Le montage exp´erimental

La cellule

Le galinstan est contenu dans une cellule carr´ee de PVC de section ext´erieure 138mm et de hauteur totale 85mm (figure 2.1). L’´epaisseur des parois verticales est de 9mm, celle du fond de la cellule vaut 15 mm. Le fluide remplit une section int´erieure de largeur L = 120 mm. Le fond de la cellule est perc´e par huit trous traversant de 8 mm de diam`etre et de neuf trous traversant de 1 mm. `A chaque extr´emit´e de ces trous, on a effectu´e un lamage laissant une encoche pour couler une colle3 _{permettant l’´etanch´eit´e}

de la cellule. Les trous de 8 mm sont destin´es aux ´electrodes en laiton de 8mm, qui affleurent au fond de la cellule. Les trous de 1 mm sont pour les sondes Vives en inox, qui d´epassent de 7.5 mm du fond de la cellule. Cette cellule est remplie au maximum de 2 cm de galinstan, la valeur maximale du rapport h/L vaut alors 16.6%.

Figure 2.1 – Gauche : vue de dessus du sch´ema de la cellule. Droite : vue en coupe.

L’injection du courant

Les ´electrodes de 8 mm de diam`etre permettent l’injection d’un courant continu dans la cellule, grˆace aux quatre ´electrodes positives et aux quatre ´electrodes n´egatives. Chacune de ces ´electrodes est reli´ee en s´erie `a une r´esistance de 50mΩ, qui est ensuite connect´ee `a l’alimentation.

Un amalgame se forme entre les ´electrodes de laiton et le galinstan, cr´eant ainsi une r´esistance de contact entre le fluide et le laiton de l’ordre du mΩ, variant d’une ´electrode `a l’autre. La valeur de la r´esistance de puissance est choisie de telle sorte que la r´esistance de contact entre le fluide et l’´electrode soit n´egligeable par rapport `a la r´esistance totale entre l’alimentation et l’´electrodes. Le r´eseau est ainsi ´equilibr´e et permet d’injecter la mˆeme intensit´e dans chaque ´electrode.

L’alimentation est une Agilent 6690A, 10 V et 400 A, contrˆol´ee en courant. La polarit´e des ´electrodes est altern´ee spatialement, comme l’indique la figure 2.2, o`u les ´electrodes positives sont en bleu et les ´electrodes n´egatives en rouge. Ces r´esistances sont fix´ees sur une plaque de cuivre, qui est refroidie par un serpentin reli´e `a un bain

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Figure 2.2 – Sch´ema de l’injection du courant dans la cellule.

thermostat´e. Le courant total inject´e peut monter jusqu’`a 200A ce qui correspond `a un courant de 50A et une puissance dissip´ee de 125W par r´esistance.

Ce montage est analogue `a celui de Sommeria [56]. Cependant, notre injection du courant est diff´erente car nos ´electrodes sont rasantes, plus larges et moins nombreuses (2 × 4 tourbillons dans notre cas et 6 × 6 pour l’exp´erience de Sommeria).

Le champ magn´etique

La cellule est plac´ee au centre d’un sol´eno¨ıde (cf figure 2.3). Cette bobine est aliment´ee par une alimentation Power-Ten 10V − 1000A. Le champ magn´etique B0 mesur´e au

centre et `a 10mm au-dessus du fond de la cellule varie lin´eairement avec le courant inject´e dans la bobine Ib tel que

B0 = 1, 64 · 10−4× Ib Tesla. (2.2)

Les variations du champ magn´etique sont de l’ordre de 5 − 10% dans la cellule. Le courant Ib varie de 500 `a 750 A et le champ magn´etique est alors compris entre 82 et

123 milliTesla, soit 820 et 1230 Gauss4_{. Une circulation d’eau permet le refroidissement}

de la bobine.

2.1.4

Le for¸cage ´electromagn´etique

Un des int´erˆets du m´etal liquide r´eside dans la possibilit´e de forcer un ´ecoulement grˆace `a la force de Laplace j⊥ × B0, engendr´ee par le champ magn´etique B0 et les

courants j_⊥ perpendiculaires au champ magn´etique5_{. L’´equation de conservation de la}

charge devient alors

∇⊥· j⊥= −∂zjz. (2.3)

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Pour donner un ordre de grandeur, le champ magn´etique terrestre est de l’ordre de 0.1mT soit un Gauss.

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Figure 2.3 – Photographie du montage. On observe la cellule grise au centre du sol´enoide, qui est ´eclair´e. La surface m´etallique r´efl´echissante est particuli`erement vi- sible. Les cˆables rouges d’alimentation de la bobine sont `a droite et la circulation d’eau pour le refroidissement de la bobine `a gauche.

Ces courants j_⊥sont essentiellement localis´es dans la couche de Hartmann. Les ´electro- des injectant un courant jz0 sont consid´er´ees comme des sources ou des puits de cou-

rants surfaciques J⊥ dans la couche de Hartmann d’´epaisseur δH tels que

∇⊥· J⊥= −[jz]δH0 avec J⊥ =

Z δH

0

j_⊥dz. (2.4) L’int´egration de l’´equation de continuit´e du courant dans la direction verticale montre que la divergence de J⊥ est non-nulle juste au dessus des ´electrodes. La densit´e de

courant J⊥ peut alors ˆetre consid´er´ee comme radiale proche de chaque ´electrode. La

force de Laplace f int´egr´ee sur l’´epaisseur du fluide h pour un champ magn´etique appliqu´e uniforme B = B0ez 6 vaut ainsi

Rh 0 [j × B] dz =  Rh 0 j⊥dz  × B =RδH 0 j⊥dz  × B = J⊥× B = −J⊥B0eθ . (2.5)

Le fluide subit une force azimutale `a proximit´e des ´electrodes et le sens de rotation d´ependra de la polarit´e de l’´electrode (cf figure 2.2).

Cependant cet argument ne nous renseigne que sur le for¸cage proche des ´electrodes. Nous allons voir que le rotationnel du for¸cage ∇×f dans la direction ez peut ˆetre d´efini

dans tout le domaine. On peut ainsi d´evelopper le rotationnel de la force de Laplace

[∇ × (j × B)] · ez = B · ∇jz− j · ∇Bz. (2.6)

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Le champ magn´etique ´etant presque homog`ene, le second terme est n´egligeable. En moyennant sur l’´epaisseur h du fluide, le rotationnel du for¸cage devient

Z h 0 [∇ × (j × B) · e z] dz = B0 Z h 0 ∂zjzdz = −B0j0zez. . (2.7)

Le rotationnel du for¸cage est proportionnel `a la densit´e de courant inject´ee j0z dans

la cellule. La vorticit´e ´etant seulement inject´ee au-dessus des ´electrodes, le for¸cage est irrotationnel dans le reste du fluide (∇ × f = 0).

De plus, la vorticit´e inject´ee n’est th´eoriquement pas affect´ee par la r´epartition des courants dans la cellule ou par la pr´esence de courant induit. En effet, le calcul ci-dessus montre que seuls les courants verticaux `a travers le fond cellule et la paroi sup´erieur comptent.