3.4 la classe CC
3.4.3 Lien entre la classe CC et le modèle de Potts étendu
Dans cette section, nous allons donner quelques ingrédients heuristiques expliquant
dans quelle mesure la classe de modèles CC (Equation 3.4) correspond à l'expression de
l'Hamiltonien (Equation 3.3) du modèle de Potts étendu. Pour cela, nous allons réécrire
l'équation 3.3, rappelée ci-dessous :
H
GG= X
(i,j)∼(i0,j0)J τ(σ(i, j)), τ(σ(i
0, j
0)) 1−δ
σ(i,j),σ(i0,j0)+λX
σ(a(σ)−A
τ(σ))
2Γ(A
τ(σ)).
La notion de voisinage dans le modèle de Potts étendu est dénie uniquement sur les
pixels de discrétisation de la façon suivante : les huit pixels qui entourent le pixel (i, j)
forment le voisinage du pixel (i, j) (voir gure 3.9). Nous pouvons étendre la notion de
voisinage dans le modèle de Potts étendu au voisinage entre cellules de la façon suivante.
Soient deux cellules,σ etσ
0, nous dénissons :
σ∼σ
0⇐⇒ ∃(i, j)∈σ,∃(i
0, j
0)∈σ
0tels que(i, j)∼(i
0, j
0).
Ainsi, deux cellules sont voisines si et seulement s'il existe une relation de voisinage
entre un pixel de chaque cellule respective.
La surface de contact entre les cellulesσ etσ
0est alors notée σ∩σ
0. La longueur de
cette surface de contact, notée |σ∩σ
0|, peut se dénir comme suit :
|σ∩σ
0|= 1
2card {(i, j),(i
0, j
0)} tels que(i, j)∈σ,(i
0, j
0)∈σ
0et(i, j)∼(i
0, j
0),
où card(E) représente le cardinal de l'ensembleE. La longueur de la surface de contact
entre les cellules σ etσ
0correspond donc au nombre de relations de voisinage entreσ et
σ
0. Le facteur 1/2 traduit le fait que ∼est symétrique. Un exemple de calcul de surface
de contact est proposé à la gure 3.17.
Fig. 3.17: Exemple de calcul de la surface de contact entre deux cellules. La
celluleσ (en gris) et la cellule σ
0(en blanc) ont une surface de
contact de longueur |σ∩σ
0|= 10. Chaque trait noir représente
une relation de voisinage.
L'Hamiltonien du modèle de Potts étendu peut donc se réécrire de la façon suivante :
H
GG= X
σ∼σ0|σ∩σ
0|J τ(σ), τ(σ
0)
+λX
σ(a(σ)−A
τ(σ))
2Γ(A
τ(σ)).
Lorsque les surfaces de contact entre deux cellules contigües s'apparentent à des
droites (ce qui est biologiquement fondé), le terme |σ∩σ
0| est de l'ordre de grandeur
de h.d(A, B) où h est le pas de discrétisation, A et B sont les extrémités de la surface
de contact etd(., .) la distance euclidienne (voir gure 3.18). Ainsi d(A, B) représente la
longueur de la surface de contact entre les cellulesσ etσ
0dans le cas où cette surface est
modélisée par une droite.
La gure 3.18 montre deux exemples représentatifs pour lesquels la longueur de la
surface de contact est de l'ordre de grandeur deh×(le nombre de relations de voisinage).
Dans le cas d'une surface de contact horizontale entre σ et σ
0, |σ ∩σ
0| = 3/h−2, où
h est le pas de discrétisation. Dans le cas d'une surface de contact en diagonale entre
σ etσ
0, |σ∩σ
0|= 4/h−5, oùh est le pas de discrétisation. Ainsi, si nous considérons
que le potentiel d'interaction pour une relation de voisinage, noté J dans le modèle de
Potts étendu, est pondéré par le pas de discrétisation,|σ∩σ
0| est bien du même ordre
de grandeur quel
σ,σ0, oùl
σ,σ0représente la longueur de la surface de contact, modélisée
par une droite, entreσ etσ
0.
137 3.4. la classe CC
(a) (b)
Fig. 3.18: Exemple de modélisation de la distance entre le point A et le
point B par un voisinage latticiel. Dans les deux congurations
proposées, le tissu est composé de deux cellules, une grise et une
noire, et du milieu extracellulaire (en blanc). Nous nous
inté-ressons à la surface de contact entre la cellule grise et la cellule
noire. Pour un pas de discrétisation de h = 1/4, la distance
euclidienne entre A et B vaut d(A, B) = 1 dans le cas (a) et
d(A, B) =√2 dans le cas (b). Le nombre de relations de
voisi-nage, pour le modèle étendu vaut 10 dans le cas(a), et11 dans
le cas(b). Nous pouvons montrer facilement que pour un pas de
discrétisation de1/n, le nombre de relations de voisinage dans le
cas(a)vaut3n−2et dans le cas(b)vaut4n−5. La pondération
par le pas de discrétisation permet de conserver le même ordre
de grandeur pour le nombre de voisins et donc pour l'interaction
de paires.
Si nous supposons que la grille de discrétisation est inniment ne, nous avons donc :
H
GG≈ X
σ∼σ0l
σ,σ0J τ(σ), τ(σ
0)
+λX
σ(a(σ)−A
τ(σ))
2Γ(A
τ(σ)).
On retrouve donc ici, pour le premier terme de la somme (le potentiel de paires), une
expression analogue à la fonction Hamiltonienne formulée dans les modèles de Sulsky
(voir Equation 3.1) et de Graner et Sawada (voir Equation 3.2). Nous rappelons ici
que les auteurs de ces modèles proposent une résolution déterministe. Notre classe de
modèles, dénie par les Hamiltoniens formulés à l'équation 3.4, propose une résolution
non-déterministe du problème initié par Sulsky. Nous proposons également une
géné-ralisation de ce type de modèle en intégrant une contrainte de forme sur chacune des
cellules.
Dans la suite de ce chapitre, nous allons tout d'abord exhiber une classe de
pro-cessus ponctuels marqués de Gibbs associée à la classe de fonction Hamiltoniennes CC,
présentée dans cette section. Le cadre éprouvé des processus ponctuels de Gibbs nous
permettra de déterminer certaines conditions sur les fonctionsg,J eth de la classe CC,
garantissant l'existence de tels modèles. Les deux ingrédients principaux caractérisant
l'existence de tels modèles sont la stabilité locale de l'énergie et la quasilocalité. La
sta-bilité locale de l'énergie nous permet de faire exister le modèle dans tout borélien borné.
Cette propriété constitue également un argument fondamental pour l'étude
mathéma-tique d'un algorithme de simulation que nous proposerons par la suite. La quasilocalité
permet d'étendre l'existence de notre classe de processus àR
2en s'appuyant sur un
en-semble de spécications locales. La propriété de quasilocalité permet également l'étude
théorique d'estimateurs de pseudo-vraisemblance pour l'ensemble des paramètres du
mo-dèle. Bien que nous ne nous attacherons pas à étudier théoriquement ces propriétés, nous
proposerons des estimateurs de pseudo-vraisemblance pour les paramètres du modèle.
La dénition formelle de la classe de processus ponctuels de Gibbs associée à la classe
de fonction Hamiltoniennes CC nécessitent quelques rappels sur la théorie des processus
ponctuels.
Remarque : Pour notre modélisation nous avons choisi de tenir compte de l'inuence
des marques sur la disposition des points. Dans le modèle que nous allons proposer, nous
perturbons la mesure de Poisson d'un processus ponctuel marqué. Pour le processus ainsi
139 3.5. Les processus ponctuels
Dans le document
Modèles statistiques du développement de tumeurs cancéreuses
(Page 136-140)