Grandes d´eviations



n

X

j=1

|A

_k,j

|

²





p/2

. (A.14)

A.6 Grandes d´eviations

La th´eorie des grandes d´eviations est un ensemble de techniques

permet-tant d’´etudier les probabilit´es d’´ev`enements rares, c’est-`a-dire d’´ev`enements

ne correspondant pas `a un comportement typique du syst`eme. Ces

tech-niques, tr`es robustes et s’appliquant dans des situations tr`es vari´ees,

per-mettent d’estimer asymptotiquement la probabilit´e de tels ´ev`enements en

obtenant des principes de grandes d´eviations, qui sont en quelque sorte un

raffinement d’une loi des grands nombres et d’un th´eor`eme central limite.

On renvoie au livre de Dembo et Zeitouni [DZ] pour les bases de la th´eorie,

dont on va d´etailler ci-dessous quelques points utilis´es dans le chapitre 4.

Un premier exemple de r´esultat de grandes d´eviations est le th´eor`eme

de Cram´er.

Th´eor`eme A.24(Cram´er dansR, voir [DZ, Th´eor`eme 2.2.3]). Soit(X

_n

)

_n≥1

une suite de variables al´eatoires i.i.d. `a valeurs r´eelles. Pour toutn≥1, on

note X

_n

=

_n¹

P

_n j=1

X

_j

. Pour tout x∈R, on a

lim

n→+∞

1

n^lnP(X

ⁿ

≥x) =−sup

λ≥0

(λx−lnE(e

^λX1

)).

Ce r´esultat fait apparaˆıtre deux points essentiels de la th´eorie des grandes

d´eviations. Tout d’abord, on a typiquement des vitesses exponentielles et

l’objectif est de trouver un ´equivalent des quantit´es lnP(X

_n

∈ E).

En-suite, l’´equivalent en question s’exprime `a l’aide de la borne inf´erieure ou

sup´erieure d’une fonction, donc on est ramen´e `a des probl`emes de calcul

variationnel.

On remarquera ´egalement que la fonction λ7→E(e

^λX1

) ´etant la fonction

g´en´eratrice des moments deX

₁

, on a

quandλest au voisinage de 0.

On donne maintenant la d´efinition d’un principe de grandes d´eviations,

voir ´egalement la section 1.4.

D´efinition A.25. Soit (E,O) un espace topologique. Unefonction de taux

est une fonctionI :E →[0,+∞] semi-continue inf´erieurement (s.c.i.),

c’est-`

a-dire dont les ensembles de niveau {x ∈ E | I(x) ≤ t} sont ferm´es pour

toutt≥0.

Une fonction de taux est ditebonne lorsque ces ensembles sont compacts.

D´efinition A.26. Une suite (µ

n

)

n∈N

de mesures sur un espace

topolo-gique (E,O) muni de sa tribu bor´elienne B satisfait le principe de grandes

d´eviations (PGD) de vitesse v gouvern´e par la fonction de taux I dans la

topologieO siv:N→]0,+∞[ admet une limite ´egale `a +∞ et si pour tout

B∈ B, on a

− inf

x∈Int(B)

I(x)≤lim inf

n→+∞

1

v(n)^lnµ

ⁿ

^(B)

≤lim sup

n→+∞

1

v(n)^lnµ

ⁿ

^(B)≤ − inf

x∈Adh(B)

I(x) (A.15)

o`u Int(B) et Adh(B) d´esignent respectivement l’int´erieur et l’adh´erence de

B.

Remarques. – On dit qu’une suite de variables al´eatoires satisfait un

PGD si la suite de leurs lois satisfait un PGD.

– La seconde in´egalit´e dans (A.15) est toujours v´erifi´ee. On dit que

(µ

_n

)

_n∈N

satisfait la borne inf´erieure (resp. sup´erieure) de grandes

d´evia-tions si elle satisfait la premi`ere (resp. troisi`eme) in´egalit´e dans (A.15).

– Un PGD est ´equivalent `a la v´erification de la borne inf´erieure pour

les ouverts et de la borne sup´erieure pour les ferm´es. On dit alors que

(µ

_n

)

_n∈N

satisfait un PGD faible si elle satisfait la borne inf´erieure pour

les ouverts et la borne sup´erieure pour les compacts.

Le lemme suivant indique que si les mesures ont toutes leur support

inclus dans un mˆeme ferm´e, alors il suffit d’´etablir le PGD sur ce ferm´e.

Lemme A.27(voir [DZ, Lemme 4.1.5(a)]). SoitF un sous-ensemble ferm´e

de E tel que pour tout n∈N, µ

_n

(F) = 1. Si (µ

_n

)

_n∈N

satisfait un PGD sur

F avec la bonne fonction de taux I, alors (µ

n

)

n∈N

satisfait aussi un PGD

sur E avec la fonction de tauxJ ´egale `a I sur F et ´egale `a +∞ sur E\F.

Dans le cas d’espaces m´etriques, on peut obtenir un PGD faible en

´etudiant uniquement les boules de l’espace m´etrique.

Proposition A.28 (voir [AGZ, Corollaire D.6]). On suppose que(E, d) est

un espace m´etrique. Si pour tout x∈E, on a

−I(x) = lim sup

δ→0

lim sup

n→+∞

1

v(n)^lnµ

ⁿ

^{(B(x, δ))}

= lim inf

δ→0

lim inf

n→+∞

1

v(n)^lnµ

ⁿ

^{(B(x, δ)),}

alors (µ

_n

)

_n∈N

satisfait le PGD faible de vitesse v, gouvern´e par la fonction

de taux I, dans la topologie induite par d.

Une autre propri´et´e des fonctions de taux pourra aussi ˆetre utilis´ee.

Lemme A.29(voir [DZ, Lemme 4.1.6(a)]). SoitI une fonction de taux. On

consid`ere une famille d´ecroissante de ferm´es (F

_δ

)

_δ>0

, c’est-`a-dire F

_δ

⊂F

_δ′

pour tousδ < δ

^′

, et on note F

₀

=T

δ>0

F

_δ

. Alors, on a

inf

x∈F0

I(x) = lim

δ→0

inf

x∈Fδ

I(x).

`

A partir d’un PGD faible, il est possible d’obtenir un PGD grˆace `a un

argument suppl´ementaire : la tension exponentielle de la suite de mesures,

qui est l’id´ee que dans la bonne ´echelle exponentielle, la masse se concentre

sur les compacts.

D´efinition A.30. Une suite (µ

_n

)

_n∈N

de probabilit´es sur un espace

mesu-rable (E,B) est exponentiellement tendue pour la vitesse v si pour tout

A >0, il existe un compact K

A

de E tel que

lim sup

n→+∞

1

v(n)^lnµ

ⁿ

^(E\K

_A

)≤ −A .

Proposition A.31([DZ, Lemme 1.2.18]). Si(µ

_n

)

_n∈N

satisfait le PGD faible

de vitesse v gouvern´e par la fonction de taux I, et si (µ

_n

)

_n∈N

est

exponen-tiellement tendue, alors (µ

_n

)

_n∈N

satisfait le PGD de vitesse v gouvern´e par

la fonction de taux I.

Le principe de contraction est une propri´et´e importante de la th´eorie des

grandes d´eviations qui permet d’obtenir un PGD comme image continue

d’un PGD.

Th´eor`eme A.32 (Principe de contraction, voir [DZ, Th´eor`eme 4.2.1]). Si

(µ

_n

)

_n∈N

satisfait un PGD sur E gouvern´e par la bonne fonction de taux I

et si f :E →F est continue, alors la suite (f ♯µ

n

)

n∈N

des mesures images

satisfait un PGD sur F gouvern´e par la bonne fonction de taux J d´efinie

par

La proposition suivante permet ´egalement de d´eduire un PGD d’un autre

PGD, mais sur le mˆeme espace m´etrique cette fois. L’id´ee est que deux suites

assez proches dans la mˆeme ´echelle exponentielle satisfont le mˆeme PGD.

D´efinition A.33. On suppose que (E, d) est un espace m´etrique. Soient

(Z

_n

)

_n∈N

et ( ˜Z

_n

)

_n∈N

deux suites de variables al´eatoires `a valeurs dans E.

On dit que (Z

_n

)

_n∈N

et ( ˜Z

_n

)

_n∈N

sontexponentiellement ´equivalentes pour la

vitessev si pour tout δ >0, on a

lim

n→+∞

1

v(n)^lnP

d(Z

n

,Z^˜

n

)≥δ

=−∞.

Proposition A.34 (voir [DZ, Th´eor`eme 4.2.13]). On suppose encore que

(E, d) est un espace m´etrique et que (Z

_n

)

_n∈N

et ( ˜Z

_n

)

_n∈N

sont des variables

al´eatoires `a valeurs dans E. Si(Z

_n

)

_n∈N

et ( ˜Z

_n

)

_n∈N

sont exponentiellement

´equivalentes pour la vitessev et si (Z

n

)

n∈N

satisfait un PGD de vitessev et

de bonne fonction de taux I, alors ( ˜Z

_n

)

_n∈N

satisfait le mˆeme PGD.

Pour terminer cette partie sur les outils de grandes d´eviations, on ´enonce

un lemme utile permettant d’intervertir des op´erateurs.

Lemme A.35 (voir [DZ, Lemme 1.2.15]). Soient f

₁

, . . . , f

_m

des fonctions

positives au voisinage de 0. On a

lim sup

ε→0

εln

m

X

i=1

f

_i

(ε)

!

= max

1≤i≤m

lim sup

ε→0

εln(f

_i

(ε)).

Dans le document Grandes d´eviations de matrices aléatoires et équation de Fokker-Planck libre (Page 188-191)