Modèle physique des dispositifs SAW : propagation des ondes en surface

La détermination de la coupe cristalline (selon la dénition donnée dans l'annexe A) dé- pend du substrat considéré et des propriétés recherchées. Par conséquent la propagation des

ondes est analysée dans toutes les directions possibles puis l'orientation cristalline la plus fa- vorable est sélectionnée. Des méthodes numériques sont mises en ÷uvre pour déterminer les caractéristiques théoriques des ondes qui se propagent dans un matériau massif ou dans un empilement de couches, tel que déni gure 2.15. L'utilisation de la permittivité eective de surface, détaillée dans les pages suivantes, permet en particulier de spécier la nature de l'onde (onde de surface ou pseudo-onde de surface, onde de cisaillement, onde de volume) de même que son couplage électromécanique ou sa vitesse de propagation [71].

Figure 2.15  Représentation d'un guide d'ondes stratié

2.3.1.1 Étude de la propagation des ondes dans un empilement multicouches pour une direction de propagation donnée

La modélisation de la propagation des ondes dans un matériau homogène repose sur la théorie de l'élasticité linéaire étendue au cas de matériaux anisotropes et piézoélectriques. Les équations de la piézoélectricité, développées au début de ce chapitre (équations (2.3), section 2.1.2) sont à la base des développements qui suivent. L'utilisation des constantes cE _(constantes élastiques à champ électrique constant), e (constante piézoélectrique), et εs (constantes diélec-

triques à déformation constante) plutôt que les constantes sE _{(module de exibilité à champ}

électrique constant), d et εT _{(permittivité à contraintes constantes) permet d'accéder direc-}

tement aux déplacements ui et au potentiel électrique φ. Les équations de la piézoélectricité

peuvent alors se mettre sous la forme :    Tij = cEijkl ∂uk ∂xl + ekij ∂φ ∂xk Di = eijk∂u_∂xk_l + εsik ∂φ ∂xk (2.6) Ces équations sont écrites dans le cadre d'une approximation électromagnétique quasi-

statique. Le rapport de l'ordre de 105 _{entre les vitesses de propagation des ondes élastiques}

de dénir le comportement des ondes dans le matériau piézoélectrique. Il s'agit de l'expression du champ électrique (2.7) (dans le cadre de l'approximation quasi-statique), de l'équation de propagation des ondes (2.8) qui traduit l'équilibre dynamique entre énergie cinétique et énergie potentielle (équation de Newton) et de l'équation de Poisson (2.9) :

Ei = ∂φ ∂xi (2.7) ρ∂ 2_u i ∂t2 = ∂Tij ∂xj (2.8) ∂Di ∂xi = 0 (2.9)

Plutôt que de résoudre ce problème par la méthode dite de Christoel développée dans [10], les équations ci-dessus sont reformulées comme un véritable problème aux valeurs propres. Cette approche, proposée par Fahmy et Adler est décrite dans [72]. L'expression de ce problème aux valeurs propres permet d'exprimer :

 la matrice de Fahmy, construite à partir des vecteurs propres du système ;  la matrice diagonale des valeurs propres ;

 le vecteur des amplitudes des modes partiels, qui constituent les inconnues du problème. Le système n'est cependant pas résolu au delà de la détermination des valeurs propres et des vecteurs propres mais la connaissance des modes et des propriétés de l'onde (par exemple, pour une onde de Rayleigh) permet d'établir l'équation de propagation de l'onde via l'utilisation de la fonction de Green du substrat [71]. La fonction de Green traduit la réponse impulsionnelle en déplacements et potentiel à une sollicitation en contraintes et charge électrique.

Le travail reporté dans la thèse [73] décrit une méthode de calcul stable de la fonction de Green pour une conguration de substrat stratié plan quelconque [32, 13].

Finalement, dans le processus de conception des dispositifs SAW, le coecient G44 de la

matrice [G] (la fonction de Green) est particulièrement intéressant puisqu'il permet d'évaluer la permittivité eective de surface de la manière suivante :

ˇ εef f(|k|) = ∆ ˇD2 |k|φ = 1 |k| ˇG44 (2.10)

Le signeˇtraduit la représentation dans l'espace des nombres d'ondes des grandeurs εef f,

∆D2, φ et G44. ∆D2 est la densité surfacique de charges électriques.

La permittivité eective de surface a pour intérêt de permettre de visualiser l'existence des modes couplés par eet piézoélectrique et de les caractériser :

 un zéro de εef f correspond à des charges uniformément nulles sur toute l'interface ; c'est- à-dire, à une condition de circuit ouvert. On associe généralement la lenteur dite libre s0 à ce point ;

 un pôle de permittivité (zéro du dénominateur) correspond quant-à lui à un potentiel nul sur l'ensemble de l'interface. Autrement dit, cette condition équivaut à une condition de court-circuit à l'interface. On en déduit alors la lenteur dite métallisée sm.

La connaissance de s0 et sm permet également de déduire le couplage électromécanique k2 de

l'onde analysée par la formule :

k2 = s 2 m− s20 s2 m (2.11) Par ailleurs, la nature du pôle renseigne également sur le type d'onde rencontrée :

 si la permittivité eective de surface est purement réelle, alors l'onde est parfaitement guidée par la surface et ne rayonne pas dans le substrat. Il s'agit donc d'un mode de surface ;

 en revanche, si εef f est complexe, alors une partie de l'énergie de l'onde est rayonnée

dans le volume du matériau. Nous avons alors aaire à une pseudo-onde de surface. D'autres types d'ondes peuvent également être caractérisés au travers de la permittivité eective. C'est le cas notamment des ondes de cisaillement, des ondes rayonnées pas la surface, des pseudo-ondes de surface etc. La gure 2.16 représente la permittivité eective de surface du

niobate de lithium en coupe (YXl)128o_{. On y voit un premier mode se propageant en surface}

métallisée à la vitesse de 3872 m/s sans pertes. Il s'agit d'un vrai mode de surface (pôle de la

partie réelle de εef f et partie imaginaire nulle). Puis, dès 4030 m/s les ondes sont rayonnées

de la surface vers le volume. La partie réelle n'est plus nulle mais elle reste très petite devant la valeur du pôle. Sa dynamique est donc négligeable.

-30000 -20000 -10000 0 10000 20000 3800 4000 4200 4400 4600 4800 5000 R e( εeff ) ( n F/ m ) vitesse (m/s) -5 -4 -3 -2 -1 0 1 Im (εeff ) ( n F/ m ) SAW (Rayleigh) BAW (rayonnement dans le volume)

Figure 2.16  Permittivité eective de surface du niobate de lithium en coupe (YXl)128o

Etant donné qu'il s'applique à toute structure multicouche, ce procédé permet de fait de déterminer le comportement d'une onde se propageant en surfaces libre ou métallisée et d'orienter ainsi le choix du concepteur sur le matériau.

2.3.1.2 Analyse des paramètres de propagation de l'onde en fonction de l'angle de coupe

L'analyse de la propagation des ondes sur un substrat multicouche suivant une direction prédénie permet notamment d'extraire la vitesse de phase v et le couplage électromécanique k2

s de l'onde de surface. Un traitement similaire permet de déterminer ces deux grandeurs pour

diérentes coupes cristallines du matériau et permettre de ce fait le choix d'une direction de propagation adéquate.

Pour ce faire, le calcul de v et k2 est tout simplement conduit pour chaque angle de coupe

souhaité, en tenant compte des symétries du matériau. Il en ressort des courbes similaires aux gures 2.17a et 2.17b, tracées pour le niobate de lithium.

Dans les cas du niobate de lithium cité en exemple, il en ressort que la coupe (YXl)128◦ permet d'obtenir une vitesse et un coecient de couplage électromécanique maximaux, ce qui favorise la réalisation de ltres aux hautes fréquences. En revanche, pour mettre en ÷uvre des

résonateurs, il faut privilégier l'onde de Rayleigh sur la coupe (YX)2 _{qui ore un couplage}

minimum (moins de 0.25 %).

L'édition de ces courbes est donc fondamentale pour déterminer le matériau et l'orientation cristalline les plus adaptés à l'application visée.

(a) (b)

Figure 2.17  Évolution des paramètres de propagation d'une onde de Rayleigh en surface du niobate de lithium pour diérentes directions de propagation, (a) vitesse de propagation, (b) coecient de couplage