Modèles analytiques

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6.1.2 Modèles analytiques

6.1.2.1 Le modèle de Ying-Yu et Qui-Dong

[YING-YU et QUI-DONG, 1987] ont réalisé des travaux sur la carbonatation naturelle et accélérée d’éprouvettes de mortier et de béton dont les mécanismes réactionnels mis en jeu sont analogues.

Les auteurs considèrent que le matériau peut être schématisé en trois zones distinctes (Figure 6 - 1) et que la progression du front de carbonatation s’effectue de manière homogène.

Figure 6 - 1 : Représentation des 3 zones considérées dans le modèle de [YING-YU et QUI-DONG, 1987]

Il est alors possible de calculer la profondeur de carbonatation en fonction des conditions initiales et des conditions extérieures par la formule :

𝑋_W = 𝑥₄+ ²^{2. 𝑎}_𝑄 ^{G. 𝐶G}

W_T. 𝜌 √𝑡 6 - 3

Avec :

• 𝑥₄ un paramètre empirique de calage,

• 𝑄_{W_T} la quantité de CO2 adsorbée obtenue expérimentalement, • 𝜌 la masse volumique du matériau,

• 𝐶_G la pression partielle de CO2 dans la phase gazeuse au contact,

• 𝑎_G le coefficient de diffusion du CO2 dans le matériau calé avec une formule empirique. Les auteurs valident ce modèle à partir d’essais en carbonatation accélérés mais considèrent qu’il peut s’appliquer aussi pour de la carbonatation naturelle.

Cependant, ce modèle se limite à la seule pénétration du dioxyde de carbone sans tenir compte de la complexité des réactions chimiques entre les hydrates et la phase aqueuse ni de l’évolution de la microstructure du matériau au cours de la carbonatation. De plus, le coefficient de diffusion du CO2 est calé empiriquement sur des matériaux sains et secs.

6.1.2.2 Le modèle de Papadakis, Vayenas et Fardis

[PAPADAKIS et al., 1991] proposent une modélisation en prenant en compte la phase aqueuse pénétrant dans les pores et les réactions chimiques avec les hydrates de la matrice cimentaires qui en résultent. Ce modèle suppose que les réactions de carbonatation sont infiniment plus rapides que la diffusion de CO2 et que la quantité de CO2 dissout dans la solution interne de la matrice cimentaire est très inférieure à la quantité de matière carbonatable (CH, CSH, C2S et C3S).

A partir de l'ensemble des processus élémentaires, Papadakis et al. obtiennent une modélisation de la profondeur de carbonatation 𝑋_W (mm) en fonction du temps (s) :

𝑋_W = ² ^{2. 𝐷:.W̅}

> . [𝐶̅]4

[𝐶𝐻]4+ 3. [𝐶𝑆𝐻]4+ 3. [𝐶_s𝑆]4+ 2. [𝐶_H𝑆]4√𝑡 6 - 4

Zone non carbonatée

Zone en cours de carbonatation Zone carbonatée

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Avec :

• [𝐶̅]4 la concentration en CO2 dans la phase gazeuse en contact du béton, • 𝐷_:.W̅> le coefficient de diffusion effectif du CO2 dans le béton carbonaté, • [𝑖]4 la concentration initiale des hydrates et des anhydres 𝑖 dans le béton.

De même que le modèle précédent, le modèle de Papadakis et al. a été comparé et validé avec des résultats d'essais de carbonatation accélérée sur différentes formulations de béton. Ce modèle est simple d'emploi mais certains facteurs n’ont pas été pris en compte tels que l'évolution de la microstructure pendant la carbonatation.

Enfin, Papadakis et al. déterminent le coefficient de diffusion effectif du CO2 de façon empirique en fonction de la porosité du matériau et de son humidité relative (nous détaillerons cela au chapitre 7) et ce coefficient reste constant au cours du temps.

6.1.2.3 Le modèle de Bakker

L’originalité du modèle de Bakker [BAKKER, 1993] est de prendre en compte la variabilité des conditions climatiques dans le temps. Ce modèle prend en compte les cycles de mouillage et de séchage de bétons exposés en milieu naturel. Bakker propose pour cela de combiner les deux relations suivantes. La première décrit l'évolution de la profondeur de carbonatation A (m) et la seconde, celle atteinte par le front de séchage B (m) :

𝐴 = ²^{2. 𝐷W. (𝐶G− 𝐶H)}

𝑎 ^{𝐵 = ²}

2. 𝐷_e. (𝐶_s− 𝐶_•)

𝑏 ^{6 - 5}

L’avancée du front de carbonatation 𝑋_W (m) est calculée en combinant les deux équations précédentes : 𝑋_W = 𝐴. C ²𝑡_j-− x^𝑥>-rG 𝐵 ^y H E -hG 6 - 6 Avec :

• 𝐷_W le coefficient de diffusion effectif du CO2 dans le béton carbonaté mesuré expérimentalement,

• 𝐶_G− 𝐶_H la différence de concentration en CO2 entre le milieu extérieur et le béton,

• 𝑎 la quantité de matière carbonatable,

• 𝐷_e le coefficient de diffusion de la vapeur d’eau dans un béton calculé à partir de la porosité,

• 𝐶_s− 𝐶_• la différence de concentration entre la vapeur d’eau à l’extérieur et le front d’évaporation du béton,

• 𝑏 la quantité d’eau évaporable dans un béton,

• 𝑡_j- la durée de la ième période de séchage,

• 𝑥_>-rG la profondeur de carbonatation après la (i-1)ème période d’humidification. Dans ce modèle, le calcul de la profondeur de carbonatation ne s'effectue pas avec l'âge réel du matériau mais avec le temps "efficace" qui correspond à la durée pendant laquelle la carbonatation du béton peut avoir lieu. La profondeur de carbonatation peut donc être calculée après n cycles d'humidification/séchage.

Carbonatation des matériaux cimentaires : Étude de la diffusion du CO2 6 – Conception d’un modèle de carbonatation

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Figure 6 - 2 : Influence des cycles d’humidification/séchage sur l’évolution de la profondeur de carbonatation

Cette approche prédictive présente l'intérêt de prendre en compte l'influence des cycles d'humidification/séchage qui entraînent des fluctuations de la teneur en eau du béton d'enrobage.

6.1.2.4 Le modèle de Miragliotta

L’originalité du modèle de [MIRAGLIOTTA, 2000] est de coupler le phénomène de carbonatation aux processus d'hydratation des principaux composés du ciment.

Ce modèle validé à partir d’essais de carbonatation accélérée et d’essais en carbonatation naturelle (sur des bétons anciens carbonatés pendant 6 ans), va permettre de déterminer l’avancée du front de carbonatation en prenant en compte à la fois les cinétiques des réactions de carbonatation et les cinétiques d’hydratation du ciment.

Miragliotta propose de calculer la profondeur de carbonatation X_t après un temps de cure donné selon une expression proche du modèle de Papadakis. De plus, le temps de carbonatation 𝑡’ va être fonction de la porosité et de l’état d’hydratation du matériau.

X_t= ² ^{2∅(1 − 𝑆). 𝐷W_}T. [𝐶𝑂_H]_:z@

([𝐶𝐻] + 3. [𝐶𝑆𝐻] + 3. [𝐶_s𝑆] + 2. [𝐶_H𝑆] + 4. [𝐶_•𝐴𝐹] + [𝐶_s𝐴])s𝑡’ 6 - 7

Avec :

• ∅ et 𝑆 respectivement la porosité du matériau et le degré de saturation, • [𝐶𝑂_H]_:z@ la concentration atmosphérique de CO2,

• 𝐷_{W_T} le coefficient de diffusion effectif du CO2 déterminé par un modèle de cinétique des gaz et fixe,

• [𝑖] la concentration des anhydres et des hydrates par volume de matériau.

En plus de la profondeur de carbonatation, le modèle permet aussi de quantifier analytiquement l’évolution des concentrations des hydrates et de la porosité. L’auteur étend son modèle aux bétons fabriqués avec des ciments composés de type CEM V, c'est-à-dire contenant des laitiers et des cendres volantes pourvues d'une activité pouzzolanique.

6.1.2.5 Le modèle de Hyvert

Le modèle de Hyvert [HYVERT, 2009] est un modèle analytique dont l’originalité est de faire dépendre la cinétique de carbonatation de la pression partielle de CO2. L’auteur modélise le fait que la quantité de produits carbonatables dépend de cette dernière.

L’auteur propose la relation suivante pour l’obtention de la profondeur de carbonatation :

du mat´eriau mais avec le temps ”efficace” qui correspond `a la dur´ee pendant laquelle la carbo-natation du b´eton peut avoir lieu (cf. figure 3.7). L’ˆage du b´eton pris en compte dans les calculs est donc le temps d’exposition du mat´eriau auquel on soustrait la somme des p´eriodes d’humifi-cation s´echage (annexe 2). La profondeur de carbonatation peut donc ˆetre calcul´ee apr`es n cycles d’humidification/s´echage.

Figure 3.7 – Influence des cycles d’humidification/s´echage sur l’´evolution de la profondeur de carbonatation (10).

Cette approche pr´edictive pr´esente l’int´erˆet de prendre en compte l’influence des cycles d’humi-dification/s´echage qui entraˆınent des fluctuations de la teneur en eau du b´eton d’enrobage.

3.6 Le mod`ele de Saetta, Schrefler et Vitaliani

Le mod`ele num´erique d´evelopp´e par Saetta et al. (65) simule l’´evolution des profondeurs de carbonatation atteintes dans des b´etons expos´es en milieu naturel ou dans des conditions exp´erimentales favorisant la carbonatation acc´el´er´ee. Ces auteurs consid`erent que la vitesse de for-mation du carbonate de calcium au cours de la d´egradation de la portlandite peut s’´ecrire comme combinaison de plusieurs fonctions fi:

V = ↵1f1(HR)f2( ¯C)f3(CH)f4(T ) (3.9)

Ces param`etres sont pr´esent´es dans le tableau 3.2.

163 / 210 𝑋_> = ⎷ ⃓ ⃓ ⃓ ⃓ ⃓ ⃓ ⃓ ⃓ ⃓ } 2 𝑒𝑟𝑟_GØ^𝐷W_T 4 𝑄_G ^Ù d:â 𝑡 ∙ 𝑃₄∙ 𝑘_ÂÂ∙ 𝑘_>∙ 𝑘_: 𝑅𝑇 Ø1 + 𝜉 𝐶_H¹^𝑃W_T 𝑃_?@A^º 4, c Ù Ø^𝜙_{1,67 ¹}^{l 𝐶H 𝑃W_}T 𝑃_?@A^º 4, c + 𝑄_GÙ 6 - 8

Ce modèle prend en compte plusieurs types de paramètres : • 
Paramètres en relation avec les caractéristiques du béton :

o 𝐷W_4 T le coefficient de diffusion du CO2 à 20°C obtenu à l’aide d’une relation empirique,

o 𝐶H et 𝑄_G respectivement la quantité de CSH (mole de calcium par unité de volume de la pâte cimentaire) et la quantité des autres hydrates (mole de calcium par unité de volume de béton),

o 𝜙l la fraction de pâte dans le béton,

o ξ le coefficient de calage lié à la carbonatation des CSH. • Paramètres en relation avec les process de fabrication :

o 𝑘ÂÂ un paramètre prenant en compte le traitement thermique éventuellement appliqué,

o 𝑘> un paramètre prenant en compte les conditions de cure. • Paramètres en relation avec les conditions environnementales :

o 𝑘: un paramètre prenant en compte l’humidité relative, o 𝑃W__T la pression partielle de CO2 à la surface du béton.

La détermination du coefficient de diffusion 𝐷_{W_}⁴ _T dans le modèle est faite par les auteurs à partir de la résistance à la compression à 28 jours.