Existence de processus de la classe CC

Nous allons à présent déterminer certaines conditions pour que la classe CC admettent

des solutions aux équations DLR. Ces conditions sont de deux types : des conditions

fonctionnelles, portant sur les fonctionsJ,geth, et des conditions géométriques portant

sur la triangulation de Delaunay. Cette étude est très largement inspirée de travaux

menés sur l'existence de processus ponctuels de Gibbs dont l'interaction est fonction de

la triangulation de Delaunay [Bertin et al., 1999a]. L'ingrédient essentiel pour ce type

de processus est l'utilisation d'un sous-graphe, noté Delaunay

_β0

, du graphe de Delaunay

pour contrôler la stabilité de la fonction d'énergie. En eet, pour la triangulation de

Delaunay associée à un processus ponctuel de Poisson n'a aucune contrainte géométrique :

la distance entre deux voisins de Delaunay n'est pas bornée, deux voisins de Delaunay

peuvent être proche que l'on veut, le nombre de voisins de Delaunay d'un point n'est

pas borné, etc...Ceci se répercute sur le diagramme de Dirichlet associé à un processus

ponctuel de Poisson. En particulier, les arêtes de Dirichlet ainsi que les aires des cellules

de Dirichlet ne sont pas bornées pour un processus ponctuel de Poisson.

Pour étudier l'existence des processus de la classe CC, nous allons utiliser un

sous-graphe, Delaunay

β0

, du graphe de Delaunay. Ce graphe, noté formellement Del

^β0

3,β

, est

composé de l'ensemble des triangles de Delaunay qui satisfont une contrainte de petit

angle.

Dénition 22 Soit une conguration de points ϕ, et soit β

₀

∈]0, π/3]. Le sous graphe

Delaunay

β0

, noté Del

^β0

3,β

(ϕ), se dénit de la manière suivante :

Del

^β0

3,β

(ϕ) ={ψ∈Del

3

(ϕ), β(ψ)> β

0

},

où la fonction β(ψ) désigne le plus petit angle du triangle ψ. Nous pouvons également

dénir les arêtes du sous graphe Delaunay

_β0

pour une conguration ϕ, notées Del

^β0

2,β

(ϕ),

de la manière suivante :

Del

^β0 2,β

= ^[

ψ∈Del^β0 3,β(ϕ)

P

₂

(ψ).

Ce sous-graphe Delaunay

β0

va nous permettre en particulier de contrôler le nombre

de points en interaction dans le modèle CC. Cependant, l'utilisation d'un sous graphe

Delaunay

_β0

ne permet pas, en l'état, de contrôler la contrainte de forme sur les cellules

de Dirichlet en chaque point du processus. L'utilisation de ce sous graphe Delaunay

β0

ne

permet pas de dénir un diagramme dual caractérisant une zone d'inuence pour chaque

point. Nous allons dénir l'ensemble de points pour lesquels la cellule de Dirichlet peut

être calculée et est identique pour le graphe de Delaunay et le sous graphe de Delaunay

β0

.

Nous notons cet ensemble de points Del

^β0

1,β

que nous dénissons comme suit.

Dénition 23 Soitϕ une conguration de points et soit β

0

∈]0, π/3].

Del

^β0

1,β

(ϕ) ={x∈ϕ:T

ϕ

(x)⊂Del

^β0

3,β

(ϕ)},

oùT

ϕ

(x)est l'ensemble des triangles de Delaunay de la congurationϕcontenant le point

x.

An d'étudier, en premier lieu, la stabilité locale de la classe de modèles CC, nous

allons contraindre les interactions à s'opérer entre les voisins du sous graphe Delaunay

_β0

.

De plus, la contrainte de forme ne s'appliquera qu'aux points ayant une zone d'inuence

dans le sous graphe Delaunay

_β0

, c'est à dire aux points deDel

^β0

1,β

. Cela revient à étudier

les propriétés de la fonction d'énergie suivante :

H

^β0 CC

(ϕ) = ^X

(x,y)∈Del^β0 2,β

J(τ

_x

, τ

_y

)g(|Dir

_ϕ

(x)∩Dir

_ϕ

(y)|) + ^X

x∈Del^β0 1,β

h(Dir(x), τ

_x

).

Cette énergie d'interaction permet de dénir une nouvelle classe de processus, la classe

CC

β0

.

Les contraintes, utilisées par l'intermédiaire du graphe de Delaunay

β0

, sont essentielles

pour l'étude mathématique du modèle. Cependant, l'angle minimum β

₀

peut se choisir

aussi petit que possible, tant qu'il reste strictement positif. Par conséquent, dans la

pratique, nous pouvons considérer le modèle général, proposé à la dénition 21.

Proposition 16 (Stabilité locale de la classe CC

β0

)

Soit β

₀

∈]0, π/3]. Soit ϕ = {(x, τ

_x

) : x ∈ ϕ} ∈ N

_lf

une conguration et τ

₀

∈ M.

Notonsϕ

⁰

la conguration telle que :

ϕ

⁰

=ϕ∪(0, τ

₀

).

153 3.7. Etude de notre classe de modèles

il existe une constante K

J

telle que |J()|< K

j

,

il existe une constante K

_g

telle que |g()|< K

_g

,

il existe une constante K

h

telle que |h()|< K

h

,

Sous ces conditions :

|H

^β0 CC

(ϕ

⁰

)−H

^β0 CC

(ϕ)| ≤C(K

_J

, K

g

, K

_h

, β

0

).

Preuve :

D'après la dénition deH

^β0 CC

, la diérence entreH

^β0 CC

(ϕ

⁰

)etH

^β0

CC

(ϕ)est donnée par :

H

^β0 CC

(ϕ

⁰

)−H

^β0 CC

(ϕ) =

X

(x,y)∈Del^β0 2,β(ϕ0)

J(τ

x

, τ

y

)g(|Dir

ϕ0

(x)∩Dir

ϕ0

(y)|) + ^X

x∈Del^β0 1,β(ϕ0)

h(Dir

ϕ0

(x), τ

x

)

− ^X

(x,y)∈Del^β0 2,β(ϕ)

J(τ

_x

, τ

_y

)g(|Dir

_ϕ

(x)∩Dir

_ϕ

(y)|)− ^X

x∈Del^β0 1,β(ϕ)

h(Dir

_ϕ

(x), τ

_x

)

En utilisant les propriétés géométriques de la mosaïque de Dirichlet, l'expression

ci-dessus se simplie en une somme de six termes :

H

^β0 CC

(ϕ

⁰

)−H

^β0 CC

(ϕ)

= ^X

(0,x)∈Del^β0 2,β(ϕ0)

g(|Dir

_ϕ0

(0)∩Dir

_ϕ0

(x)|)J(τ

₀

, τ

_x

)

+ ^X

(x,y,0)∈Del^β0 3,β(ϕ0)

(g(|Dir

_ϕ0

(x)∩Dir

_ϕ0

(y)|)−g(|Dir

ϕ

(x)∩Dir

ϕ

(y)|))J(τ

x

, τ

y

)

− ^X

(x,y)∈Del^β0 2,β(ϕ)\Del^β0 2,β(ϕ0)

g(|Dir

_ϕ

(x)∩Dir

_ϕ

(y)|)J(τ

_x

, τ

_y

)

+h(Dir

_ϕ0

(0), τ

0

)1l

_0∈Delβ₀ 1,β(ϕ0)

+ ^X

x∈Del^β0 1,β(ϕ0);(x,0)∈Del^β0 2,β(ϕ0)

h(Dir

ϕ0

(x), τ

x

)−h(Dir

ϕ

(x), τ

x

)

− ^X

x∈Del^β0 1,β(ϕ)\Del^β0 1,β(ϕ0)

h(Dir

_ϕ

(x), τ

_x

).

Le premier terme correspond à l'interaction entre le point0et ses voisins. Le second

terme correspond aux diérences d'interaction entre la congurationϕ

⁰

et la conguration

ϕ. La somme s'eectue sur l'ensemble des triangles de Delaunay

_β0

de la congurationϕ

⁰

mettant en jeu le point0. La propriété d'insertion locale du diagramme de Dirichlet nous

indique que seules les interactions entre deux points du voisinage de0sont modiées. Le

troisième terme quantie les relations de voisinage qui ont disparu suite à l'insertion du

point(0, τ

₀

)dans la congurationϕ. Le quatrième terme est expliqué par la contrainte de

forme pour la cellule associée au point0. Le cinquième terme représente la diérence dans

la contrainte de forme entre la congurationϕ

⁰

etϕ. De nouveau, la propriété d'insertion

locale dans le diagramme de Dirichlet nous garantit que seules les cellules associées aux

points voisins de 0 ont une contrainte de forme modiée. Enn, le sixième terme nous

vient du fait que certaines cellules perdent leurs contraintes de forme à cause de la

contrainte de petit angle matérialisé par le paramètreβ

₀

.

Nous allons à présent contrôler chacun des six termes indépendamment. Nous posons

tout d'abordN =^l

²_β^π

0

m

, oùd.ereprésente la fonction partie entière. Le résultat suivant va

nous permettre de contrôler le nombre de termes de chacune des sommes composant les

six termes de l'expression précédente. En eet, nous pouvons rappeler que le nombre de

triangles qui apparaissent dans le graphe de Delaunay

β0

suite à l'insertion du point0est

majoré parN. De même le nombre de triangles qui disparaissent du graphe de Delaunay

β0

est également majoré parN. Ces résultats sont démontrées dans [Bertin et al., 1999a].

Premièrement, nous en déduisons que le nombre de voisins du point0 dans le graphe

de Delaunay

β0

est majoré parN. Ainsi, puisqueg sont J sont bornées :

X

(x,0)∈Del^β0 2,β

g(|Dir

_ϕ0

(0)∩Dir

_ϕ0

(x)|)J(τ

₀

, τ

_x

)

≤N K

_g

K

_J

. (3.6)

Comme nous l'avons remarqué précédemment, le nombre de nouveaux triangles dans

le graphe de Delaunay

β0

est majoré par N. Ainsi en rappelant que les fonctions g etJ

sont bornées nous obtenons que :

X

(x,y,0)∈Del^β0 3,β(ϕ0)

(g(|Dir

_ϕ0

(x)∩Dir

_ϕ0

(y)|)−g(|Dir

_ϕ

(x)∩Dir

_ϕ

(y)|))J(τ

_x

, τ

_y

)

≤2N K

_g

K

_J

.

(3.7)

Le contrôle du troisième terme nécessite de remarquer que les relations de voisinages

qui ont disparu entre ϕ

⁰

et ϕ mettent en jeu deux points appartenant à des triangles

155 3.7. Etude de notre classe de modèles

ayant disparu. Comme nous avons remarquer que le nombre de triangles ayant disparus

est majoré parN, nous pouvons donc majorer par3Nle nombre de relations de voisinages

ayant disparu. En utilisant le fait que les fonctions g etJ sont bornées, nous obtenons

que :

X

(x,y)∈Del^β0 2,β(ϕ)\Del^β0 2,β(ϕ0)

g(|Dir

_ϕ

(x)∩Dir

_ϕ

(y)|)J(τ

_x

, τ

_y

)

≤3N K

_g

K

_J

. (3.8)

Ensuite, par hypothèse nous avons directement :

h(Dir

_ϕ0

(0), τ

₀

)1l

_0∈Delβ₀ 1,β(ϕ0)

≤K

_h

. (3.9)

Pour le cinquième terme, nous pouvons constater que la somme se fait sur l'ensemble

des voisins de Delaunay du point 0. De plus, la somme ne tient compte que des points

deDel

^β0

1,β

, ce qui implique que ces points sont voisins de0dans le graphe de Delaunay

β0

.

Le nombre de terme de la somme peut donc se majorer par 2N. En rappelant que la

fonction h est bornée, nous obtenons que :

X

x∈Del^β0 1,β(ϕ0);(x,0)∈Del^β0 2,β(ϕ0)

h(Dir

_ϕ0

(x), τ

_x

)−h(Dir

_ϕ

(x), τ

_x

)

≤2N K

_h

. (3.10)

Enn, pour le sixième et dernier terme, nous pouvons constater que l'ensemble des

points de la somme appartiennent au voisinage de Delaunay du point 0. En eet, seuls

ces points appartiennent à des triangles ayant été modiés par l'insertion du point0. De

plus, ces points appartiennent nécessairement à des triangles ayant disparu du graphe de

Delaunay

β0

. Or nous avons constaté que le nombre de triangles ayant disparu du graphe

de Delaunay

β0

est majoré parN. Ainsi, puisque la fonctionh est bornée, nous obtenons

que :

X

x∈Del^β0 1,β(ϕ)\Del^β0 1,β(ϕ0)

h(Dir

ϕ

(x), τ

x

)

≤3N K

h

(3.11)

Nous pouvons à présent combiner les équations 3.6-3.11, pour obtenir que :

H

^β0 CC

(ϕ

⁰

)−H

^β0 CC

(ϕ)

≤6N(K

g

K

J

+K

h

).

Cette propriété nous sera particulièrement utile pour l'étude théorique de l'algorithme

de simulation dans la section suivante. En eet, la dynamique utilisée est une dynamique

de Métropolis-Hastings par insertion-délétion. Ainsi, à chaque itération de l'algorithme,

la proposition précédente nous permet le contrôle du saut d'énergie.

L'étude de la quasilocalité de la classe de fonctions d'énergie CC, nécessite de rajouter

des contraintes de portée sur les interactions. En tout premier lieu, nous allons supposer

que l'interaction entre deux points voisins, situés à une distance supérieure à un entier

2R, est nulle. De plus, nous allons considérer que la contrainte de forme ne porte plus sur

l'aire des cellules de Dirichlet, mais sur l'aire des cellules de Dirichlet intersectant une

boule centrée sur les points et de rayonR. Ce type de diagramme est très ressemblant de

domaines de Dirichlet libres introduits par Graner et Sawada [Graner et Sawada, 1993]

(voir gure 3.6). Pour étudier la stabilité, nous allons donc nous intéresser à la classe de

fonctions suivante :

H

^β0,R CC

(ϕ) =

X

(x,y)∈Del^β0 2,β

J(τ

x

, τ

y

)g(|Dir

ϕ

(x

i

)∩Dir

ϕ

(y)|)1l

||x−y||<2R

+ ^X

x∈Del^β0 1,β

h(Dir(x)∩B(x, R), τ

x

),

oùB(x, R) représente la boule fermée de centrex et de rayonR.

Proposition 17 (Quasilocalité) Soient R > 0 et β

₀

∈]0, π/3]. Soit ∆ un borélien

borné tel que 0 ∈ ∆. Soit ϕ = {(x, τ

x

) : x ∈ ϕ} ∈ N

_lf

une conguration et τ

0

∈ M.

Notonsϕ

⁰

la conguration telle que :

ϕ

⁰

=ϕ∪(0, τ

0

).

Sous ces conditions, nous avons :

lim

d(0,∆c)→+∞

[H

^β0,R CC

(ϕ

⁰

)−H

^β0,R CC

(ϕ)]−[H

^β0,R CC

(ϕ

⁰_∆

)−H

^β0,R CC

(ϕ

_∆

)]

= 0.

Preuve :

157 3.7. Etude de notre classe de modèles

Comme nous l'avons vu au cours de la preuve précédente nous avons :

H

^β0,R CC

(ϕ

⁰

)−H

^β0,R CC

(ϕ)

= ^X

(0,x)∈Del^β0 2,β(ϕ0)

g(|Dir

_ϕ0

(0)∩Dir

_ϕ0

(x)|)J(τ

₀

, τ

_x

)1l

||0−x||<2R

+ ^X

(x,y,0)∈Del^β0 3,β(ϕ0)

(g(|Dir

_ϕ0

(x)∩Dir

_ϕ0

(y)|)−g(|Dir

ϕ

(x)∩Dir

ϕ

(y)|))J(τ

x

, τ

y

)1l

||x−y||<2R

− ^X

(x,y)∈Del^β0 2,β(ϕ)\Del^β0 2,β(ϕ0)

g(|Dir

_ϕ

(x)∩Dir

_ϕ

(y)|)J(τ

_x

, τ

_y

)1l

||x−y||<2R

+h(Dir

_ϕ0

(0)∩B(0, R), τ

₀

)1l

_0∈Delβ₀ 1,β(ϕ0)

+ ^X

xs∈Del^β0 1,β(ϕ0);(x,0)∈Del^β0 2,β(ϕ0)

h(Dir

ϕ0

(x)∩B(x, R), τ

x

)−h(Dir

ϕ

(x)∩B(x, R), τ

x

)

− ^X

x∈Del^β0 1,β(ϕ)\Del^β0 1,β(ϕ0)

h(Dir

_ϕ

(x)∩B(x, R), τ

_x

).

La contrainte de forme, s'apparente à un modèle de Ord. Nous pouvons donc utiliser

la propriété de Markoviannité à l'ordre 1, établie par [Baddeley et Møller, 1989], pour

constater que cette contrainte a une portée incluse dans la boule fermée de centre 0 et

de rayon2R. De plus la portée sur les relations de voisinages nous permet d'établir que :

H

^β0,R

CC

(ϕ

⁰

)−H

^β0,R

CC

(ϕ) =H

^β0,R

CC

(ϕ

⁰_B(0,2R)

)−H

^β0,R

CC

(ϕ

_B(0,2R)

).

Nous en déduisons donc que :

lim

d(0,∆c)→+∞

[H

^β0,R CC

(ϕ

⁰

)−H

^β0,R CC

(ϕ)]−[H

^β0,R CC

(ϕ

⁰ ∆

)−H

^β0,R CC

(ϕ

∆

)]

= 0.

Les deux propriétés précédentes nous permettent donc d'établir le théorème suivant

garantissant l'existence de mesures de probabilité vériant les spécications locales de la

classe CC.

Théorème 4 Soit ϕ un processus ponctuel marqué de Gibbs de la classe CC, ayant

comme fonction d'énergieH

^β0,R

CC

. Supposons de plus que

il existe une constante K

J

telle que |J()|< K

j

,

il existe une constante K

_g

telle que |g()|< K

_g

,

il existe une constante K

h

telle que |h()|< K

h

,

Sous ces conditions, il existe une mesure de probabilité satisfaisant les spécications

locales liées à la fonction d'interaction H

^β0,R

CC

.

Preuve : Les propriétés 16 et 17 nous permettent de vérier la propriété 15.

Il est important de remarquer que les contraintes supplémentaires, contraintes de

petit angle et portée, pour passer de la fonction H

CC

à la fonction H

^β0,R

CC

n'ont aucun

sens biologique. Elles ne sont utiles que dans un but mathématique. Cependant, nous

pouvons remarquer que le paramètre β

0

peut être choisi aussi petit que souhaité (à

condition qu'il reste strictement positif). De même, le paramètreR peut-être xé aussi

grand que possible (à condition qu'il reste ni). Ainsi, en pratique il est raisonnable de

confondre la classe de modèle dénie à partir de la fonction d'énergie H

^β0,R

CC

, de celle

dénie de manière générale par la fonction d'énergieH

_CC

.

Nous allons à présent nous focaliser sur la simulation de cette classe de modèle. La

simulation s'eectue la plupart du temps dans un borné conditionnellement aux bords.

Cette remarque nous permet de comprendre que l'étude théorique de l'algorithme de

simulation va s'appuyer essentiellement sur la propriété de stabilité locale du processus.

Dans le document Modèles statistiques du développement de tumeurs cancéreuses (Page 152-159)