3.9 Exemple d'un modèle de la classe CC
3.9.2 Exemples de simulations du modèle
Dans cette section, nous allons proposer trois types de simulations qui correspondent
à des situations biologiques précises : congurations en damier, en agrégats et
l'englou-tissement d'un tissu par un autre. Pour chacune de ces situations, les coecients de
contraintes de forme ont été choisis de la manière suivante :
A
τ1= 5.10
−2,
A
τ2= 5.10
−2,
A
τE= −1.
Ce choix de coecients de contrainte de forme nous permet d'évaluer le nombre de cellules
actives dans le cercle unité à environ 630cellules à l'équilibre.
Pour les trois situations, la conguration initiale est identique. Cette conguration
initiale a été obtenue en répartissant aléatoirement1000points dans le cercle unité. Pour
chacun des ces 1000 points, une marque choisie dans l'espace {τ
1, τ
2} est attachée, de
sorte que ces points modélisent des cellules actives. Ces1000 cellules sont entourées par
des cellules de typesτ
E, modélisant le milieu extracellulaire. La conguration initiale est
décrite dans la gure 3.20.
An de caractériser les trois types de congurations (Damier, Agrégats et
Engloutis-sement), nous allons introduire le coecient de tension de surface,γ
12entre les types de
cellules actives, donné par [Glazier et Graner, 1993] :
γ
12=J(τ
1, τ
2)−J(τ
1, τ
1) +J(τ
2, τ
2)
2 .
Une conguration en damier est caractérisée par un coecient de tension de surface
négatif, tandis qu'une conguration en agrégats est caractérisée par un coecient de
Fig. 3.20: Conguration initiale.
tension de surface positif.
Nous allons à présent présenter des exemples de simulation obtenus pour chacune des
trois congurations caractéristiques.
Conguration en Damier
Les congurations de cellules biologiques en damier ont été particulièrement étudiées
dans des travaux portant sur la transformation de l'épithélium au cours de la maturation
sexuelle [Honda et al., 1986].
Pour une conguration en damier, nous choisissons comme jeu de paramètres
d'in-teraction le jeu suivant :
J(τ
1, τ
1) = 1,
J(τ
2, τ
2) = 1,
J(τ
1, τ
2) = J(τ
2, τ
1) = 0,
J(τ
1, τ
E) = J(τ
E, τ
1) = 0,
J(τ
2, τ
E) = J(τ
E, τ
2) = 0,
J(τ
E, τ
E) = 0.
175 3.9. Exemple d'un modèle de la classe CC
Ce jeu de paramètres conduit à un coecient de tension de surface γ
12= −1,
ca-ractéristique des congurations en damier. De plus, ces paramètres peuvent s'interpréter
énergétiquement. Les valeurs J(τ
1, τ
1) = 1etJ(τ
2, τ
2) = 1 signient que si deux cellules
actives de même type sont voisines, le coup énergétique est de1, pondéré par la longueur
de l'arête commune aux cellules. Les autres valeurs, égales à zéro, nous indiquent que le
coup énergétique pour ce type de voisinage est nul. Ainsi, étant donné que la densité de
notre processus est inversement proportionnelle à l'energie, le processus va donc favoriser
des congurations ayant des cellules voisines de types actifs diérents. Les congurations
à forte densité ressembleront donc à des damiers. Un exemple de données simulées est
décrit dans la gure 3.21.
Conguration en Agrégats
Les congurations en agrégats ont été observées expérimentalement dans de
nom-breuses situations. Un des exemples les plus célèbres est l'arrangement spontané en
agré-gat de cellules homotypiques chez l'organisme vivant appelé Hydra [Gierer et al., 1972].
D'autres observations expérimentales peuvent être trouvées dans les deux articles
sui-vants [Armstrong, 1989] et [Takeuchi et al., 1988].
Pour une conguration en damier, nous choisissons comme jeu de paramètres
d'in-teraction le jeu suivant :
J(τ
1, τ
1) = 0,
J(τ
2, τ
2) = 0,
J(τ
1, τ
2) = J(τ
2, τ
1) = 1,
J(τ
1, τ
E) = J(τ
E, τ
1) = 0,
J(τ
2, τ
E) = J(τ
E, τ
2) = 0,
J(τ
E, τ
E) = 0.
Ce jeu de paramètres conduit à un coecient de tension de surfaceγ
12= 1. Ce
coe-cient positif est caractéristique des congurations en agrégats. De manière analogue aux
congurations en damier, les paramètresJ(τ, τ
0) peuvent s'interpréter énergétiquement.
En eet ce jeu de paramètres défavorise des congurations ayant des cellules voisines de
100 itérations 300 itérations 1000 itérations
2000 itérations 5000 itérations 10000 itérations
20000 itérations 50000 itérations
177 3.9. Exemple d'un modèle de la classe CC
types actifs diérents pour favoriser des cellules voisines de même type. Ainsi, les
con-gurations à forte densité feront apparaître des agrégats (ou clusters) de cellules de même
type. Un résultat de simulation est proposé dans la gure 3.22.
Engloutissement d'un tissu par un autre
L'engloutissement d'un tissu par un autre tissu est un phénomère biologique
lar-gement étudié dans les deux articles suivants [Armstrong, 1989] et [Foty et al., 1996].
Lorsque deux tissus sont en congurations d'agrégats, et que l'un des deux tissus
pos-sède une anité plus forte avec le milieu extracellulaire que l'autre tissu. Le premier tissu
a tendance à entourer le second.
Ce phénomène peut être obtenu à l'aide du jeu de paramètres d'interaction suivant :
J(τ
1, τ
1) = 0,
J(τ
2, τ
2) = 0,
J(τ
1, τ
2) = J(τ
2, τ
1) = 1,
J(τ
1, τ
E) = J(τ
E, τ
1) = 0,
J(τ
2, τ
E) = J(τ
E, τ
2) = 1,
J(τ
E, τ
E) = 0.
L'interprétation énergétique de ces paramètres est la même que pour les congurations
en agrégats. Les paramètres J(τ
1, τ
E) = 0 et J(τ
2, τ
E) = 1, modélisent le fait que les
cellules de type τ
1ont une anité plus forte avec le milieu extracellulaire par rapport
aux cellules de type τ
2. Ainsi, pour ce jeu de paramètres, les congurations de forte
densité vont avoir tendance minimiser les contacts entre les cellules de type τ
2et le
milieu extracellulaire. Ainsi, les cellules de typeτ
1vont entourer les cellules de type
τ
2an de minimiser ces contacts et donc matérialiser un engloutissement. La gure 3.23
représente une simulation du phénomène d'engloutissement à l'aide du jeu de paramètres
décrit ci-dessus.
L'ensemble des résultats présentés ci-dessus (damier, agrégats et engloutissement) ont
été obtenus à θxé : θ= 10. Cependant, ce paramètre, inversement proportionnel dans
100 itérations 300 itérations 1000 itérations
2000 itérations 5000 itérations 10000 itérations
20000 itérations 50000 itérations
179 3.9. Exemple d'un modèle de la classe CC
le modèle d'Ising et le modèle de Potts, joue un rôle fondamental dans la modélisation.
La section suivante nous montre, sur des simulations, l'inuence de ce paramètre pour
l'allure des congurations obtenues. Cette étude par simulation a été menée sur des
modèles de type damier et agrégats uniquement.
Dans le document
Modèles statistiques du développement de tumeurs cancéreuses
(Page 174-180)