Les gures A.3 et A.4 proposent deux exemples de coupes utilisées dans ce mémoire. La première est la coupe (ZX) qui correspond au travail eectué sur BTS/STS (chapitre 4). La seconde correspond à la coupe (YXlt)48.5/27.6 utilisée notamment pour la langasite. Sur cette gure, l'état initial (YX) de la plaque est représenté en gris. Puis la coupe à simple rotation (YXl)48.5 est dessinée en rouge. Finalement la coupe nale à double rotations est en bleu.
Y Z
X
Y Z
X
Figure A.4 Illustration de la coupe (YXlt)48.5/27.6. La plaque grise est la lame initiale orientée (YX) puis la rouge est l'état de cette plaque après la première rotation. La plaque bleue correspond à la coupe nale.
B
|
Les éléments nis
Les éléments nis sont essentiels au calcul des structures. Ils sont alors tout aussi important dans le calcul du comportement des dispositifs SAW que dans d'autres domaines d'activité. Cette annexe rappelle, à la fois, la manière dont sont utilisés les modèles éléments nis dans le calcul des systèmes à ondes élastiques de surface et explique la façon dont sont implémentées les pertes dé nies au chapitre 3.
B.1 Rappels sur la méthode des éléments nis
En pratique, le comportement des structures SAW est calculé en s'appuyant sur des logiciels d'analyse par éléments nis ( nite element analysis, FEA en anglais) [138, 139]. Ce paragraphe est dédié à la description de la mise en place des pertes viscoélastiques et diélectriques (dé nies chapitre 3 section 3.2.2) dans les logiciels dédiés. En eet, une partie imaginaire, qui dépend de la pulsation ω doit être maintenant ajoutée aux propriétés des matériaux pour tenir compte des pertes intrinsèques. Cette section rappelle donc le principe de fonctionnement des logiciels éléments nis (EF) ainsi que la manière dont ces nouvelles propriétés sont insérées dans les programmes de calculs.
Dans le cadre de l'étude des structures SAW, les éléments nis visent à déterminer l'allure des déformations de la structure au passage d'une onde. Cela consiste concrètement à résoudre des systèmes d'équations aux dérivées partielles associées à des conditions aux limites (CL). Dans notre cas, les équations de la piézoélectricité, en lien avec la périodicité du système et la nature du milieu en face supérieure, sont considérées.
Plus généralement, le système d'étude est un domaine appelé Ω dont la frontière est Γ. Ce
domaine Ω est divisé en sous-domaines Ωe (de frontière Γe) dans les paragraphes qui suivent
(cf. gure B.1).
Figure B.1 Description d'un domaine quelconque Ω
La formulation la plus courante des éléments nis, dans laquelle les déplacements et le potentiel électrique constituent les inconnues, repose sur les trois fondements suivants :
1. la mise sous forme intégrale d'un principe variationnel (typiquement, le principe des travaux virtuels) ;
2. la décomposition de ces intégrales en sous domaines Ωe qui constituent à proprement
3. la discrétisation du problème continu par interpolation nodale à l'intérieur de chaque élément.
Dans le cadre de la piézoélectricité, l'utilisation du premier principe de la thermodynamique et l'ajout d'un terme qui traduit le travail par unité de temps fourni par le champ électrique sur le réseau cristallin entraîne la réécriture des équations du problème sous une forme intégrale, dite équation variationnelle :
Z Ω Tδuρ¨u dΩ + Z Ω TδεT dΩ − Z Ω Tδub dΩ − Z Γ Tδu¯tdΓ = 0 (B.1)
Dans l'équation précédente,T indique qu'il faut considérer la transposée du terme qui suit
ce symbole, δu est l'inconnue variationnelle, ρ la densité, ¨u la dérivée seconde du déplacement
upar rapport au temps. De la même manière, δε correspond à la déformation virtuelle associée
à δu de la façon suivante :
δεij = 1
2(δui,j + δuj,i) (B.2)
δui,j est la jième dérivée du iième terme de l'inconnue variationnelle δu. De la même manière, δuj,i traduit la dérivée par rapport à la iième coordonnée du jième terme de δu.
Finalement, T traduit les contraintes appliquées à la structure, b les forces de corps rigide et ¯t l'eort appliqué sur la frontière du domaine. Dans la plupart des cas, (B.1) ne peut pas être résolue directement. C'est pourquoi le domaine Ω est divisé en un nombre ni de sous-
domaines Ωe. Ces éléments (ou sous-domaines) e sont séparés les uns des autres par des lignes
imaginaires établies par le concepteur. Des relations en certains points particuliers des éléments (les n÷uds) assurent la cohésion du domaine dans son ensemble. L'équation variationnelle peut alors être approchée par :
X e Z Ωe Tδuρ¨u dΩ + Z Ωe TδεT dΩ − Z Ωe Tδub dΩ − Z Γe Tδu¯tdΓ = 0 (B.3)
La résolution du problème à éléments nis est maintenant possible en ayant recours à une interpolation nodale à l'intérieur de chaque élément. C'est-à-dire que la valeur du déplacement
u(x, t) est approchée aux n÷uds par :
u(x, t) 'u = N (x)a(t)b (B.4)
dans le système de coordonnées globales où N est la matrice dite des fonctions de formes par élément. Elle correspond à l'interpolation des déplacements aux n÷uds des sous-domaines.
a est la composante du déplacement nodal de l'élément. Elle dépend uniquement du temps.
Sous forme isoparamétrique, c'est-à-dire, dans les coordonnées de l'élément de référence, les déplacements nodaux sont approximés par :
u(ξ, t) 'bu(ξ, t) = N (ξ)a(t) (B.5)
La gure B.2 clari e la diérence entre les deux types de coordonnées (locales et globales). Sur la partie gauche de la gure, un élément de référence de type triangle à trois n÷uds est représenté. Un repère local (ξ1, ξ2)lui est associé. A droite, l'élément est inséré dans un domaine Ω. Les coordonnées de ses n÷uds sont donc repérées par rapport au repère global (x1, x2). Un repère local (ξ1, ξ2) lui est cependant toujours associé. De plus, les coordonnées de l'élément peuvent être exprimées dans l'un ou l'autre des repères.
0 1 1 ξ2 ξ1 ξ2 ξ1 x2 x1
Figure B.2 Élément ni de référence dans son système de coordonnées locales (ξ1, ξ2)(à
gauche) et un élément de la structure Ω dans le système de coordonnées globales (x1, x2) (à
droite)
Ainsi, une approximation du déplacement virtuel est donné par :
δu(ξ) = N (ξ)δa (B.6)
Conformément aux relations entre les diérents paramètres qui sont développées notam- ment dans les ouvrages [138, 139], la forme faible du problème devient :
δ cY e eq= T δa Z Ωe T N ρN ¨a dΩ + Z Ωe T BT dΩ − Z Ωe T N b dΩ − Z Γe T N ¯tdΓ = 0 (B.7)
On reconnaît dans cette expression la forme classique des équations de mouvement :
M ¨a + Ka = f (B.8) avec : M =X e Z Ωe T N ρN dΩ K =X e Z Ωe TBCB dΩ f =X e Z Ωe T N b dΩ + Z Γe T N ¯t dΓ (B.9)
où M est la matrice de masse, reliée à la fonction de forme N et à la densité ρ. K, la matrice de raideur est composée de la matrice des déformations B et des modules élastiques sous leur forme matricielle C. Finalement les forces f appliquées au système sont reliées aux forces de corps rigide b et aux contraintes surfaciques ¯t.
Mis sous cette forme, le système est alors constitué d'autant d'équations diérentielles que de degrés de liberté. Le système peut donc être résolu et une solution approchée du déplacement
u est dé nie. Nous n'irons pas plus loin dans la description de la résolution du problème ni
des techniques de réduction de modèle puisque ces étapes sont déjà très bien documentées [140, 141]. Cependant, nous nous intéressons plus en détail à la manière dont les pertes sont implémentées dans les algorithmes idoines.