Les ´equations de Stokes
Pour des Rh faibles, c’est `a dire inf´erieurs `a l’unit´e, l’´ecoulement est laminaire et sta- tionnaire. Le champ de vitesse de cet ´ecoulement laminaire u est solution de l’´equation de Stokes
−∇π + 1
Re∆u − 1
Rhu + F = 0 (3.3) avec les conditions aux limites de vitesse nulle sur les parois. En prenant le rotationnel de cette ´equation, on ´elimine le terme de pression et on r´eduit le probl`eme `a la seule fonction ω, le champ de vorticit´e (au lieu des deux composantes du champs de vitesse), soit
−Re1 ∆ω + 1
Rhω = (∇ × F) · ez ⇒ −ǫ∆ω + ω = Rh (∇ × F) · ez (3.4) avec ǫ = Rh/Re ≃ 10−4. Au premier ordre, nous pouvons n´egliger l’op´erateur Lapla-
cien2 pond´er´e par le terme ǫ . Avec cette simplification, la vorticit´e est principalement
localis´ee l`a o`u le rotationnel du for¸cage est non-nul. Or, nous avons vu dans le chapitre pr´ec´edent que le rotationnel du for¸cage est proportionnel au courant inject´e jz0, avec
Z h
0 (∇ × F) · e
zdz = −jz0B0 (3.5)
avec B0 le champ magn´etique appliqu´e et h l’´epaisseur de fluide. Nous nous attendons
donc `a observer une forte localisation de la vorticit´e au-dessus des ´electrodes.
Description de l’´ecoulement
Sur la photographie de la figure 3.2, on observe bien les huit tourbillons, grˆace aux oxydes qui jouent le rˆole de traceurs. L’´ecoulement respecte bien les sym´etries du for¸cage, c’est `a dire les sym´etries par r´eflexion selon les axes 0x et 0y. Le champ de vitesse stationnaire obtenu par la technique du suivi de particules est repr´esent´e sur la figure de droite pour Rh = 1.
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Figure 3.1 – Gauche : photo de l’´ecoulement o`u les oxydes jouent le rˆole de traceurs. Droite : champ de vitesse obtenu grˆace au suivi de particules.
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Etude du champ de vorticit´e
Sur la figure 3.2, on a repr´esent´e le champ de vorticit´e calcul´e `a partir du champ de vitesse filtr´e par une fonction gaussienne G(r, l) de variance l2. Sur la figure de gauche,
on a fix´e l = 1.2 mm (soit 10 pixels pour une r´esolution 10242) et `a droite, l = 2.4
mm.
Sur la premi`ere figure, on remarque que la vorticit´e est concentr´ee au-dessus des ´electrodes et des bandes de vorticit´e de signe altern´e entourent le tourbillon au-dessus de l’´electrode. Sur la seconde figure, la taille du filtre est doubl´ee et le filtre a att´enu´e l’intensit´e de ces bandes
La pr´esence de ces bandes de vorticit´e de signes oppos´es autour de l’´electrode est surprenante. En premi`ere approche, on peut expliquer leur pr´esence par l’inho- mog´en´eit´e de la r´epartition des particules. En effet l’´ecoulement ´etant laminaire, les particules restent toujours sur les mˆemes lignes de courant. Or ces lignes de courant sont s´epar´ees par des zones de vitesse relativement faible ou nulle. Le calcul de la vorticit´e sur ce champ de vitesse fait donc apparaitre des bandes de vorticit´e de signes oppos´es s´eparant les zones de hautes et basses vitesses. Il est donc n´ecessaire de filtrer le champ de vitesse par une taille de filtre l assez grande.
Figure 3.2 – Champ de vorticit´e calcul´e `a partir du champ de vitesse filtr´e par une fonction gaussienne de largeur l. A gauche, l = 1.2mm, `a droite, l = 2.4mm.
Allure des profils de vitesse
Sur la figure 3.3, nous avons trac´e les profils de vitesse. `A gauche, nous avons repr´esent´e la composante ux filtr´ee (l = 2.4mm) en fonction de y pour x = 30mm. Cette abscisse
correspond `a la rang´ee de quatre d’´electrodes dans la direction y. `A droite, la compo- sante uy filtr´ee est trac´ee en fonction de x pour y = 15mm. Cette ordonn´ee correspond
`a la rang´ee de deux d’´electrodes dans la direction x. Les profils ux(y) et uy(x) sont
norm´es par leur maximum. Ils sont globalement sym´etriques, avec une l´eg`ere diff´erence sur l’amplitude des pics positifs pour uy(x).
−60 −40 −20 0 20 40 60 −1 −0.5 0 0.5 1 y ux −60 −40 −20 0 20 40 60 −1 −0.5 0 0.5 1 x uy
Figure 3.3 – Gauche : profil de vitesse de ux(y) filtr´e (l = 2.4mm) pour x = 30mm.
D´ecomposition en s´erie de Fourier des profils
Dans le but d’obtenir un spectre spatial de ces profils, nous d´ecomposons la fonction de courant en s´erie de Fourier
ψ = X nx,ny ˆ ψ(nx, ny) sin πn x L x ′sinπny L y ′ (3.6)
avec x′ = (x + L/2) et y′ = (L/2 + y) compris entre 0 et L, ce qui revient `a pla-
cer l’origine au point (x, y) = (−L/2, −L/2). Les modes de Fourier sont uniquement compos´es de produit de sinus. La justification de cette d´ecomposition est donn´ee dans l’article de Sommeria [56]. Le profil de vitesse uy(x) peut ˆetre rendu p´eriodique sur
l’intervalle [−L, L] en prolongeant le profil sur les x n´egatifs par la transformation uy(x) = −uy(−x). Le signal est alors anti-sym´etrique et ainsi d´ecomposable en sinus
de longueur d’onde 2L, d’o`u l’´equation 3.6.
Ainsi, ˆψ(nx, ny) est la composante de Fourier avec pour nombre d’onde (nx, ny).
Quant au champ de vitesse, il se d´ecompose comme
ux(x, y) = X nx,ny ˆ ux(nx, ny) sin πnx L x ′cosπny L y ′ uy(x, y) = X nx,ny ˆ uy(nx, ny) cos πnx L x ′sinπny L y ′ (3.7)
Les spectres des deux profils de la figure 3.3 sont repr´esent´es sur la figure 3.7. On constate que le profil ux(y) a une forte composante sur le mode ny = 4. Quant au
profil uy(x), la d´ecomposition indique que l’´energie est principalement sur les modes
nx = 2 et nx = 6.
Cette analyse de Fourier montre que la localisation de l’injection de vorticit´e in- troduit d’autres composantes que celles attendues. En effet, le for¸cage ´etant d´efini par un r´eseau de 2 × 4 tourbillons, nous nous attendons donc `a obtenir deux pics essen- tiellement sur les modes nx = 2 et ny = 4. L’´emergence de la composante nx = 6 dans
le spectre est due `a la localisation du for¸cage en vorticit´e. En effet, la longueur d’onde associ´ee `a ce mode est L/nx ∼ 2cm avec L la largeur de la cellule, qui correspond au
0 2 4 6 8 10 12 14 15 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 ny |ˆux | 2 0 2 4 6 8 10 12 14 15 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 nx |ˆu y | 2
Figure 3.4 – Gauche : d´ecomposition en modes de Fourier donn´ee par l’´equation 3.7 du profil de vitesse de ux(y). A droite : d´ecomposition en modes de Fourier du profil
de vitesse de uy(x)