Mesure spectrale d’une mesure sofique

U(G(C

^′

))∈B

_loc

ρ,^2δ

3

≥ P

U(G(C

^′

))∈B

_loc

U(G(M

_n^′

)),^δ

3

≥ P(∀j, k, |C

_j,k

−M

_n

(j, k)| ≤γ)

= Y

j,k

P(|C

_j,k

−M

_n

(j, k)| ≤γ)

≥ ^Y

j,k

1

_{|Mn(j,k)|≥θ}

P(|X

_j,k

| ∈]M

_n

(j, k)−γ, M

_n

(j, k) +γ[√_p)

+1

_Mn(j,k)=0

(1−P(|C

_j,k

|> γ))

≥ ^Y

j,k

e

^−an|Mn(j,k)|αpα/2

1

_{|Mn(j,k)|≥θ}

+1

_Mn(j,k)=0

(1−e

^−a2ε(n)αnα/2

)

≥ ^Y

j,k

e

^−an|Mn(j,k)|αpα/2

1−e

^−a2ε(n)αnα/2

≥ 1−e

^−a2ε(n)αnα/2

np

exp

−a

_n

p

^α/2

^c

ⁿ

^{+ 1}

2c

_n

^nE

^U(G(Mn^′))

ξ

_α

≥ ¹₂exp −a

_n

n

^1+α/2

^c

ⁿ

^{+ 1}

2c

¹⁺n ^α/2

E

_U(G(M′ n))

ξ

_α

!

.

On obtient ainsi l’in´egalit´e (4.37) en constatant que quand n → +∞, a

_n

tend versaetE

_U(G(Mn′))

ξ

_α

tend vers E

_ρ

ξ

_α

car les G(M

_n^′

) sont dansG

_∗^θ

et la

fonctionµ7→E

_µ

ξ

_α

est continue sur P

s^′

(G

^θ_∗

), voir le lemme 4.29.

4.6.3 Mesure spectrale d’une mesure sofique

On a obtenu dans la section pr´ec´edente un principe de grandes d´eviations

pour la mesure U(G(C

′

)) construite `a partir de C

′

. Dans la prochaine

sec-tion, on va en d´eduire un principe de grandes d´eviations pour la mesure

spectrale empiriqueµ

_C′

`a l’aide du principe de contraction, voir la

proposi-tion A.32. L’objectif de cette secproposi-tion est de d´efinir une applicaproposi-tion continue

deP

′

s

(G

_∗

) dansP(R) pour laquelle l’image deU(G(C

^′

)) estµ

_C′

, afin de

pou-voir lui appliquer le principe de contraction. Une mani`ere de proc´eder est

de d´efinir la notion de mesure spectrale d’une mesure sofique, de la mˆeme

mani`ere que dans [BC]. Cette d´efinition s’appuie sur la notion plus classique

de mesure spectrale en un vecteur d’un espace de Hilbert, voir par exemple

[RS1, Section VII.2].

Soit θ ∈]0,1[. Pour un graphe pond´er´e enracin´e (G, o) tel que G ∈ G

^θ

,

on note ℓ

2

(V) l’ensemble des suites index´ees par V de carr´e sommable et

(e

_v

)

_v∈V

la base orthonorm´ee canonique de l’espace de Hilbert ℓ

2

(V). On

d´efinit l’op´erateur lin´eaire born´e auto-adjointT surℓ

²

(V) par

∀v∈V, T e

_v

=X

u∈V

ω(u, v)e

_u

.

Pour toutv∈V, il existe alors une unique probabilit´e surR, appel´eemesure

spectrale en le vecteur e

v

et not´ee µ

^v_T

, telle que pour toutk∈N,

ˆ

R

x

^k

dµ

^v_T

(x) =hT

^k

e

_v

, e

_v

i.

La mesure µ

o

T

´etant clairement constante sur la classe d’´equivalence de

(G, o), on peut voir l’application (G, o) 7→ µ

^o_T

comme une application de

G

θ

∗

dansP(R).

D´efinition 4.31. Soient θ∈]0,1[ et ρ ∈ P(G

θ

∗

). On d´efinit la mesure

spec-trale de ρ parµ

_ρ

=E

_ρ

µ

^o_T

.

Exemple 4.32. On consid`ere la mesureδ

_ˆgx

, o`u ˆg

_x

est le graphe sym´etrique

`

a deux sommets avec une arˆete de poids x les reliant, voir l’exemple 4.18.

En notantoetules sommets d’un repr´esentant de ˆg

_x

, on a pour toutk∈N,

T

^2k

e

_o

=x

^2k

e

_o

, T

^2k+1

e

_o

=x

^2k+1

e

_u

,

donc

ˆ

R

t

^2k

dµ

^o_T

(t) =x

^2k

,

ˆ

R

t

^2k+1

dµ

^o_T

(t) = 0.

La mesure spectrale deδ

_ˆgx

est donc

¹₂

(δ

_x

+δ

_−x

).

Exemple 4.33. SoitM

_n

∈ M

n

(R) une matrice sym´etrique. On noteλ

₁

, . . . ,

λ

n

ses valeurs propres et u

1

, . . . , u

n

des vecteurs propres orthonorm´es

as-soci´es. Par le th´eor`eme spectral, pour toutx∈R

ⁿ

, on a

M

n

x=

n

X

j=1

λ

j

hx, u

j

iu

j

.

Ainsi, pour toutv∈J1, nK, on a

∀k∈N, hM

_n^k

e

_v

, e

_v

i=

*

_n

X

j=1

λ

^k_j

he

_v

, u

_j

iu

_j

, e

_v

+

=

n

X

j=1

λ

^k_j

hu

_j

, e

_v

i

²

donc

µ

^v_Mn

=

n

X

j=1

hu

_j

, e

_v

i

²

δ

_λj

et

µ

_U(G(Mn))

= ¹

n

n

X

v=1

µ

^v_Mn

= ¹

n

n

X

j=1

δ

_λj

=µ

_Mn

.

La mesure spectrale deU(G(M

_n

)) est donc exactement la mesure empirique

des valeurs propres de la matrice M

_n

.

On dispose ainsi d’une applicationρ7→µ

ρ

qui envoie U(G(C

^′

)) surµ

_C′

.

Il ne reste qu’`a ´etendre sa d´efinition sur P

s^′

(G

∗

) de mani`ere continue afin

d’appliquer le principe de contraction.

Pour tous β >0 etτ >0, on note

P

s,β,τ^′

(G

∗

) ={ρ∈ P

s^′

(G

∗

)|E

_ρ

ξ

_β

< τ}.

Lemme 4.34 (voir [BC, Lemme 3.12]). Soient β ∈]0,2[, τ > 0 et ρ ∈

P

′

s,β,τ

(G

_∗

). La limite faible lim

_θ→0

µ

_ρθ

existe dans P(R).

La d´emonstration de ce lemme utilise l’approximation de ρ∈ P

′

s,β,τ

(G

_∗

)

par des U(G(M

′

n

)), M

′

n

∈ A

′

n

. On peut alors contrˆoler la distance entre

la mesure spectrale de U(G(M

_n^′

)) et celle d’une troncature en utilisant les

in´egalit´es du rang (A.10) et de Hoffman-Wielandt (A.12) ainsi que les

pro-pri´et´es des graphes tronqu´es. Cela permet de montrer que la suite des µ

_ρθ

est de Cauchy quandθ→0 et donc qu’elle converge.

D´efinition 4.35. Cette limite est appel´ee mesure spectrale de ρ et not´ee

µ

_ρ

.

Lemme 4.36 (voir [BC, Lemme 3.13]). Soientβ ∈]0,2[etτ >0.

L’applica-tion P

s,β,τ^′

(G

∗

) → P(R)

ρ 7→ µ

ρ

est continue pour la topologie faible projective.

Le lemme 4.36 repose sur les contrˆoles ´etablis dans la d´emonstration du

lemme 4.34 et sur l’´equivalence entre convergence en topologie projective et

convergence des troncatures pour la topologie locale.

On a ainsi d´efini la notion de mesure spectrale pour une mesure sofique

d’un ensemble P

′ s,β,τ

(G

_∗

). Lorsque ρ ∈ P

′ s

(G

_∗

)\S

0<β<2

S

τ >0

P

′ s,β,τ

(G

_∗

)

,

on d´efinit simplement la mesure spectrale de ρ parµ

_ρ

=δ

₀

.

On est maintenant en mesure de contracter le PGD obtenu pourU(G(C

^′

))

en un PGD pour la mesure empirique µ

_C′

.

4.6.4 Grandes d´eviations de µ

_C′

Proposition 4.37. Sous l’hypoth`ese 4.24, la suite des mesuresµ

_C′

satisfait

le PGD de vitesse n

1+α/2

dans P(R), muni de la topologie faible, avec la

bonne fonction de tauxΦ

^′

d´efinie par

Φ

^′

(µ) =

(

a

2c1+^c+1α/2

m

_α

(µ) siµ est sym´etrique et µ({0}) ≥

^|1₁₊^−c_c^|

o`u m

_α

(µ) =´

R

|x|

α

dµ(x) d´esigne le moment d’ordre α deµ.

D´emonstration. Comme µ

_U(G(C′))

=µ

_C′

, voir exemple 4.33, on peut

re-prendre la mˆeme d´emonstration que [BC] en rempla¸cant l’in´egalit´e (59) de

[BC], `a savoir I(ρ)≥min

^a₂

, b

E

_ρ

ξ

_α

, par l’´egalit´e

I

^′

(ρ) = ^a

2

c+ 1

c

1+α/2

E

_ρ

ξ

_α

.

Ainsi, la suite des mesuresµ

_C′

satisfait le PGD de vitessen

^1+α/2

et de bonne

fonction de taux ˜Φ

′

d´efinie surP(R) par

˜

Φ

^′

(ν) = inf{I

^′

(ρ), ρ∈ P

s^′

(G

∗

) telle queν =µ

_ρ

}.

On va maintenant expliciter la valeur de ˜Φ

^′

(ν).

En raisonnant comme dans la d´emonstration de la proposition 4.6, d’apr`es

le lemme 4.7 (i), il est d’abord clair que ˜Φ

^′

(ν) = +∞siνn’est pas sym´etrique

ou si ν({0}) <

^|1₁₊^−c_c^|

. Voir l’´etablissement de la relation (4.21) pour plus de

d´etails.

Ensuite, d’apr`es le lemme 3.15 de [BC], dont la d´emonstration repose sur

l’in´egalit´e de Schatten (A.14), pour tousβ ∈]0,2[, τ > 0 etρ ∈ P

′

s,β,τ

(G

∗

),

on a

m

_β

(µ

_ρ

)≤E

_ρ

ξ

_β

.

En particulier, pour tousν ∈ P(R) etρ∈ P

′

s

(G

∗

) tels queν =µ

ρ

, on a

a

2

c+ 1

c

1+α/2

m

α

(ν)≤I

^′

(ρ)

donc pour toutν∈ P(R), on a

a

2

c+ 1

c

1+α/2

m

α

(ν)≤Φ^˜

^′

(ν). (4.38)

Soit maintenant ν une mesure sym´etrique telle que ν({0}) ≥

^|1₁₊^−c_c^|

.

D’apr`es l’exemple 4.18, la mesure

ρ= ¹

2

ˆ

R

δ

_ˆgx

+δ

_ˆg−x

dν(x)

appartient `a P

′ s

(G

_∗

) et d’apr`es l’exemple 4.32, on a

µ

ρ

= ¹

2

ˆ

R

δ

x

+δ

₋x

dν(x) =ν

carν est sym´etrique. On a alors

˜

Φ

^′

(ν)≤I

^′

(ρ) = ^a

2

c+ 1

c

1+α/2

E

_ρ

ξ

_α

= ^a

2

c+ 1

c

1+α/2

1

2

ˆ

R

|x|

^α

+| −x|

^α

dν(x)

= ^a

2

c+ 1

c

1+α/2

m

_α

(ν). (4.39)

D’apr`es (4.38) et (4.39), on a donc

˜

Φ

^′

(ν) = ^a

2

c+ 1

c

1+α/2

m

_α

(ν)

d`es que ν est sym´etrique avec une masse en 0 sup´erieure ou ´egale `a

^|1₁₊^−c_c^|

.

Cela termine la d´emonstration de la proposition 4.37.

On a ainsi retrouv´e la proposition 4.6 `a l’aide des graphes al´eatoires, `a

l’hypoth`ese 4.24 pr`es. Cela montre que la m´ethode originale de Bordenave et

Caputo [BC] fonctionne ´egalement dans le cadre de matrices de covariance

et fournit une d´emonstration alternative du th´eor`eme 1.8.

´

Etude de l’´equation de

Fokker-Planck libre

´

Equation des milieux

granulaires

Ce chapitre est consacr´e `a la pr´esentation de la probl´ematique du

com-portement en temps long de la solution de l’´equation des milieux

granu-laires. On d´eveloppe les m´ethodes analytiques et les m´ethodes probabilistes

employ´ees dans la litt´erature afin d’y r´epondre. On s’inspirera en effet de

certaines de ces m´ethodes pour traiter le cas particulier de l’´equation de

Fokker-Planck libre dans les deux derniers chapitres.

5.1 Probl´ematique

L’´equation des milieux granulaires est une classe d’´equations aux d´eriv´ees

partielles (EDP) contenant de nombreuses ´equations classiques issues de la

physique. L’´equation des milieux granulaires est l’´equation

∂µ

_t

∂t ⁼∇ ·µ

_t

∇(U

^′

(µ

_t

) +V+W ∗µ

_t

)

(5.1)

portant sur une famille (µ

_t

)

_t≥0

de probabilit´es surR

^d

admettant des densit´es

(ρ

_t

)

_t≥0

par rapport `a la mesure de Lebesgue. Dans cette ´equation, ∗d´esigne

la convolution sur R

^d

,∇ l’op´erateur gradient et∇· l’op´erateur divergence.

L’´equation (5.1) est `a prendre au sens des distributions, autrement dit, elle

est ´equivalente `a : pour toute fonction test ϕ:R

^d

→R assez r´eguli`ere,

d

dt

ˆ

Rd

ϕ(x) dµ

_t

(x) =−

ˆ

Rd

∇ϕ(x)· ∇(U

^′

(ρ

_t

(x)) +V(x) +W ∗ρ

_t

(x)) dµ

_t

(x).

Cette ´equation mod´elise l’´evolution en fonction du temps d’une densit´e

de particules soumise `a trois effets :

– une ´energie interne U :R

₊

→R;

– un potentiel de confinement V :R

^d

→R;

107

– un potentiel d’interaction W :R

^d

→R.

L’´equation de la chaleur

∂µ

_t

∂t ^{= ∆µ}

^t

est un exemple d’´equation des milieux granulaires, correspondant `a U(s) =

sln(s), V = 0 et W = 0, tout comme l’´equation des milieux poreux ou

l’´equation de Fokker-Planck lin´eaire (voir [Vil1, p. 269] pour d’autres exemples).

Des conditions classiques assurent l’existence et l’unicit´e de la solution

de l’´equation des milieux granulaires (voir [CMV1, Annexe A]) mais ce point

ne sera pas d´evelopp´e ici. La probl´ematique qui nous int´eresse est celle du

comportement quandt→+∞de la solution µ

_t

.

Dans la litt´erature, on peut identifier deux classes de m´ethodes pour y

r´epondre : les m´ethodes analytiques (fonction de Lyapunov, in´egalit´es

fonc-tionnelles) et les m´ethodes probabilistes (diffusions, syst`emes de particules).

Ces deux classes de m´ethodes sont d´evelopp´ees dans les deux sections

sui-vantes.

Dans le document Grandes d´eviations de matrices aléatoires et équation de Fokker-Planck libre (Page 114-123)