Mesures critiques

Outre la mesure d’´equilibre et les mesures stationnaires qui interviennent

dans le probl`eme du comportement en temps long dans l’´equation de

Fokker-Planck libre, on introduit la notion de mesure critique, d´efinie dans [MFR].

D´efinition 7.1. Soit Dun sous-ensemble ferm´e deCet soitV :D→Cun

potentiel analytique. On d´efinit

˜

Σ

_V

:µ7→

ˆ

D

ReV(z) dµ(z)−

¨

D×D

ln|z−t|dµ(z)dµ(t).

Une mesure critique associ´ee `a V est une probabilit´e µ sur D telle que

˜

Σ

_V

(µ)<+∞ et telle que pour toute fonction h:D→Cassez r´eguli`ere, la

quantit´e

D

_h

Σ^˜

_V

(µ) = lim

s→0

˜

Σ

_V

(µ

^h,s

)−Σ^˜

_V

(µ)

s

est nulle, o`uµ

^h,s

d´esigne la mesure-image deµpar la d´eformation de

l’iden-tit´ez7→z+sh(z), s∈C.

L’int´erˆet des mesures critiques provient du lemme suivant.

Lemme 7.2 (voir [MFR, Lemme 3.7]). Avec les notations ci-dessus, on a

D

_h

Σ^˜

_V

(µ) = Re

ˆ

V

^′

(z)h(z) dµ(z)−

¨

h(z)−h(t)

z−t ^dµ(z)dµ(t)

.

Ainsi, pour un potentiel V d´efini sur D = R et une probabilit´e µ `a

support dansR, la condition de la d´efinition 7.1 est ´equivalente `a l’´equation

d’Euler-Lagrange (7.4). Par cons´equent, les mesures critiques r´eelles,

c’est-`

a-dire `a support inclus dans R, sont exactement les mesures stationnaires.

Afin d’identifier les mesures stationnaires de l’´equation de Fokker-Planck

libre, on peut donc employer les outils permettant d’identifier les mesures

critiques dans la litt´erature.

Remarque. En g´en´eral, plusieurs mesures critiques peuvent exister mais il

n’y a qu’une mesure d’´equilibre. C’est le cas par exemple pour un potentiel

satisfaisant les conditions donn´ees dans [BS4, Section 7.1], voir ´egalement la

proposition 7.10 (iii). Un point-cl´e dans la d´emonstration du th´eor`eme 1.9

est justement de montrer que pour le potentiel quartique (7.1) avecc≥ −2,

il n’y a pas d’autre mesure critique que la mesure d’´equilibre.

L’´enonc´e suivant regroupe les propri´et´es des mesures critiques r´eelles les

plus importantes qui sont utilis´ees dans la suite. Il repose essentiellement

sur le fait que la transform´ee de Stieltjes d’une mesure critique est solution

d’une ´equation alg´ebrique. On rappelle que la transformation de Stieltjes est

d´efinie par (A.1).

Proposition 7.3(voir [KS, HKL]). SoientV un polynˆome etµune mesure

critique `a support r´eel.

(i) Il existe un polynˆome R de degr´e 2 deg(V)−2 tel que

R(z) =

1

2^V

^′

^(z)−G

_µ

(z)

2

(7.5)

presque partout pour la mesure de Lebesgue sur C. De plus, on a

R(z) = ¹

4^V

′

(z)

²

−

ˆ

R

V

′

(x)−V

′

(z)

x−z ^{dµ(x). (7.6)}

(ii) Toute racine non r´eelle de R est de multiplicit´e paire.

(iii) Le support de µ est une r´eunion finie d’intervalles reliant les z´eros

de R.

Le point (i) est une combinaison de la proposition 3.7 et de la formule

(3.31) de [KS]. Le point (ii) est une cons´equence imm´ediate de l’analyticit´e

de la transform´ee de Stieltjes, voir [HKL, Lemme 2.6]. Enfin, le point (iii)

est issu de [KS, Proposition 3.9].

Une mesure critique µ est en fait compl`etement d´etermin´ee par le

po-lynˆomeR associ´e. Chercher les mesures critiques revient donc `a d´eterminer

tous les polynˆomes R possibles. Pour le potentiel quartique et d’autres

po-lynˆomes constitu´es de peu de monˆomes, il est possible de proc´eder de cette

mani`ere (voir [MFR, HKL] pour des exemples). Cependant, pour le

poten-tiel quartique, le polynˆomeRsera utilis´e uniquement afin de montrer qu’une

mesure critique a un support connexe. En effet, on verra dans la section 7.3

que dans ce cas, on peut retrouverµ simplement en r´esolvant une ´equation

int´egrale singuli`ere.

Proposition 7.4. Pour le potentiel V(x) =

¹₄

x

⁴

+

₂^c

x

²

avec c≥ −2, toute

mesure critique r´eelle a un support connexe.

D´emonstration. Soitµune mesure critique dont le support est inclus dans

R. D’apr`es (7.6), le polynˆomeR associ´e `a µd´efini par (7.5) est ´egal `a

R(z) = ¹

4^z

6

+^c

2^z

4

+¹

4^(c

2

−4)z

²

−

ˆ

xdµ(x).z−

ˆ

x

²

dµ(x)−c .

On ne peut pas trouver les racines de ce polynˆome car on ne connaˆıt pas

les deux premiers moments de µ. Toutefois, il est possible de compter ses

racines r´eelles en appliquant la r`egle des signes de Descartes, qu’on rappelle

ci-dessous.

Lemme 7.5 (R`egle des signes de Descartes). Soit

un polynˆome `a coefficients r´eels. On note p, resp. q, le nombre de

change-ments de signes dans la suite (a

_n

, . . . , a

₁

, a

₀

), resp. ((−1)

ⁿ

a

_n

, . . . ,−a

₁

, a

₀

),

dans laquelle les z´eros ont ´et´e retir´es. Alors, le nombre de racines

stricte-ment positives, resp. strictestricte-ment n´egatives, de P est major´e par p, resp. q,

et a la mˆeme parit´e quep, resp. q.

Par exemple, dans le cas o`u−2≤c≤0 et o`u les quantit´es ´

xdµ(x) et

´

x

²

dµ(x) +csont positives, la suite des signes des coefficients ordonn´es du

polynˆomeRest

≪

+−−++

≫

donc, d’apr`es la r`egle des signes de Descartes,

R poss`ede 0 ou 2 racines strictement positives. De mˆeme, en consid´erant le

polynˆomeR(−z) avec les mˆemes valeurs des param`etres, on obtient la suite

de signes

≪

+− − −+

≫

doncR admet 0 ou 2 racines strictement n´egatives.

Au total,R poss`ede donc 0, 2 ou 4 racines r´eelles non nulles.

La distinction de tous les cas possibles est r´esum´ee dans le tableau 7.1.

Valeur

de c

Signe de

´

xdµ(x)

Signe de

´

x

²

dµ(x) +c

Signes

dans R

Racines

>0 de R

Racines

<0 deR

−2≤c≤0

+ + +− −+ + 0 ou 2 0 ou 2

+ − +− −+− 1 ou 3 1

− + +− − −+ 0 ou 2 0 ou 2

− − +− − − − 1 1 ou 3

0≤c≤2 ^{+ + + +}−+ + 0 ou 2 0 ou 2

− + + +− −+ 0 ou 2 0 ou 2

c≥2 ^{+ + + + + + + 0 0 ou 2}

− + + + +−+ 0 ou 2 0

Table7.1 – Application de la r`egle des signes de Descartes.

Ainsi, quelle que soit la valeur de c ≥ −2 et quels que soient les signes

des quantit´es ´

xdµ(x) et ´

x

2

dµ(x) +c, le polynˆome R admet 0, 2 ou 4

racines r´eelles non nulles.

Par ailleurs, toute racine non r´eelle deRest de multiplicit´e paire d’apr`es

la proposition 7.3 (ii). Puisque R poss`ede 6 racines, cela signifie que la

multiplicit´e de 0 est n´ecessairement paire.

– Si 0 n’est pas racine de R, alors R poss`ede au plus 4 racines r´eelles,

donc au moins 2 racines non r´eelles conjugu´ees. Or, d’apr`es la

propo-sition 7.3 (ii), toute racine non r´eelle est au moins une racine double,

doncR admet en fait au plus 2 racines r´eelles. D’apr`es la proposition

7.3 (iii), le support de µest donc connexe dans ce cas.

– Si 0 est racine deR, alors c’est au moins une racine double. Alors,Rest

explicite et on aR(z) =

¹₄

z

2

(z

2

+c+ 2)(z

2

+c−2). Ceci est impossible

lorsque c > −2 d’apr`es la proposition 7.3 (ii). Quand c = −2, cela

donne R(z) =

¹₄

z

⁴

(z−2)(z+ 2), donc d’apr`es la proposition 7.3 (iii),

le support de µest [−2,0], [0,2] ou [−2,2].

Dans les deux cas, on a montr´e que le support deµ est connexe.

Dans le document Grandes d´eviations de matrices aléatoires et équation de Fokker-Planck libre (Page 153-156)