Graphes pond´er´es, topologies

On rappelle dans ce paragraphe les notions de graphes al´eatoires

intro-duites dans [BC, Section 3]. On remarquera deux adaptations, au niveau de

l’ensemble des mesures sofiques admissibles et au niveau de la proc´edure de

troncature.

D´efinitions 4.10. •Un graphe pond´er´e est un couple G= (V

G

, ω

G

) o`uV

G

est un ensemble au plus d´enombrable etω

_G

est une application deV

_G

×V

_G

dansR. On notera simplement G= (V, ω) s’il n’y a pas d’ambig¨uit´e. Gest

alors un graphe orient´e dont les sommets sont les ´el´ements deV et les arcs

sont les couples (u, v)∈V ×V tels que ω(u, v)6= 0.

• Un graphe pond´er´e G= (V, ω) est dit sym´etrique si pour tousu, v ∈ V,

on a

ω(u, v) =ω(v, u).

Dans ce cas,G est un graphe non orient´e `a arˆetes simples.

• De plus, on dit que Gest localement fini si pour tout v ∈V, le degr´e de

v dansG, d´efini par

deg(v) =X

u∈V

|ω(v, u)|

²

,

est fini.

L’ensemble des graphes pond´er´es sym´etriques et localement finis est not´eG.

Exemple 4.11. Soit M

_n

∈ M

n

(R) une matrice sym´etrique. Le graphe

pond´er´e d´efini par V = {1, . . . , n} et ω(j, k) = M

_j,k

pour tous j, k ∈ V

est sym´etrique et localement fini (car fini). Il d´efinit donc un ´el´ement de G,

qu’on notera G(M

_n

).

D´efinitions 4.12. • Soit G = (V, ω) un graphe pond´er´e sym´etrique. Pour

tous u, v ∈ V, un chemin π de u `a v, not´e π : u → v, est une suite π =

(u

₀

, u

₁

, . . . , u

_k

) avecu

₀

=u,u

_k

=v et pour toutj ∈J1, kK,ω(u

_j−1

, u

_j

)6= 0.

La longueur d’un tel chemin est la quantit´e

D

_π

(u, v) =





k

X

j=1

|ω(u

_j−1

, u

_j

)|

⁻²





1/2

.

On d´efinit alors une distanceDsur V par

D(u, v) = inf

π:u→v

D

_π

(u, v).

• On dit alors que Gest connexe si pour tous sommets distincts u, v ∈V,

on aD(u, v)<+∞.

• Un graphe pond´er´e enracin´e est un couple (G, o), o`u G est un graphe

connexe deG eto est un sommet deG, appel´e la racine de G.

Les graphes qu’on va consid´erer dans la suite sont des graphes pond´er´es

enracin´es. On va d´esormais munir l’ensemble de ces graphes d’une distance

puis d’une topologie ad´equates. Pour cela, on a besoin de deux d´efinitions

suppl´ementaires.

D´efinitions 4.13. • Soit (G, o) un graphe pond´er´e enracin´e. Pour tout

r > 0, on appelle boule de centre o et de rayon r, et on note (G, o)

_r

, le

graphe pond´er´e enracin´e constitu´e des sommets u∈V tels queD(o, u)≤r,

et dont les poids sont ceux induits parω.

• On dit que deux graphes pond´er´es enracin´es (G

₁

, o

₁

) et (G

₂

, o

₂

) sont

iso-morphes s’il existe une bijection σ : V

_G1

→ V

_G2

telle que σ(o

₁

) = o

₂

et

ω

_G1

(u, v) =ω

_G2

(σ(u), σ(v)) pour tous u, v∈V

_G1

.

D´efinition 4.14. On d´efinit une semi-distanced

_loc

sur l’ensemble des graphes

pond´er´es enracin´es par

d

_loc

((G

₁

, o

₁

),(G

₂

, o

₂

)) = ¹

1 +R

o`uRest la borne sup´erieure de l’ensembleRdesr >0 pour lesquels il existe

une bijection σ:V

_(G1,o1)r

→V

_(G2,o2)r

telle queσ(o

1

) =o

2

et

∀u, v ∈V

_(G1,o1)r

, |ω

_G1

(u, v)−ω

_G2

(σ(u), σ(v))| ≤ ¹

r^.

Exemple 4.15. On consid`ere les graphes pond´er´es enracin´es (G

₁

, o

₁

), (G

₂

, o

₂

)

de la figure 4.1.

Pour ces deux graphes, on calcule facilement queR=

0,

²₃

∪^h

√¹ 2

,

¹ 6/√ 7−2

i

,

doncd

_loc

((G

₁

, o

₁

),(G

₂

, o

₂

)) =

^6−2√7 6−^√7

.

Figure4.1 – Exemple 4.15.

d

_loc

est une distance sur l’ensembleG

∗

des classes d’´equivalence de graphes

pond´er´es enracin´es pour la relation d’´equivalence induite par la notion

d’iso-morphisme (voir [BC]). Cette distance induit une topologie surG

∗

, appel´ee

topologie locale. On note g

_n^loc

→g lorsqued

_loc

(g

_n

, g)→0 quandn→+∞.

G

∗

´etant complet et s´eparable pour la topologie locale (voir [AL]), on peut

consid´erer latopologie faible locale surP(G

∗

), c’est-`a-dire la topologie faible

surG

_∗

associ´ee aux fonctions continues pour la topologie locale. On note alors

ρ

_n ^loc

ρ si pour toute fonction f continue born´ee sur (G

_∗

, d

_loc

), ´

fdρ

_n

→

´

fdρ quandn→+∞.

On va maintenant pr´eciser quelles sont les mesures deP(G

∗

) qui entrent

en jeu.

D´efinitions 4.16. • Soient G∈ G et v ∈V. On note G(v) la composante

connexe de v dans G et g(v) la classe d’´equivalence du graphe pond´er´e

enracin´e (G(v), v).

•Lorsque Gest fini, on d´efinit un ´el´ement de P(G

∗

) par

U(G) = ¹

CardV

X

v∈V

δ

_g(v)

. (4.30)

U(G) est en fait la loi de la classe de (G(o), o) lorsqueosuit la loi uniforme

surV.

• On dit alors qu’une mesure ρ ∈ P(G

∗

) est sofique s’il existe une suite

(G

_n

)

_n∈N

de graphes pond´er´es sym´etriques finis telle queU(G

_n

)

^loc

ρ.

•De plus, pour tout entier n≥1, on note

A

^′n

=

M

^′

=

0 M

M

t

0

, M ∈ M

n,p(n)

(R) telle que

∀j, k, M

_j,k

= 0 ou sign(M

_j,k

)∈S

_a

o`up(n) est le nombre de colonnes de la matrice al´eatoire Xde notre mod`ele

etS

_a

est le support de la loiϑ

_a

de sign(X

_1,1

), voir l’hypoth`ese (2.2).

(M

_n

)

_n≥1

de matrices telles queM

′

n

∈ A

′

n

pour toutn≥1 etU(G(M

′

n

))

^loc

ρ.

S’il n’y a pas d’ambigu¨ıt´e, on dira simplement queρ est sofique.

L’ensemble des mesures sofiques admissibles est not´eP

s^′

(G

∗

).

Remarque. Les ensemblesA

′

n

etP

′

s

(G

∗

) d´ependent du mod`ele de matrices

al´eatoires qu’on consid`ere. On remarquera que ce ne sont pas exactement

les mˆemes que dans [BC]. En particulier,A

^′n

est un sous-ensemble strict de

l’ensemble A

n+p(n)

de [BC] et P

′

s

(G

∗

) est un sous-ensemble de l’ensemble

P

s

(G

∗

) de [BC]. Par exemple, les graphes associ´es aux matrices de A

′

n

sont

n´ecessairement bipartis.

Exemple 4.17. En consid´erant des matrices M

_n

dont tous les coefficients

sont nuls, il est clair que la masse de Dirac en le graphe videg

∅

, c’est-`a-dire

le graphe `a un sommet sans arˆete, est une mesure sofique.

Exemple 4.18. Soitµune probabilit´e surRtelle queµ-presque sˆurement,

une variable al´eatoire de loi µ est nulle ou de signe dans S

a

. On consid`ere

(Y

_n

)

_n∈N

une suite de variables al´eatoires i.i.d. de loi µet M

_n

la matrice de

terme g´en´eral M

_n

(j, j) =Y

_j

pour tout j∈J1, n∧pKetM

_n

(j, k) = 0 sinon.

Alors, par construction,M

_n^′

appartient p.s. `aA

′

n

et on a

U(G(M

_n^′

)) = ¹

n+p



2

n∧p

X

j=1

δ

_ˆgYj

+|n−p|δ

g_∅



 ,

o`u ˆg

_x

d´esigne le graphe sym´etrique `a deux sommets avec une arˆete de poidsx

les reliant. D’apr`es la loi des grands nombres, la mesureU(G(M

_n^′

)) converge

dans la topologie faible locale vers

ρ= 2¹∧c

1 +c

ˆ

R

δ

_ˆgx

dµ(x) +|1−c|

1 +c ^δ

^g∅

donc cette mesure ρappartient `a P

′

s

(G

∗

).

Exemple 4.19. Soitn≥1 un entier et soit M

_n^′

∈ A

′

n

. On peut consid´erer

des matricesA

_m

constitu´ees de blocs diagonaux ´egaux `aM

_n

, le bloc sup´erieur

droit de taille n×p(n) de M

′

n

. Plus pr´ecis´ement, soient m = k

₁

n+r

₁

et

p(m) = k

2

p(n) +r

2

les divisions euclidiennes de m et p(m) par n et p(n)

respectivement, la matriceA

_m

est alors compos´ee dek

₁

∧k

₂

blocs diagonaux

´egaux `aM

_n

et de coefficients nuls ailleurs. En formant la matrice par blocs

A

^′_m

, on a alors

U(G(A

^′_m

)) = ¹

m+p(m)

k

2

(n+p(n))U(G(M

_n^′

)) + ((k

1

−k

2

)n+r

1

+r

2

)δ

g_∅

sik

₁

≥k

₂

et

U(G(A

^′_m

)) = ¹

m+p(m)

k

₁

(n+p(n))U(G(M

_n^′

))

+((k

₂

−k

₁

)p(n) +r

₁

+r

₂

)δ

_g∅

sinon. Quandm→+∞, on ak

₁

∼

^m_n

etk

₂

∼

^p_p⁽₍^m_n)⁾

donc

^k1_k2

∼

_c^c_n

.

– Si c

_n

< c, alors `a partir d’un certain rang m

₀

, on a toujours k

₁

> k

₂

et quand m→+∞, on a

1

m+p(m)^((k

¹

−k

₂

)n+r

₁

+r

₂

) = ¹

m+p(m)^(m−c

_n

p(m)+r

₂

+c

_n

r

₂

)

∼ ^m(1−

cn c

)

m+p(m) ∼ ^c_{1 +}^−c_c

ⁿ

.

– De mˆeme, si c

_n

> c, alors on a k

₁

< k

₂

`a partir d’un certain rang et

quand m→+∞, on a

1

m+p(m)^((k

²

−k

₁

)p(n) +r

₁

+r

₂

)∼ _{(1 +}^c

ⁿ

⁻_c)c^c

n

.

– Enfin, sic

_n

=c, alors on a|k

₁

−k

₂

|=o(m) quandm→+∞.

En faisant tendrem→+∞ dans les deux expressions de U(G(A

^′_m

)), on en

d´eduit que la mesureρ

_n

d´efinie par

ρ

_n

=







1+cn 1+c

U(G(M

_n^′

)) +

^c−cn 1+c

δ

_g∅

sic

_n

< c

U(G(M

_n^′

)) sic

_n

=c

1+cn 1+c c^cn

U(G(M

′ n

)) +

^cn−c (1+c)cn

δ

_g∅

sic

_n

> c

d´efinit un ´el´ement deP

′ s

(G

∗

).

Dans la prochaine sous-section, on d´emontrera un principe de grandes

d´eviations pour la mesureρ

_n

d´efinie comme ci-dessus `a l’aide de la matrice

C du mod`ele, voir (4.1).

Par d´efinition deP

′

s

(G

∗

), on a le lemme suivant.

Lemme 4.20. P

′

s

(G

∗

) est ferm´e pour la topologie faible locale.

On va maintenant introduire les graphes tronqu´es, qui vont permettre

d’une part de construire une topologie dans laquelle P

′

s

(G

∗

) est compact,

ce qui sera n´ecessaire pour traiter de grandes d´eviations, et d’autre part

de fournir des approximations r´eguli`eres de graphes, ce qui sera utile dans

l’´etablissement de la borne inf´erieure de grandes d´eviations.

D´efinition 4.21. Pour toutθ∈]0,1[, on note

G

^θ

=

G∈ G ∀u, v∈V, deg(v)≤θ

⁻²

et|ω(u, v)| ≥θ1

_ω(u,v)6=0

.

Les graphes de G

θ

sont plus r´eguliers que les graphes de G, au sens o`u

ils sont toujours localement finis, mais en plus, on peut contrˆoler les degr´es

des sommets et les poids des arˆetes. En particulier, de chaque sommet d’un

graphe G de G

θ

sont issues au plus θ

−4

arˆetes et chaque arˆete de G a un

poids compris entre θetθ

−1

en valeur absolue.

On note comme pr´ec´edemment G

_∗^θ

l’ensemble des classes d’´equivalence

de graphes enracin´es de G

θ

isomorphes, P(G

θ

∗

) l’ensemble des ρ ∈ P(G

∗

)

dont le support est inclus dans G

θ

∗

etP

′

s

(G

θ

∗

) =P(G

θ

∗

)∩ P

′

s

(G

_∗

).

Les lemmes suivants regroupent les deux propri´et´es fondamentales de

ces nouveaux ensembles : un r´esultat de compacit´e et un r´esultat de

≪

den-sit´e

≫

dans G.

Lemme 4.22 (voir [BC, Lemme 3.4 (ii)]). Pour tout θ∈]0,1[, G

θ

∗

est

com-pact pour la topologie locale.

Le fait que G

^θ_∗

est ferm´e provient essentiellement de sa d´efinition. De

plus, les contrˆoles du poids des arˆetes, du nombre de voisins d’un sommet

etc. permettent d’obtenir la pr´ecompacit´e deG

θ

∗

.

Lemme 4.23 (voir [BC, Lemme 3.10]). Soient θ ∈]0,1[ et δ > 0. Il existe

γ > 0 tel que pour tout entier n ≥1 et pour tous graphes G ∈ G, H ∈ G

θ

ayant le mˆeme ensemble des sommets V ={1, . . . , n} et v´erifiant

max

u,v∈V

|ω

G

(u, v)−ω

H

(u, v)| ≤γ ,

on a

max

u∈V

d

_loc

((G(u), u),(H(u), u))≤δ .

La d´emonstration de ce lemme repose ´egalement sur les contrˆoles

sp´eci-fiques aux ´el´ements de G

θ

∗

, qui impliquent notamment que les boules sont

finies, ainsi que sur la d´efinition de la distance locale.

Remarque. Un proc´ed´e canonique de troncature permettant d’obtenir un

graphe de G

^θ

`a partir d’un graphe quelconque de G est d´ecrit dans [BC].

N´eanmoins, cette proc´edure n´ecessite quelques modifications.

En effet, reprenons les graphes (G

₁

, o

₁

), (G

₂

, o

₂

) de l’exemple 4.15. La

figure 4.2 permet de comparer les troncatures (G

₁

)

_θ

et (G

₂

)

_θ

construites

sui-vant le proc´ed´e de [BC] pour diff´erentes valeurs deθ. On observe par exemple

que (G

1

)

_3/7

n’appartient pas `a G

3/7

. De plus, on a d

_loc

((G

1

)

_1/4

,(G

2

)

_1/4

) =

6−2√ 7

6−^√7

≈0,21 et d

_loc

((G

₁

)

_1/3

,(G

₂

)

_1/3

) =

²₃

, ce qui pr´efigure de la

disconti-nuit´e de l’application g7→g

_θ

.

Hypoth`ese 4.24. Dans la suite de cette section, on admettra donc qu’il

existe un proc´ed´e de troncature

≪

continu

≫

, c’est-`a-dire pour toutθ∈]0,1[,

une application g7→g

_θ

`a valeurs dansG

θ

∗

telle que les poids associ´es `a g et

g

_θ

satisfont

|ω

_θ

| ≤ |ω| (4.31)

et telle que le lemme 4.25 soit v´erifi´e.

Figure 4.2 – Troncatures des graphes de l’exemple 4.15.

Lemme 4.25. Pour tous θ ∈]0,1[ et ρ ∈ P(G

∗

), on note ρ

_θ

la loi de g

_θ

lorsqueg suit la loiρ.

(i) Pour tout θ ∈]0,1[, l’application P(G

∗

) → P(G

θ

∗

)

ρ 7→ ρ

_θ

^{est continue}

pour la topologie faible locale.

(ii) Soient g∈ G

∗

et ρ∈ P(G

∗

). On a g

_θ ^loc

→g et ρ

_θ ^loc

ρ quand θ→0.

Pour tout entier j ≥1, on note θ

_j

= 2

^−j

et p

_j

: G

∗

→ G

^θj

∗

g 7→ g

_θj

^{et pour}

tous entiersk≥j≥1, on note p

_j,k

: G

^θk

∗

→ G

^θj

∗

g 7→ g

_θj

^{. Ces applications sont}

bien d´efinies et la famille (p

_j,k

)

_1≤j≤k

forme un syst`eme projectif, c’est-`a-dire

pour tousj≤k≤l,p

_j,l

=p

_j,k

◦p

_k,l

. On note alors

˜

G

∗

=





^y∈

Y

j≥1

G

^θj ∗

^{∀k≥j≥1, p}

^j,k

^(y

^k

^{) =y}

^j





^.

Lemme 4.26 (voir [BC, Lemme 3.6]). L’application G

∗

→ G^˜

∗

g 7→ (p

_j

(g))

_j≥1

est bijective.

L’injectivit´e est issue du lemme 4.25 (ii). Quant `a la surjectivit´e, elle

est obtenue en construisant explicitement un graphe ayant des troncatures

donn´ees. Pour cela, il suffit de consid´erer comme ensemble de sommets la

r´eunion des sommets des troncatures et comme poids la limite des poids des

troncatures, qui est bien d´efinie.

Pour ´etudier un graphe ou sa loi, il est donc suffisant de s’int´eresser `a

ses troncatures. Dans la suite, on identifiera G

∗

et ˜G

∗

en utilisant la mˆeme

notation pour ces deux ensembles.

On va maintenant utiliser les troncatures dans le but de d´efinir une

topologie dans laquelleP

′

s

(G

∗

) est compact, comme annonc´e pr´ec´edemment.

D´efinition 4.27. La topologie projective est la topologie surG

∗

induite par

la distance d

_proj

, d´efinie par

d

proj

(g, g

^′

) =

+∞

X

j=1

2

^−j

d

_loc

(g

_θj

, g

_θ^′_j

).

On noteg

n^proj

→ g lorsqued

proj

(g

n

, g)→0 quandn→+∞.

G

_∗

´etant complet et s´eparable pour la topologie projective (voir [BC]),

on peut consid´erer la topologie faible projective sur P(G

∗

), c’est-`a-dire la

topologie faible sur G

∗

associ´ee aux fonctions continues pour la topologie

projective. On note alors ρ

_n ^proj

ρ si pour toute fonction f continue born´ee

sur (G

∗

, d

proj

), on a ´

fdρ

n

→´

fdρquand n→+∞.

Remarques. – On a g

_n ^proj

→ g, resp. ρ

_n ^proj

ρ, si et seulement si pour

toutθ, (g

_n

)

_θ ^loc

→g

_θ

, resp. (ρ

_n

)

_θ ^loc

ρ

_θ

.

– La topologie projective est moins fine que la topologie locale.

– De mˆeme, la topologie faible projective est moins fine que la topologie

faible locale.

L’int´erˆet de l’introduction de la topologie projective r´eside dans le lemme

suivant, `a comparer avec le lemme 4.20.

Lemme 4.28 (voir [BC, Lemme 3.8]). (i) G

∗

est compact pour la

topo-logie projective.

(ii) P

′

s

(G

∗

) est compact pour la topologie faible projective.

Le point (i) est une simple application du th´eor`eme de Tychonoff et du

lemme 4.22. Quant au point (ii), il est la combinaison du point (i), du lemme

4.20 et du lemme 4.25 (ii).

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