Génération des réseaux de pores

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5.4 Comparaison avec un modèle de réseaux de

pores

5.4.1 Démarche

Les modèles de réseaux de pores (notés PNM pour Pore Network Models) ont été largement utilisés pour simuler divers processus physiques et chimiques. Le réalisme de cette modélisation, c’est-à-dire la précision de leurs prévisions, dépend dans une large mesure de la qualité de la correspondance entre l’espace des pores d’un milieu donné et le réseau de pores construit pour en être la représentation [XIONG et al., 2016]. Il existe différentes techniques expérimentales pour caractériser l'espace des pores comme l'imagerie directe, la porosimétrie à intrusion de mercure et l'adsorption de gaz…

La porosimétrie au mercure est de loin la méthode la plus répandue pour caractériser les matériaux poreux dont les pores vont de 500 µm à 3 nm mais elle présente quelques limites car elle repose sur l'hypothèse que la matrice poreuse peut être représentée par un faisceau de pores cylindriques. En réalité, de nombreux pores ne sont accessibles que via des pores de plus petite taille et la pression nécessaire pour les envahir est plus importante et correspond à un rayon plus petit que celui du pore. Cet effet « bouteille d’encre » a pour conséquence de surestimer la proportion de pores de petite taille au détriment de l’estimation de pores plus gros.

Nous considérons donc la porosité ouverte obtenue par porosimétrie à l’eau et des distributions de tailles de pores obtenues par porosimétrie au mercure pour modéliser quatre types de structures porales (OPC5 et BFS5 carbonatés et non carbonatés).

Le choix de la porosité à l’eau est assumé bien que discutable car nous aurions pu prendre la porosité obtenue au mercure. Cependant même si les porosités à l’eau sont supérieures à celles au mercure, nous obtenons les mêmes tendances concernant les rapports E/L et la nature du liant.

Les distributions porales de ces matériaux sont données à la Figure 5 - 31 et nous émettons l’hypothèse que les modifications des pics ne sont pas dues à de la fissuration mais uniquement à la carbonatation.

Le modèle de réseau de pore permet à partir de ces données et de ces hypothèses d’en déduire le coefficient de diffusion effectif.

5.4.2 Génération des réseaux de pores

Les réseaux de pores sont une représentation géométrique simplifiée de la structure porale réelle. Un réseau consiste en un assemblage de pores (ici des sphères) reliés entre eux par des capillaires qui représentent les étranglements entre deux pores adjacents. Les pores et les capillaires sont représentés par des formes géométriques simples (typiquement des sphères, des tubes cylindriques...), ce qui permet de résoudre les équations de transfert au sein de ces éléments. Le réseau utilisé ici est de type « balls and sticks » [LUX et ANGUY, 2012] où les pores sont représentés par des sphères et les étranglements par des tubes cylindriques (que l’on appellera capillaires par la suite).

L’objectif est ici de générer un réseau de pores aléatoire dont la distribution de capillaires se rapproche le plus possible de la distribution de taille de pores obtenue par porosimétrie au mercure ([GENDRON et al., 2009], [HAMAMI, 2009]). Une première particularité de cette distribution est qu’elle couvre une très large gamme de tailles de pores, ce qui rend l’utilisation de réseaux réguliers très peu adaptés. Nous utiliserons donc une méthode de génération développée au LaSIE [LUX et ANGUY, 2012], afin de générer des réseaux où les pores sont disposés de manière complétement aléatoire spatialement.

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La distribution obtenue par porosimétrie au mercure, notée 𝑃We donne la fraction volumique occupée par les capillaires pour chaque classe de diamètre. La première étape est de déterminer une distribution en nombre d’éléments, que l’on note 𝑃W=, à partir de cette distribution en volume. On note 𝑃_-W= la probabilité qu’un capillaire possède un diamètre compris entre 𝐷_-− ∆𝐷_- et 𝐷_-+ ∆𝐷_-, avec 2∆𝐷_- la plage de rayon correspondant au saut de pression entre deux paliers successifs. Si on suppose que les capillaires sont cylindriques, la distribution en nombre d’éléments s’écrit en divisant la distribution en volume par le volume moyen d’un élément :

𝑃_-W= = 𝑓 ú₁^𝑃We

4 𝜋𝐷-^H𝐿^~_¨^{û 5 - 3}

Où 𝐿~ est la longueur moyenne des capillaires de diamètre moyens 𝐷_{¨ -}. Ici on pourra supposer que cette longueur est indépendante du diamètre. On a donc 𝐿•••••••••••• quelle que soit la classe _¨= 𝑐𝑠𝑡𝑒 de diamètre. On peut donc écrire :

𝑃_-W== 𝑓 Ø^𝑃We

𝐷_-H Ù 5 - 4

La distribution de capillaires n’est malheureusement pas utilisable directement ; il est en effet très délicat de générer d’abord les capillaires et ensuite les pores, surtout dans le cas d’un réseau irrégulier comme celui que nous souhaitons utiliser. Il est donc nécessaire de déterminer la distribution de taille de pores, notée ici 𝑃F= à partir de la distribution de diamètre de capillaire 𝑃W=. Pour ce faire, on suppose tout d’abord que deux pores connectés sont reliés par un capillaire de rayon égal au plus petit des deux pores. Sans entrer dans les détails techniques, on peut exprimer la probabilité d’avoir un capillaire de diamètre 𝐷_- comme le produit entre la probabilité d’avoir un pore de diamètre 𝐷_- et celle d’avoir un pore de diamètre 𝐷_o ≥ 𝐷_-. En développant, on obtient un système d’équations non-linéaires soumises à la contrainte de normalisation ∑^E_-hG𝑃_-^F= = 1. On peut par ailleurs trouver assez facilement les expressions de 𝑃W= pour la classe du plus petit diamètre 𝐷₄ et du plus grand diamètre 𝐷_E :

𝑃₄F= = 𝑓 Ø^𝑃We

𝐷₄H Ù 5 - 5

𝑃_EF== 𝑓 Ø^√𝑃We

𝐷_E ^{Ù 5 - 6}

La distribution de la taille des pores peut donc s’exprimer comme une fonction de distribution obtenue par porosimétrie au mercure de la forme 𝑃_-F== 𝑓 ¹S^F_E^ij

F^TT^kº où 𝛼 est compris entre 0,5 et 1. Empiriquement, les meilleurs calages sont obtenus pour une valeur de 𝛼 autour de 0,75. Les pores sont ensuite placés aléatoirement et sans recouvrement dans un volume calculé en fonction d’un objectif de porosité lié aux pores (∅F) que l’on fixe inférieur à la porosité totale (∅). Cette étape s’apparente à un processus de « sphere packing ».

Il reste enfin à générer les capillaires qui permettront de relier les pores entre eux. Cette étape est particulièrement importante puisque la connectivité joue un rôle fondamental sur les phénomènes de transfert dans les milieux poreux en général. La connectivité est définie, dans ce modèle, comme le nombre de capillaires partant d’un pore. Dans la plupart des modèles de génération de réseaux de pores, la connectivité est fixée a priori, soit arbitrairement, soit à partir de données extraites d’imagerie 3D par exemple. Nous proposons ici une approche originale qui permet de s’affranchir d’un choix de connectivité a priori. Comme nous le verrons par la suite, les connectivités moyennes obtenues par cette méthode sont proches de 6.

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L’algorithme de génération des capillaires fonctionne comme suit :

• pour chaque pore, on parcourt les voisins par ordre de distance (du plus proche au plus éloigné)

• un capillaire est généré pour chaque voisin tant que la somme des surfaces des bases des capillaires reste inférieure à la surface du pore sphérique.

A partir de cette génération de capillaire nous pouvons alors calculer une porosité des capillaires ∅W et en déduire une porosité totale que nous comparons à la porosité à l’eau. Par itération successive, en ajustant la porosité due aux pores, nous allons obtenir un réseau de pores représentatif.

Nous résumons l’ensemble de la méthode dans l’algorithme de la Figure 5 - 34.

Figure 5 - 34 : Algorithme de génération d’un réseau de pore (PNM) Données d’entrée :

Porosité à l’eau ∅

Distribution des capillaires en fraction volumique obtenue par intrusion de Mercure 𝑃We en fonction du diamètre des capillaires 𝐷 -Détermination de la distribution porale en nombre de capillaires 𝑃W=

𝑃_-^W= = 𝑓 Ø^𝑃We 𝐷_-H Ù

Détermination de la distribution porale en nombre de pores 𝑃F= 𝑃_-F= = 𝑓 Úl^𝑃We

𝐷_-H m 4,c£

Û

Sphere Packing

Répartition aléatoire des pores selon la distribution 𝑃F= dans un volume calculé en fonction ∅_-^F

Choix d’une porosité due aux pores ∅_-F < ∅

Génération de capillaires un capillaire pour chaque voisin Calcul de la porosité due aux capillaires ∅_-W

Calcul de l’écart entre porosité générée et porosité totale Áª∅_-^F+ ∅_-^W« − ∅Á = ∆

-Obtention d’un réseau de pore représentatif OUI NON Vérification ∆_- ≤ 0,01 ∅^-’ G F = ∅ -F ±^∆

-

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La Figure 5 - 35 propose un exemple de calage de la distribution des capillaires, les courbes « EXP » représentent la distribution de tailles des pores obtenue par porosimétrie mercure (en rouge) et la distribution cumulée en volume (en vert). Les courbes PN (Pore Network) représentent les distributions reconstruites par le réseau de pores.

Figure 5 - 35 : Reconstruction de la distribution des capillaires à partir de la PIM pour une pâte OPC5 non carbonatée

La Figure 5 - 36 présente deux exemples de réalisation des structures porales pour une pâte OPC5 (à gauche) et une pâte BFS5 (à droite). La pâte BFS a une porosité plus importante mais une proportion plus importante de pores de petite taille.

Figure 5 - 36 : Exemples de génération de capillaires et de pores à partir des données expérimentales (génération avec 2 échelles différentes)