tales et num´eriques
Nous avons pr´esent´e dans ce chapitre la premi`ere observation exp´erimentale d’un spectre en 1/f en turbulence bidimensionnelle forc´ee.
De r´ecentes simulations d’´ecoulements bidimensionnels [15, 16] ont montr´e la pr´e- sence d’un spectre temporel en 1/f aux basses fr´equences pour les composantes de Fourier spatiales ˆu(k, ω) de nombre d’onde k = 1. Ces ´ecoulement sont p´eriodiques spatialement dans les deux directions et le for¸cage est localis´e proche des grandes ´echelles. Dans ces articles, les auteurs ont mentionn´e le mod`ele bas´e sur les temps de relaxation (section 4.5.2) comme l’origine du spectre en 1/f , sans pour autant comparer les exposants des distributions et des spectres. Or nous avons montr´e dans cette section que ce mod`ele reposant sur l’existence de temps de relaxation ne concordait par avec nos r´esultats exp´erimentaux.
On trouve aussi dans l’article de Sommeria [56], une ´etude des spectres temporels des grandes ´echelles spatiales de l’´ecoulement. Cependant, le comportement de la partie basse fr´equence des spectres n’a pas ´et´e discut´e, mˆeme si ces spectres pr´esentent une loi d’´echelle aux basses fr´equences avec un exposant faible. Nous avons donc extrait ces courbes de l’article [56](cf figure 4.32 ) et nous avons fait figurer un spectre en 1/f illustr´e par la droite verte. Sur la figure de gauche, les courbes noires avec un spectre plat aux basses fr´equences correspondent `a Rh = 3.56 et celles avec un spectre en 1/f , `a Rh > 14. Nous observons bien la pr´esence de spectre en 1/f . Le montage exp´erimental est le mˆeme que le nˆotre `a la diff´erence qu’il comporte un r´eseau de 6 × 6 tourbillons contre 2 × 4 dans notre exp´erience. Ainsi, mˆeme dans le cas d’une s´eparation d’´echelle plus grande entre la taille du for¸cage et de la cellule, nous constatons la pr´esence d’un spectre en 1/f .
Figure4.32 – Spectres temporels de la composante grande ´echelle extraits de l’article [56]. La droite verte correspond `a la fonction f−1.
4.8
Conclusion
Nous avons montr´e que les structures `a grande ´echelle pr´esentent une signature spec- trale particuli`ere. En effet, les spectres fr´equentiels de UL suivent une loi de puissance
aux basses fr´equences, avec un exposant α = 0.7. Les mesures des sondes Doppler ont confirm´e la pr´esence d’une loi d’´echelle avec un exposant proche de moins un.
L’origine de cet exposant est associ´ee aux changements de signe de UL. La distribu-
tion des dur´ees entre deux changements de signes successifs suit une loi de puissance aux temps longs, caract´eris´ee par l’exposant β = 2.25. Nous avons montr´e que les exposants α et β sont li´es par la formule α + β = 3, pr´edite par la th´eorie du renou- vellement.
Nous avons aussi v´erifi´e que si β > 2, la pr´esence d’une dissym´etrie entre les deux signes de UL n’affectait pas la relation pr´ec´edente.
Chapitre 5
Transitions entre diff´erents r´egimes
turbulents
Sommaire
5.1 Introduction et motivations . . . 97 5.1.1 Du r´egime chaotique au r´egime turbulent . . . 97 5.1.2 Bifurcations entre diff´erents r´egimes turbulents . . . 97 5.1.3 Plan du chapitre . . . 98 5.2 Propri´et´es statistiques des mesures des Sondes Vives . . . 99 5.2.1 Norme de UL . . . 99
5.2.2 Coefficient d’aplatissement de UL . . . 101
5.2.3 Bilan . . . 102 5.3 Etude de la distribution de U´ L . . . 102
5.3.1 Les distributions pour la gamme Rh ≤ 12 . . . 102 5.3.2 Etudes pour la gamme Rh > 12 . . . 103´ 5.3.3 Conclusion . . . 112 5.4 Etude des champs moyens de vorticit´´ e et lignes de courant113 5.5 Identification et quantification des r´ecurrences . . . 117 5.5.1 Principe de l’´etude . . . 117 5.5.2 M´ethodes math´ematiques . . . 118 5.5.3 Analyse d’un trac´e de r´ecurrence pour Rh = 30 . . . 119 5.5.4 Analyse et quantification des r´ecurrences . . . 123 5.5.5 Moyenne coh´erente . . . 125 5.6 Etude de l’´´ etat condens´e . . . 127 5.6.1 M´ecanisme de s´election de l’´etat condens´e . . . 132 5.6.2 Conclusion . . . 134 5.7 Conclusion sur les diff´erentes transitions . . . 134
5.1
Introduction et motivations
5.1.1
Du r´egime chaotique au r´egime turbulent
Nous avons montr´e dans le chapitre 2 les transitions successives entre l’´etat laminaire et l’´etat chaotique, qui apparait `a Rh ≃ 3. Dans ce chapitre, nous souhaitons ´etudier l’´etat turbulent avec Rh sup´erieur `a 10.
Sur la figure 5.1 de droite qui correspond au r´egime turbulent, on constate la pr´esence de nombreuses structures tourbillonnaires `a la fois plus petites et plus grandes que l’´echelle du for¸cage, contrairement `a l’´etat chaotique, o`u la taille et le nombre de vortex du for¸cage sont approximativement conserv´es (figure 5.1 de gauche).
Le r´egime turbulent est ainsi caract´eris´e par une dynamique fortement non-lin´eaire o`u l’´energie est transf´er´ee entre des structures de tailles tr`es diff´erentes.
Figure 5.1 – Photographie de l’´ecoulement o`u les oxydes jouent le rˆole de traceurs. Gauche : r´egime chaotique. Droite : r´egime turbulent
5.1.2
Bifurcations entre diff´erents r´egimes turbulents
Transferts non-lin´eaire et cascades
En turbulence bidimensionnelle (2D), les transferts d’´energie se font pr´ef´erentiellement vers les structures de grandes tailles, qui contiennent la majeure partie de l’´energie cin´etique de l’´ecoulement. La s´eparation d’´echelles entre les ´echelles du for¸cage et la taille de la cellule ´etant relativement faible dans notre exp´erience, nous ne pouvons pas parler de cascade inverse car il n’existe pas de gamme inertielle spatiale bien d´efinie. Les m´ecanismes de transferts d’´energie des petites aux grandes ´echelles sont n´eanmoins toujours pr´esents et nous observons l’apparition de structures coh´erentes `a grande ´echelle, dont la dynamique temporelle a ´et´e ´etudi´ee dans le chapitre 4. Dans ce chapitre, nous allons donc quantifier l’apparition des structures coh´erentes `a l’´echelle de la cellule.
Sym´etries du for¸cage et ´ecoulement `a grande ´echelle
L’amplitude de ces structures peut ˆetre quantifi´ee par la mesure de la sonde Vives UL, la vitesse moyenne entre le centre et le bord de la cellule. Ces structures `a grande
´echelle doivent briser la sym´etrie du for¸cage, qui est invariant par sym´etrie par r´eflexion selon les axes 0x et 0y.
L’´ecoulement moyen retrouve n´eanmoins ces sym´etries, sous les hypoth`eses d’er- godicit´e du syst`eme 1. Par exemple, les amplitudes des modes de Fourier du champ
de vitesse de nombre d’onde nx ou ny impairs doivent ˆetre de moyenne nulle, car
anti-sym´etriques par r´eflexions selon les axes 0x et 0y.
Or ULmesure la contribution des modes de nombre d’onde nxet nyimpairs. En plus
d’ˆetre de moyenne nulle, la distribution P des amplitudes de UL doit ˆetre invariante
par changement de signe, c’est `a dire
P (−UL) = P (UL) (5.1)
La forme de cette distribution est `a priori inconnue, mais on peut supposer que l’´emergence de structures coh´erentes dans la cellule va l’affecter.
Distribution des amplitudes de vitesse
Des ´etudes exp´erimentales et num´eriques [19, 49, 56] ont montr´e le caract`ere quasi- gaussien des amplitudes des composantes de la vitesse v et de la fonction courant ψ dans le r´egime turbulent, o`u les structures sont petites par rapport `a la taille du domaine. Cette fonction de courant est directement reli´ee `a UL, car le flux φ entre le
centre et la paroi est ´egale `a la diff´erence de la fonction de courant entre ces deux points. On peut alors supposer que cette distribution suit une loi gaussienne pour de faibles valeurs de Rh.
Cependant l’augmentation de Rh va favoriser l’´emergence de structures coh´erentes `a l’´echelle de la cellule, et ces derni`eres affecteront la forme de la distribution. Il doit alors exister une transition, observable sur la forme des distributions entre le r´egime turbulent, o`u les statistiques sont gaussiennes, `a un autre r´egime turbulent caract´eris´e par l’´emergence de structures `a l’´echelle de la cellule.
Bien qu’il existe des ´etudes sur les propri´et´es de ces r´egimes, comme l’´evolution des spectres spatiaux en fonction de Rh [66], aucune ´etude ne s’est int´eress´ee `a la nature de leur transition.
5.1.3
Plan du chapitre
Dans ce chapitre, nous allons nous int´eresser aux diff´erentes transitions pour Rh > 10. Dans la premi`ere section, nous ´etudierons les moments de la variable UL qui indiquent
la pr´esence de deux transitions. La premi`ere transition se produit `a Rh ≃ 12 et est caract´eris´ee par une d´eviation de la distribution de UL du comportement gaussien.
Dans la section 3, nous quantifierons cette transition en ´etudiant la distribution de P (UL).
La seconde transition `a Rh ≃ 30 est associ´ee `a une stabilisation des propri´et´es statistiques de UL, telle que la norme ou le coefficient d’aplatissement, qui saturent
et deviennent ind´ependantes de Rh. Afin d’´etudier cette transition, nous analyserons dans la section 4 les champs moyens de vorticit´e issus du suivi de particules. Dans la
1
Cette hypoth`ese implique que la moyenne temporelle est ´equivalente `a la moyenne statistique sur les diff´erentes r´ealisations
section 5, nous montrerons que cette transition est due `a l’´emergence d’une structure particuli`ere du champ de vorticit´e, qui correspond `a l’´etat condens´e (cf chapitre 1). Les propri´et´es de cet ´etat seront analys´ees dans la section 6.