Dans les sections pr´ec´edentes, nous avons constat´e un changement significatif des pro- pri´et´es statistiques de UL pour Rh > 33, comme pour la norme repr´esent´ee sur la
figure 5.4. Nous allons ´etudier les champs de vorticit´e et des lignes de courant pour des Rh proches de 30.
Ces champs sont obtenus grˆace au suivi de particules d´ecrit dans le chapitre 2. Ils sont calcul´es `a partir des champs de vitesse filtr´es 2 et moyenn´es dans le temps. Ces
mesures sont effectu´ees sur une dur´ee de 2 minutes avec 7200 images. Les champs sont repr´esent´es sur la figure 5.18 pour Rh = 21, 28, et sur la figure 5.21 pour Rh = 30, 33, 35 et 39.
Champs moyens pour Rh < 30
On remarque que pour Rh inf´erieur `a 30, le champ de vorticit´e moyen comporte de fortes similarit´es avec le mode du for¸cage. On identifie en effet les huit tourbillons contra-rotatifs `a la fois sur le champ de vorticit´e et les lignes de courant, mˆeme si ils sont un peu d´ecal´es par rapport au mode de for¸cage.
La turbulence ´etant un processus dissipatif, la puissance inject´ee moyenne hǫi doit donc ˆetre diff´erente de z´ero. La puissance ǫ est d´efinie comme la projection du champ de vitesse sur le for¸cage, soit ǫ = v · f. La projection du champ de vitesse sur le for¸cage doit donc ˆetre non-nulle, ce qui explique pourquoi cette composante du champ de vitesse est fortement pr´esente sur les champs moyens. De plus, tous les modes impairs doivent ˆetre de moyenne nulle.
2
les champs sont filtr´es par une fonction gaussienne avec une d´eviation standard ´egale `a l = 0.75cm et avec une r´esolution de 64 × 64
Rh 21
Rh 28
Figure 5.18 – Champs de vorticit´e (`a gauche) et lignes de courant (`a droite) pour diff´erents Rh. De haut en bas : Rh = 21 et Rh = 28.
Champs moyens pour Rh > 30
Pour Rh plus grand que 30, l’´ecoulement est domin´e par la pr´esence d’une circulation `a grande ´echelle, comme l’indique les lignes de courant de la figure 5.21. Les mesures de UL confirment la pr´esence d’une circulation moyenne.
La figure 5.19 illustre bien la diff´erence de comportement entre une mesure `a Rh ´egale `a 25 et 30. Pour Rh ´egal `a 25, les dur´ees des phases de polarit´e constante sont plus courtes que celles `a Rh = 30. Les mesures de la figure 5.21 correspondent donc `a des phases o`u la circulation est globalement de mˆeme signe.
Nous rappelons que ces champs sont calcul´es `a partir de mesures effectu´ees sur une dur´ee de 2 minutes et que dans la limite d’une dur´ee de mesure longue, nous devrions retrouver des champs moyens similaires `a ceux observ´es sur la figure 5.18. Ainsi pour Rh > 30, les dur´ees n´ecessaires pour obtenir un champ moyen qui respecte les sym´etries du for¸cage ont soudainement augment´e.
Les champs de vorticit´e et les lignes de courant semblent garder la mˆeme confi- guration pour Rh plus grand que 35. L’´ecoulement est compos´e de quatre tourbillons (en bleu) co-rotatifs avec la circulation `a grande ´echelle et formant une croix avec un tourbillon central (en rouge) tournant dans le sens oppos´e. Nous avons v´erifi´e que cette configuration est identique pour des Rh allant jusqu’`a 44. Nous nommerons cette
1000 1200 1400 1600 1800 2000 −0.06 −0.04 −0.02 0 0.02 0.04 0.06 Rh 25 U L [m/s] t [s] 1000 1200 1400 1600 1800 2000 2200 2400 −0.06 −0.04 −0.02 0 0.02 0.04 0.06 Rh 30 U L [m/s] t [s]
Figure 5.19 – S´eries temporelles de UL pour Rh = 25 (`a gauche) et Rh = 30 (`a
droite).
configuration l’´etat condens´e.
Pour Rh compris entre 30 et 35, on observe des configurations interm´ediaires entre celles du for¸cage et celle de l’´etat condens´e pour la vorticit´e et les lignes de courant. Une analyse qualitative des instantan´es de champ de vorticit´e pour cette gamme de Rh montre que le champ de vorticit´e passe de temps en temps par une configuration proche de celle de l’´etat condens´e.
En effet, on a repr´esent´e sur la figure 5.20 trois instantan´es du champ de vorticit´e espac´es d’une seconde pour Rh ´egal `a 30. `A 30 secondes, on constate que le champ de vorticit´e est compos´e de quatre tourbillons formant une croix avec un tourbillon contra-rotatif au centre, comme pour l’´etat condens´e. Cet ´etat est cependant visit´e tr`es rapidement et le champ de vorticit´e a compl`etement chang´e en l’espace d’une seconde. Comme ce ph´enom`ene est r´ecurrent, on peut alors supposer que la transition `a partir de Rh = 30 est caract´eris´ee par l’´emergence progressive de la configuration de vorticit´e de l’´etat condens´e. Ce ph´enom`ene sera quantifi´e dans la prochaine section.
t = 29 s t = 30 s t = 31 s
Figure 5.20 – Instantan´es de champ de vorticit´e obtenus grˆace aux champs de vitesse pour Rh = 30. Ces instantan´es correspondent aux temps t = 29, 30 et 31 secondes.
Rh 30
Rh 33
Rh 35
Rh 39
Figure 5.21 – Champs de vorticit´e (`a gauche) et lignes de courant (`a droite) pour diff´erents Rh. De haut en bas : Rh valant 30, 33, 35 et 39.
Bilan
Nous avons montr´e que la transition `a Rh ≃ 30 observ´ee sur la norme et le coefficient d’aplatissement de UL dans les pr´ec´edentes sections, correspond `a un changement de
topologie du champ moyen de vorticit´e et des lignes de courant. Pour Rh plus grand que 35, l’´ecoulement reste pr´ef´erentiellement dans une configuration de vorticit´e donn´ee, qu’on nomme ´etat condens´e.
Nous allons dans la section suivante quantifier cette transition en identifiant la pr´esence d’une structure pr´ef´erentielle de vorticit´e dans la gamme Rh ≃ 30 − 35.