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Les m´ethodes classiques pr´esent´ees dans le chapitre 5 afin d’´etudier le

comportement en temps long de la solution de l’´equation des milieux

gra-nulaires peuvent donc ˆetre adapt´ees dans le cadre des probabilit´es libres

afin d’´etudier la solution (µ

_t

)

_t≥0

de l’´equation de Fokker-Planck libre. La

m´ethode d’approximation par le syst`eme de particules (5.6) n’a pas ´et´e

dis-cut´ee ici mais peut ´egalement fournir des r´esultats int´eressants.

En effet, pour tout entierN ≥1, on peut associer `a l’´equation de

Fokker-Planck libre le syst`eme de particules (X

N

1

(t), . . . , X

N N

(t))

_t≥0

d´efini par le

syst`eme d’EDS

∀j∈J1, NK, dX

_j^N

(t) =

r

2

N^dB

^j

^(t)−¹

2^V

′

(X

_j^N

(t))dt

−_N^{1 X}

k6=j

1

X

N j

(t)−X

N k

(t)^{dt , (6.19)}

o`u les B

j

sont des mouvements browniens sur R ind´ependants. Pour tous

N ≥1 ett≥0, on d´efinit

L

N

(t) = ¹

N

N

X

j=1

δ

_XN j (t)

la mesure empirique associ´ee. Li, Li et Xie ont montr´e que pour un potentiel

V v´erifiant les hypoth`eses du th´eor`eme 6.1, le syst`eme de particules (6.19)

est bien d´efini (voir [LLX, Th´eor`eme 1.1]) et que si de plus,L

N

(0) converge

vers µ

₀

etV

^′′

est uniform´ement minor´ee, alorsL

_N

(t) converge versµ

_t

(voir

[LLX, Th´eor`eme 1.4]).

Bien que cette approche n’ait pas encore ´et´e r´eellement utilis´ee pour

´etudier le comportement en temps long de la solution de l’´equation de

Fokker-Planck libre, cela est tr`es int´eressant si on remarque que le syst`eme

de particules (6.19) est assez ´etudi´e en matrices al´eatoires sous

l’appella-tion de mouvement brownien de Dyson g´en´eralis´e (GDBM). Comme on

l’a expliqu´e dans l’introduction, dans le cas o`u le potentiel V est nul, le

syst`eme (6.19) est (`a normalisation pr`es) la famille des valeurs propres

d’une matrice hermitienne `a coefficients browniens ind´ependants. Le cas

du potentiel V(x) =

¹₂

x

²

a ´et´e aussi tr`es ´etudi´e. On renvoie notamment `a

[Cha, RS2, CL, Fon] et [AGZ, Section 4.3]. On mentionne enfin que le

po-tentiel non convexe V(x) =

¹₃

x

³

−ax, a ∈ R, a ´et´e consid´er´e par Allez et

Dumaz [AD].

Une autre remarque importante sur ce chapitre est la suivante. Les

r´esultats ´etablis par Li, Li et Xie sur la convergence de µ

_t

en temps long

peuvent ˆetre renforc´es. En effet, d’apr`es le th´eor`eme 6.2 (i), le support desµ

_t

est inclus dans un compact ind´ependant det pour de nombreux potentiels

V. Pour ceux-ci, la convergence en loi deµ

_t

est donc ´equivalente `a la

conver-gence en distance de Wasserstein de tout ordre. En particulier, les r´esultats

de Li, Li et Xie ´enonc´es avec la distance W

₂

sont en fait valables avec la

distanceW

_p

pour tout p≥1 siV satisfait les hypoth`eses du th´eor`eme 6.2.

Pour terminer ce chapitre, on mentionne que dans [CCV], Carrillo,

Cas-torina et Volzone consid`erent une interaction logarithmique dans l’´equation

des milieux granulaires dansR

²

, correspondant au mod`ele de Keller-Segel.

Dans le chapitre 7, on ´etablit la convergence deµ

t

quandt→+∞ dans

le cadre d’un potentiel V non convexe mais `a double puits. Au regard de

la formule (6.7), l’utilisation de la m´ethode de dissipation d’entropie semble

assez naturelle pour traiter ce probl`eme.

´

Equation de Fokker-Planck

libre avec un potentiel `a

double puits

Dans cet ultime chapitre, on ´etudie le comportement en temps long de

la solution (µ

_t

)

_t≥0

de l’´equation de Fokker-Planck libre (6.1) dans le cas

particulier du potentiel quartique

V(x) = ¹

4^x

4

+ ^c

2^x

2

, c∈R.

Lorsque c est n´egatif, ce potentiel n’est plus convexe mais `a double puits.

N´eanmoins, en s’inspirant des m´ethodes pr´esent´ees dans le chapitre 6, on

peut quand mˆeme ´etablir la convergence de µ

_t

vers la mesure d’´equilibre

associ´ee `a ce potentiel tant que c ≥ −2, ce qui constitue le th´eor`eme 1.9,

´etabli par ailleurs dans [DMGM, Section 3]. Le cas o`uc <−2 est ´egalement

discut´e en d´etail dans ce chapitre.

7.1 Le potentiel quartique

On consid`ere le potentiel

V(x) = ¹

4^x

4

+ ^c

2^x

2

, (7.1)

o`u cest un param`etre r´eel.

Le potentiel (7.1) v´erifiant clairement les hypoth`eses du th´eor`eme 6.1 et

de la proposition 6.4, l’´equation de Fokker-Planck libre

∂µ

_t

∂t ⁼

∂

∂x

µ

_t

1

2^V

^′

−Hµ

_t

135

(a)c≥0. (b)c <0.

Figure 7.1 – Allure du potentielV d´efini par (7.1) selon le signe de c.

admet pour ce potentiel une unique solution (µ

_t

)

_t≥0

, quelle que soit la

condi-tion initialeµ

₀

`a support compact. De plus, cette solution est donn´ee par la

famille des distributions de la solution (X

_t

)

_t≥0

de l’EDS libre (6.3). En

par-ticulier, la famille (µ

_t

)

_t≥0

satisfait les propri´et´es ´enonc´ees dans le th´eor`eme

6.2 et la formule (6.7).

Remarque. Le potentiel quadratique V(x) =

¹₂

x

²

a ´et´e largement ´etudi´e,

puisque la solution de (6.3) pour ce potentiel est le processus

d’Ornstein-Uhlenbeck libre, voir par exemple [BV]. De plus, la solution de l’´equation

de Fokker-Planck libre pour ce potentiel convexe peut ˆetre d´ecrite `a l’aide

des m´ethodes du chapitre 6. Apr`es le potentiel quadratique, le potentiel

quartique (7.1) est l’exemple le plus simple de potentiel polynomial pour

lequel l’´equation de Fokker-Planck libre (6.1) admet une unique solution. Il

est donc naturel de s’int´eresser `a celui-ci.

L’objectif de ce chapitre est d’´etudier le comportement quandt→+∞

de la solutionµ

_t

en pr´esence du potentiel (7.1). En particulier, on souhaite

savoir siµ

t

converge vers la mesure d’´equilibre µ

V

, qui est explicite d’apr`es

[Joh1, Exemple 3.2] ou les calculs effectu´es dans la section 7.3 :

– si c≥ −2, alors µ

_V

a pour densit´e

ρ

_V

(x) = ¹

π

1

2^x

2

+b

₀

p

a

2

−x

2

1

_[−a,a]

(x) (7.2)

avec

a

²

= ²

3

p

c

2

+ 12−c

, b

₀

= ¹

3 ^c+

r

c

2

4 ^{+ 3}

!

;

– si c <−2, alors µ

_V

a pour densit´e

ρ

_V

(x) = ¹

avec a

2

=−2−c,b

2

= 2−c.

(a)c=−1. (b)c=−2. (c)c=−3.

Figure 7.2 – Allure de la densit´eρ

_V

pour diff´erentes valeurs dec.

Une premi`ere r´eponse peut ˆetre apport´ee par la proposition 6.9. En effet,

lorsque c > 0, le potentiel (7.1) est strictement convexe donc µ

_t

converge

`

a vitesse exponentielle vers µ

_V

pour la distance W

₂

et aussi pour toutes

les distances W

_p

, p ≥ 1. D’apr`es les propositions 6.10 et 6.15, on a aussi

convergence deµ

_t

vers la mesure d’´equilibre lorsquec= 0.

Par ailleurs, d’apr`es les arguments donn´es dans [BS4, Section 7.1], lorsque

c est tr`es n´egatif, il existe des conditions initiales µ

₀

pour lesquelles µ

_t

ne

converge pas vers la mesure d’´equilibre lorsquet→+∞. Plus pr´ecis´ement,

lorsque c est tr`es n´egatif, le support de µ

V

a deux composantes connexes

(voir la formule (7.3)) et une condition n´ecessaire `a la convergence deµ

_t

vers

µ

_V

est l’´egalit´e des fractions de remplissage deµ

₀

etµ

_V

, c’est-`a-dire qu’un

voisinage de chaque composante connexe de supp(µ

V

) doit avoir la mˆeme

masse pourµ

₀

que pour µ

_V

.

Dans le cas o`u c est n´egatif mais proche de 0, la mesure d’´equilibre est

`

a support connexe (voir la formule (7.2)) et les puits du potentiel sont peu

profonds. On s’attend donc `a un comportement analogue au casc≥0.

L’analyse du comportement en temps long de µ

t

propos´ee dans ce

cha-pitre repose sur l’interpr´etation de l’´equation de Fokker-Planck libre `a l’aide

des diffusions libres et sur les propri´et´es qui en d´ecoulent (th´eor`eme 6.2 et

formule (6.7)). En particulier, la formule

d

dt^Σ

^V

^(µ

^t

^{) =}−2

ˆ

R

1

2^V

′

−Hµ

t

2

dµ

t

sugg`ere l’emploi de la m´ethode de dissipation d’entropie et fait apparaˆıtre

les solutions de l’´equation d’Euler-Lagrange

Hµ= ¹

2^V

′

µ−p.p. (7.4)

comme les candidats naturels pour la limite de µ

_t

quand t → +∞. On

appelle ces mesures des mesures stationnaires dans la mesure o`u ce sont

exactement les solutions stationnaires de l’´equation (6.1) au sens des EDP,

c’est-`a-dire les solutions de (6.1) ne d´ependant pas du temps.

Dans le document Grandes d´eviations de matrices aléatoires et équation de Fokker-Planck libre (Page 148-153)