La mesure du champ de vitesse par le suivi de particules

Les m´ethodes optiques de mesure du champ de vitesse ont fortement progress´e de- puis 20 ans. La mesure par PIV (Particle Image Velocimery) s’est impos´ee comme la m´ethode de r´ef´erence. Cependant dans le cadre de notre exp´erience, son applica- tion se r´ev`ele ˆetre impossible techniquement. La PIV consiste `a filmer un ´ecoulement ensemenc´e par de fines particules avec des tailles de l’ordre du micron. A partir des images, le champ de vitesse est calcul´e en corr´elant des portions de l’espace entre elles pour estimer leur d´eplacement. Comme cette m´ethode n´ecessite une importante den- sit´e de particules, il est n´ecessaire d’´eclairer le fluide avec une source lumineuse de forte intensit´e, le plus souvent issue d’un laser.

Cependant cette technique optique n’est pas applicable `a l’´ecoulement de galinstan, car la surface m´etallique est r´efl´echissante. On pourrait alors ensemencer la couche d’acide pr´esente au-dessus du galinstan, mais `a cause du faible espace pr´esent dans la bobine et de la forte r´eflexion de la surface m´etallique, il est tr`es difficile de projeter une nappe laser `a travers la couche d’acide.

Nous avons donc opt´e pour un suivi lagrangien de particules `a l’interface acide- galinstan. Cette technique permet l’obtention d’un champ de vitesse pour un faible nombre de traceurs (quelques milliers) et une distribution spatiale non-homog`ene de ces particules. Il reste cependant le probl`eme de l’identification des particules sur une surface r´efl´echissante. Dans la section suivante nous pr´esentons le dispositif optique permettant l’obtention d’un bon contraste.

Montage optique

Le montage est illustr´e sur la figure 2.7. On souhaite filtrer les r´eflexions de la surface m´etallique grˆace `a un jeu de polariseurs. Un premier polariseur est plac´e devant la lampe qui ´eclaire la cellule. Un second polariseur, dont la polarisation est crois´ee par rapport au pr´ec´edent, est plac´e devant la cam´era. Les r´eflexions directes dues `a la surface m´etallique sont alors filtr´ees contrairement `a celles provenant des particules. Ainsi seules les particules sont visibles sur l’image (cf figure 2.8).

Figure 2.7 – Sch´ema du montage optique pour le suivi de particule. La lumi`ere pola- ris´ee rectilignement (illustr´ee par les fl`eches rouges) qui ´eclaire la cellule est r´efl´echie par la surface m´etallique puis est filtr´ee par le polariseur crois´e devant la cam´era. Cependant les petites particules vont diffuser un rayonnement comportant diff´erentes polarisation (fl`eches bleues et rouges) et vont donc ˆetre visibles par la cam´era.

En effet, l’angle d’incidence de l’´eclairage ´etant faible ( θ ≃ 14o_{), l’onde incidente}

avec une polarisation rectiligne est r´efl´echie avec une polarisation faiblement elliptique par la surface m´etallique. Le polariseur crois´e fix´e sur la cam´era filtre la majeure partie de ces r´eflexions directes. Les particules di´electriques et rugueuses r´efl´echissent des ondes de polarisation diff´erentes qui ne sont que partiellement filtr´ees. Les traceurs sont donc visibles par la cam´era.

L’´eclairage est assur´e par une lampe LED de 2500 candela 11 _{et de 10 W, ce qui}

permet de ne pas chauffer le polariseur grˆace au bon rapport intensit´e lumineuse sur puissance. L’angle d’ouverture du rayon lumineux est faible (24o_{) et permet focaliser}

l’´eclairage. La cam´era utilis´ee est une photron SA1, avec une fr´equence d’acquisition de 60 Hz et une r´esolution de 10242 _pixels.

11

un candela correspond `a 1, 4.10−3_{Watt par steradian. Un candela correspond approximativement}

Figure 2.8 – Gauche : photographie des particules avec la pr´esence des polariseurs. Droite : zoom sur la partie centrale.

Les traceurs

Nous utilisons des particules blanches d’oxyde de zirconium, servant normalement au sablage des pi`eces m´etalliques. Le choix des particules s’est fait sur le crit`ere de leur r´esistance `a la corrosion par l’acide et parce qu’elles ne r´eagissent pas avec le galinstan 12<sub>. Les particules semblent n’ˆetre attaqu´ees par l’acide qu’au bout d’une `a</sub>

deux semaines. Leur diam`etre est de 0.6 ± 0.1 mm et leur densit´e est 5.7.

Pour s’assurer que les traceurs sont passifs et suivent l’´ecoulement, on calcule leur temps de r´eponse τa `a un changement entre la vitesse de la particule vp et celle du

fluide V tel que 13 _[62]

dvp dt = − 1 τa (vp− V) avec τa = |ρ p− ρf|d2p 18µf . (2.16)

Le temps τa vaut 6.2ms pour le galinstan et 90ms pour l’acide. Comme les particules

flottent `a la surface du galinstan dans l’acide, on retiendra le temps associ´e `a l’acide. L’entraˆınement de la couche d’acide par la surface m´etallique est assur´ee par le rap- port des viscosit´es dynamiques proche de un. Les particules `a l’interface suivent donc l’´ecoulement du m´etal liquide.

Pour que les traceurs suivent bien l’´ecoulement, il est n´ecessaire que le temps τa

soit inf´erieur au temps caract´eristique de l’´ecoulement τc qui est compris entre 0.1

et 1 seconde. Le calcul nous donne alors τa/τc ∈ [0.1, 1]. Dans le r´egime τa/τc ≈ 1,

les particules ne peuvent plus ˆetre consid´er´ees comme de simples traceurs du fait de l’importance de leur inertie.

On remarque une accumulation des particules `a proximit´e des parois car la surface m´etallique est l´eg`erement convexe `a cause du m´enisque. Cet effet, observable sur la photographie 2.8 de gauche (sur le bord en bas `a droite), affecte le suivi des particules qui sont parfois pi´eg´ees dans ce m´enisque.

12

Le galinstan a tendance `a r´eagir avec beaucoup de m´etaux

13

Traitement de l’image

Comme l’indique la figure 2.8, la r´epartition des particules n’est pas homog`ene. La re- construction du champ de vitesse par un algorithme PIV n’est donc pas optimale car il existe des zones sans particules. Nous avons pr´ef´er´e une m´ethode de suivi de parti- cules o`u leur trajectoire lagrangienne est reconstruite `a partir de la s´erie de mesure. Le traitement de l’image n´ecessite alors deux algorithmes : le premier rep`ere les particules et le second reconstruit le champ de vitesse `a partir de la position des particules entre deux images. Nous avons utilis´e deux scripts Matlab.

Le rep´erage des particules est effectu´e grˆace `a la Toolbox Sptrack1.0 de Saumya Saurabh (t´el´echargeable sur le site de www.mathworks.com). Le champ de vitesse est reconstruit grˆace aux codes d´evelopp´es par l’´equipe de Nick Ouellette (disponibles sur le site leviathan.eng.yale.edu ), bas´es sur un algorithme pr´edictif, afin de reconstruire la trajectoire de chaque particule. Il est possible de suivre entre 2000 et 4000 particules par image.

Le suivi permet aussi de filtrer la pr´esence de reflets localis´es dus `a des faibles d´eformations de la surface, qui pourraient ˆetre confondus avec des particules. En effet, ces algorithmes permettent de fixer un seuil sur le nombre minimal d’images pour consid´erer la trajectoire comme pertinente. Les reflets n’´etant pr´esent que sur quelques images successives, l’algorithme filtre ces anomalies.

Nous serons aussi amen´es `a r´eduire la r´esolution du champ de vitesse qui est ini- tialement donn´ee par la r´esolution de la cam´era. Nous utiliserons une r´esolution plus petite de 642 _{points afin d’augmenter la densit´e de points sur la grille.}

Filtrage du champ de vitesse

L’estimation du champ de vorticit´e et de tout autre grandeur impliquant des d´eriv´ees n´ecessite une r´esolution inf´erieure aux plus petites ´echelles de vitesse. Pour un ´ecou- lement turbulent, ces ´echelles correspondent aux ´echelles de Kolmogorov, inaccessibles avec notre m´ethode de mesure. Il est cependant possible d’estimer les ´echelles de vorticit´e sup´erieures `a l’´echelle l en appliquant un filtre G(x, l) sur le domaine D [18, 26] tel que ¯ ul(x) = 1 IG(x, l) Z Z D G(r + x, l)u(r)dr, (2.17)

o`u G(x, l) est une fonction d´ecroissant rapidement et ayant la propri´et´e suivante G(x, l) = l−2_{G(x/l, 1). La convolution prend en compte l’effet des bords en renor-}

mant G(r + x, l) par son int´egrale IG(x, l)

IG(x, l) =

Z Z

D

G(r + x, l)dr (2.18)

La fonction gaussienne satisfait les propri´et´es cit´ees ci-dessus

G(r, l) = exp  −|r| 2 2l2  (2.19)

¯

ul(x) peut ˆetre interpr´et´e comme le champ de vitesse ne contenant que la contribution

des ´echelles plus grandes que l [18]. Ce champ de vitesse ob´eit `a l’´equation de Navier- Stokes modifi´ee suivante

∂tu¯l+ ¯ul· ∇¯ul+ ∇ · τl = −∇pl+

1

Re∆¯ul− 1

Rhu¯l+ fl et ∇ · ¯ul, (2.20) o`u τl est le tenseur des contraintes des ´echelles inf´erieures `a l, tel que : τl = ulul−ulul.