ensemble de points dans une conguration quadratique, i.e.

trois points de ϕne peuvent être sur la même ligne et quatre points de ϕne peuvent être

sur le même cercle. La cellule de Dirichlet d'un point x∈ϕ est dénie par :

Dir

_ϕ

(x) ={η∈_R

²

:|x−η| ≤ |y−η|pour tout y∈ϕ\x}.

La cellule de Dirichlet de xest donc l'ensemble des points de R

²

qui sont les plus proches

de x que des autres points deϕ. Ces cellules sont des polygones convexes qui constituent

une subdivision du plan appelé diagramme (ou mosaïque) de Dirichlet.

La gure 3.15 reproduit un exemple de diagramme de Dirichlet calculé à partir de

100 points répartis selon un processus de Poisson sur le carré unité.

Remarque : L'aire de la cellule de Dirichlet associée au point x pour la

congura-tion ϕ, s'écrit |Dir

_ϕ

(x)|. Lorsque deux points x et y possèdent des cellules de Dirichlet

Fig. 3.15: Exemple de diagramme de Dirichlet engendré par un processus

de Poisson d'intensité 100 sur le carré unité.

qui s'intersectent, nous notons l'arête de Dirichlet commune à x et y par le symbole

Dir

_ϕ

(x)∩Dir

_ϕ

(y). La longueur de l'arête commune à x ety pour la congurationϕ se

note|Dir

ϕ

(x)∩Dir

ϕ

(y)|.

Lorsqu'il n'y a pas d'ambiguïté sur la conguration de points considérée et pour

alléger les notations, nous omettrons la dépendance entre la cellule de Dirichlet et la

conguration en notant

Dir(x)la cellule de Dirichlet du point x,

133 3.4. la classe CC

Dir(x)∩Dir(y) l'arête commune aux pointx ety,

|Dir(x)∩Dir(y)|la longueur de l'arête commune aux point x ety.

Diagramme de Dirichlet et triangulation de Delaunay

Le diagramme de Dirichlet permet la dénition d'une topologie de voisinage pour les

points d'une conguration quadratique. Cette topologie de voisinage, appelée

triangula-tion de Delaunay, est dénie de la manière suivante :

x∼

_ϕ

y ⇐⇒Dir

_ϕ

(x)∩Dir

_ϕ

(y)6=∅,

où le symbole ∼

_ϕ

représente une relation de voisinage pour la congurationϕ.

L'exemple de la gure 3.15 est repris à la gure 3.16 en rajoutant les relations de

voisinage, au sens de Delaunay, entre les points de la conguration. Pour une conguration

donnée, ϕ, nous pouvons noter l'ensemble des arêtes de Delaunay,Del

2

(ϕ) et l'ensemble

des triangles de Delaunay,Del

₃

(ϕ).

De nouveau, lorsque le contexte n'introduit aucune ambiguïté sur la conguration,

nous omettrons la dépendance entre la topologie de voisinage et la conguration. Dans

ce cas, deux points x ety voisins sont notésx∼y.

Dénition de la classe de fonctions CC

Ces notations nous permettent d'introduire une nouvelle classe de fonctions

Hamil-toniennes, la classe CC, dénie de la manière suivante :

H

CC

(ϕ) = ^X

x∼ϕy

g(|Dir

ϕ

(x)∩Dir

ϕ

(y)|)J(τ

x

, τ

y

) +^X

x∈ϕ

h(Dir

ϕ

(x), τ

x

), (3.4)

où les fonctions g,J eth sont des fonctions à valeurs réelles.

Ces fonctions Hamiltoniennes se décomposent en deux termes. Le premier terme est

une somme sur l'ensemble des cellules voisines au sens Delaunay. Ce terme fait intervenir

une fonction d'interactionJ, analogue de la fonctionJdans le modèle de Potts étendu, qui

dépend des types des cellules voisines. Cette dépendance aux types modélise l'hypothèse

DAH. De plus, l'interaction entre cellules voisines est pondérée par la longueur de la

surface de contact entre les cellules. Cette pondération modélise, quant à elle, l'aspect

fermeture éclair des liaisons adhérentes. Le second terme fait référence à la contrainte

Fig. 3.16: Exemple de diagramme de Dirichlet engendré à partir d'un

pro-cessus de Poisson d'intensité 100 sur le carré unité. Sur cet

exemple, les relations de voisinage représentées en traits pleins

forment les triangles de Delaunay.

135 3.4. la classe CC

de forme proposée par le modèle de Potts étendu. En eet, ce terme est une somme

sur l'ensemble des cellules, et met en jeu la forme de la cellule en fonction de son type.

De manière analogue au modèle de Potts étendu, la classe de modèles CC propose des

fonctions d'énergie composées d'une contrainte d'interaction entre cellules contigües et

d'une contrainte de forme sur les cellules.

Dans le document Modèles statistiques du développement de tumeurs cancéreuses (Page 130-136)