Modèle géométrique des dispositifs SAW

Jusqu'à présent, l'analyse des ondes de surface n'a été abordée que dans le cadre d'une propagation en surface homogène. Toutefois, comme expliqué brièvement au paragraphe 2.1.3, l'excitation et la détection des SAW est rendue possible par le dépôt de peignes interdigités sur un substrat piézoélectrique. Ces électrodes constituent alors une condition aux limites hé- térogène. Par conséquent, il est nécessaire de tenir compte de leurs caractéristiques mécanique et électrique an de déterminer convenablement leur eet sur la propagation et le guidage des ondes.

Une méthode élégante et ecace pour calculer la propagation des ondes sous un réseau périodique a été mise au point grâce aux travaux de Ventura [74, 75]. Elle fait appel d'une part au concept d'admittance harmonique et d'autre part à la fonction de Green de surface pour remonter aux caractéristiques des ondes (vitesse de phase, réexion, directivité, couplage électromécanique etc.). Elle s'appuie sur une méthode dite du moment recourant aux techniques de projection orthogonale.

Cette approche s'appuie sur le modèle géométrique de la gure 2.18 : un réseau inniment périodique suivant la direction −→x2 est utilisé. La périodicité (mécanique) du réseau est notée p. La largeur des électrodes est repérée par a et l'épaisseur du dépôt métallique h. La longueur des électrodes dans la direction −→x3 est réputée innie dans la direction transverse (hypothèse des déformations planes). Par ailleurs, le substrat étant considéré semi-inni suivant −→x2, le problème peut être traité comme un problème à deux dimensions (−→x1, −→x2).

2. Cette orientation cristalline est toutefois peu exploitable à cause de la prédominance du mode de cisaille- ment

− →_x 2 − → x1 − → x3. p a h e−2jπ(n−1)γ e−2jπnγ e−2jπ(n+1)γ

Figure 2.18  Géométrie du modèle utilisé pour le calcul de l'admittance harmonique et son excitation harmonique

La périodicité du milieu de propagation réduit la complexité de la structure en permettant de ne considérer qu'une seule cellule et en appliquant le théorème de Floquet [76] aux ondes qui se propagent dans un tel système. Le problème est alors décomposé en une somme de problèmes plus simples ne faisant intervenir qu'une seule période du réseau. Ainsi, en admettant une excitation harmonique de type :

φn= φ0e−2jπnγ (2.12)

les courants évoluent dans le réseau suivant la relation :

In= I0e−2jπnγ (2.13)

où n est le numéro de l'électrode, γ = p

λ le nombre d'ondes normalisé.

Le rapport In

φn ne dépend alors pas de la position de l'électrode dans le réseau. Ce rapport,

appelé admittance harmonique et noté ˜Y (γ) détermine entièrement la réponse du système. En eet, l'admittance harmonique peut être décomposée selon une série de Fourier qui fait intervenir les admittances mutuelles entre les électrodes Ym :

˜ Y (γ) = ∞ X m=−∞ Yme−2jπnγ ⇔ Ym = Z 1 0 ˜ Y (γ)e2jπnγdγ (2.14)

Les admittances mutuelles donnent accès au courant électrique total à l'intérieur du trans- ducteur pour une excitation en tension quelconque. La forme des équations met par ailleurs en évidence le fait que la connaissance de l'admittance harmonique ˜Y (γ) permet de remonter directement à la valeur des admittances mutuelles et donc, au comportement électrique du système.

Finalement, le calcul de l'admittance harmonique est possible en combinant deux méthodes :  l'analyse par éléments nis (FEM - nite element method en anglais) pour l'étude du

comportement mécanique des électrodes, décrite en annexe B ;

 la mise en ÷uvre d'une formulation intégrale de surface sur une période pour prendre en compte le comportement électroacoustique de la structure. Cela nécessite d'utiliser le concept de fonction de Green périodique harmonique [77, 78].

Concrètement, la méthode repose sur l'utilisation de la fonction de Green de surface du substrat réduite à une période par l'application du théorème de Floquet et sur sa projection sur la base des polynômes de Tchebyshev.

Par ailleurs, l'analyse par la méthode des éléments nis du comportement élastique des électrodes de la structure permet de déterminer leur impact sur la propagation de l'onde. Ici encore les équations obtenues sont projetées sur la base des polynômes de Tchebyshev.

Finalement, les inconnues du problème ne sont pas les déplacements ui ni les contraintes

généralisées T2j mais leurs projections dans cette base. Les projections des contraintes mé-

fonction de la charge surfacique qui traduit l'excitation initiale en potentiel. La résolution de l'ensemble des équations du système permet de déterminer la valeur de la charge sous l'élec- trode et de ce fait, de l'admittance harmonique (le potentiel φ est connu et la charge renseigne sur l'intensité grâce à la relation I = jωQ).

2.4 Conclusion

La conception des dispositifs à ondes de surface requiert une connaissance ne des phé- nomènes électriques et mécaniques impliqués dans le fonctionnement de ces systèmes. Le lien entre la piézoélectricité et les ondes de surface (en général) est établi an d'expliquer la manière dont ces ondes sont produites et exploitées pour satisfaire les besoins de l'industrie.

Un certain nombre de dénitions sont utilisées quotidiennement dans le secteur des com- posants RF. Ces termes ont été précisés pour faciliter la lecture de ce document. De même, les structures SAW les plus fréquemment rencontrées ont été listées dans ce chapitre. Le lecteur est maintenant en possession des principales dénitions utilisées pour cette thèse.

Les modèles physiques (propagation des ondes en surface homogène) et géométriques (prise en compte du schéma périodique des électrodes) ont également été explicitées. En eet, ces modèles sont à l'origine du calcul du comportement des structures SAW réelles. Par ailleurs, ils dénissent le caractère de structures innies dans la direction de propagation des ondes et sont indispensables à l'analyse numérique des résonateurs et ltres à ondes de surface.

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Évolution des moyens de conception

des composants SAW

La connaissance du comportement d'une structure SAW périodique innie est absolument nécessaire pour décrire le fonctionnement d'un dispositif à ondes de surface mais toutefois insusante. Il est en eet indispensable de prendre en compte la géométrie réelle des SAW ; c'est-à-dire la diversité des électrodes qui le composent, les zones de propagation en surfaces libre ou métallisée, les diérents potentiels imposés.

Pour ce faire, la méthode dites des matrices mixtes est employée. Cette approche est tout d'abord décrite dans le cas le plus simple, par exemple un résonateur simple-port ou une ligne à retard ou un ltre de type LCRF. Une amélioration de l'outil de conception est ensuite proposée an de faire cas de la portée de certains phénomènes mécaniques et électriques sur la réponse fréquentielle de la structure.

3.1 Analyse de la réponse électrique via les matrices mixtes

L'analyse par la méthode des matrices mixtes s'appuie sur une représentation simpliée du couplage entre l'amplitude de l'onde de surface et la tension appliquée. Ainsi, une description des IDT, des miroirs et des diérentes zones de propagation de l'onde en général est pos- sible tout en diminuant considérablement le temps de calcul en comparaison avec une analyse numérique complète d'une même structure.

Les principales étapes de la méthode des matrices mixtes, utilisée pour la conception des ltres et résonateurs, sont décrites dans les sections qui suivent. Notons que nous restons dans l'hypothèse des déformations planes.