M´ethodes rigoureuses de calcul de l’efficacit´e de diffraction

tion

Les propri´et´es optiques d’un r´eseau dont la p´eriode est tr`es grande devant la longueurs d’onde (d >> λ : r´eseaux peu dispersifs) peuvent ˆetre calcul´ees par une m´ethode ana- lytique approch´ee. Cette description analytique du ph´enom`ene de diffraction peut ˆetre utilis´ee pour d´efinir les param`etres g´eom´etriques du profil d’un r´eseau de faible rapport de forme. Dans le cas de r´eseaux de diffraction tr`es dispersifs, comme c’est le cas pour les r´eseaux de compression, les m´ethodes approch´ees ne sont plus valides. Un traitement

vectoriel du champ ´electromagn´etique, c’est-`a-dire une r´esolution rigoureuse des ´equations de Maxwell, est alors utilis´ee et c’est ce que l’on nomme aujourd’hui la th´eorie ´electro- magn´etique des r´eseaux. Nous nous pla¸cons dans le cas de r´eseaux de diffraction dont la p´eriode d est de l’ordre de la longueur d’onde λ, fonctionnant proche de l’angle de Lit- trow et respectant la condition 2 > λ/d > 2/3. Ceci implique que nous aurons seulement une r´eflexion sp´eculaire (ordre 0) et une r´etror´eflexion (ordre -1) dont nous chercherons `a maximiser l’efficacit´e. La conservation de l’´energie impose que la somme des efficacit´es des diff´erents ordres de diffraction soit ´egale `a l’unit´e. Ainsi, l’efficacit´e absolue d’un ordre de diffraction sera donn´ee par le rapport entre l’´energie diffract´ee dans cet ordre et l’´energie incidente. Cette d´efinition ne prend pas en compte les pertes par absorption du mat´eriau, c’est pourquoi une autre d´efinition de l’efficacit´e (relative) est donn´ee par le rapport entre l’´energie diffract´ee et l’´energie r´efl´echie par un miroir plan constitu´e du mˆeme mat´eriau que le r´eseau, ici un miroir `a multicouches di´electriques.

Parmi les m´ethodes rigoureuses de calcul de l’efficacit´e de diffraction, la m´ethode int´e- grale est la premi`ere `a ˆetre apparue [47]. Elle permet de traiter de mani`ere performante un grand nombre de r´eseaux diff´erents (r´eseaux conducteurs ou di´electriques, ´echelettes, mul- ticouches, . . .). D’autres m´ethodes sont ´egalement utilis´ees comme la m´ethode de trans- formation de coordonn´ees (ou m´ethode de Chandezon) [48], m´ethode des ´el´ements finis [49], analyse rigoureuse des ondes coupl´es RCWA (ou m´ethode de Moharam et Gaylord) [50], etc . . .

Pour les r´eseaux `a multicouches di´electriques de profil lamellaire, d’autres m´ethodes plus performantes leur ont ´et´e pr´ef´er´ees. En particulier, les m´ethodes diff´erentielles (diff´eren- tielle classique et modale) sont celles qui sont les plus utilis´ees actuellement pour le calcul de l’efficacit´e de diffraction des r´eseaux MLD [51], [40].

M´ethode diff´erentielle classique

La m´ethode diff´erentielle classique consiste `a projeter les ´equations de propagation sur une base de fonctions exponentielles p´eriodiques. Un syst`eme d’´equations diff´erentielles coupl´ees ordinaire est obtenu, pour lequel les variables sont les composantes continues du champ ´electromagn´etique dans la structure diffractive [47], [52]. La d´etermination des champs ´electrique et magn´etique se fait grˆace `a des algorithmes d’int´egration. Dans notre cas, la g´eom´etrie d’un r´eseau de diffraction MLD peut se repr´esenter par la figure (3.6). La structure diffractive est repr´esent´ee par une zone modul´ee o`u la permittivit´e di´elec- trique ε(−→r ) d´epend du vecteur position −→r = (x, y, z). De part et d’autre se trouvent deux milieux homog`enes, le substrat et le superstrat, dont les permittivit´es respectives ε0

et εM sont constantes. La connaissance du champ ´electromagn´etique incident ainsi que la

d´efinition pr´ecise du profil de traits permettent de calculer le champ diffract´e en dehors de la structure diffractive. La donn´ee de ces deux champs permet ensuite de calculer le champ `a l’int´erieur de la structure. Les champs ´electrique et magn´etique `a calculer doivent

Fig. 3.6 – G´eom´etrie d’un r´eseau de diffraction pour le calcul des champs ´electromagn´e- tiques par la m´ethode diff´erentielle.

v´erifier les trois conditions suivantes :

1. Tout d’abord, ils doivent v´erifier les ´equations aux d´eriv´ees partielles de Maxwell et par cons´equent l’´equation de propagation de Helmholtz :

− → ∇ ∧−→E (−→r , ω) = iωµ0−→H (−→r , ω) (3.6) − → ∇ ∧−→H (−→_{r , ω) = −iωε(−}→r , ω)−→E (−→r , ω) (3.7) ∇ ·−→E (−→r , ω) = 0 (3.8) ∇ ·−→H (−→r , ω) = 0 (3.9) △−→E (−→r , ω) + k2(−→r , ω)−→E (−→r , ω) = 0 (3.10) o`u k(−→r , ω) = ε(−→r , ω)µ0ω2.

2. Les champs doivent ´egalement v´erifier les conditions aux limites des ´equations de Maxwell. Dans le cas d’un empilement di´electrique, les conditions aux limites im- posent une continuit´e des rapports entre les composantes des champs ´electrique et magn´etique (admittance H/E ou imp´edance E/H).

3. Une derni`ere condition, dˆıte condition de l’onde sortante, impose que les champs soient born´es `a l’infini et que seule l’onde incidente se propage en direction du r´e- seau.

La p´eriodicit´e des traits du r´eseau suivant la coordonn´ee spatiale x et l’invariance suivant la coordonn´ee spatiale z permet d’´ecrire les ´equations de Maxwell d´efinies pr´ec´edemment

sous la forme d’un syst`eme diff´erentiel du 1er <sub>ordre :</sub> d−→F dy = M − →<sub>F , avec</sub>−→<sub>F =</sub>         Ez Hx Hz Ex         (3.11) L’int´egration du syst`eme diff´erentiel s’effectue suivant la coordonn´ee spatiale y, du sub- strat au superstrat, ce qui permet finalement de connaˆıtre les champs ´electrique et ma- gn´etique dans les diff´erentes zones d´efinies par la m´ethode (substrat, zone modul´ee, su- perstrat).

Cette m´ethode de calcul pr´esente l’´enorme avantage d’ˆetre adapt´ee `a presque tous les types de r´eseaux : m´etalliques ou di´electriques, en r´eflexion ou en transmission, lamel- laires ou sinuso¨ıdaux, `a cristaux photoniques,. . . . La limitation principale serait peut ˆetre dans le cas de r´eseaux m´etalliques trait´es comme parfaitement conducteurs [51].

M´ethode modale

Concernant la m´ethode modale [53], une approche intuitive consiste `a consid´erer la propagation du champ ´electromagn´etique dans la direction y (figure 3.6) comme la pro- pagation dans un guide d’onde plan pour lequel seul quelques modes discrets sont guid´es [62]. Les constantes de propagation de ces modes km

y = k0nmeff sont d´efinies par les indices

effectifs nm

eff caract´eristiques du guide d’onde. Lorsque n2eff > 0, les modes se propagent

dans le guide d’onde alors que les modes pour lesquels n2

eff < 0 sont ´evanescents. L’onde

incidente de polarisation TE peut ˆetre d´efinie par son champ ´electrique invariant suivant z (parall`ele aux traits du r´eseau) :

E_zinc_{(x, y) ∼ e}−_ik0(x sin α+y cos α)

(3.12) o`u k0 = 2π/λ0 est le nombre d’onde et α l’angle d’incidence au r´eseau. La g´eom´etrie

de la structure diffractive permet d’´ecrire le champ ´electrique dans la r´egion du r´eseau comme le produit d’une fonction u d´ependant de la variable d’espace x et d’une fonction v d´ependant de y :

E_zres(x, y) = u(x)v(y) (3.13) Ces deux fonctions sont solutions de l’´equation de Helmholtz :

µ ∂2 ∂y2 + k 2 y ¶ v(y) = 0 (3.14)

µ ∂2 ∂x2 + k 2 x,i ¶ u(x) = 0 (3.15) o`u kx,i2 = ki2 − k2y et i = (s, t) l’indice d´efinissant respectivement les sillons et les traits

du r´eseau. L’´equation 3.14 a pour solution v(y) = C exp(−ik0neffy) dans le cas o`u l’on

n´eglige les r´eflexions multiples aux diff´erentes interfaces. C repr´esente la part de l’´energie de l’onde incidente qui est coupl´ee aux modes du r´eseau. Pour des r´eseaux MLD de grande profondeur de traits comme c’est le cas ici, les modes evanescents sont n´eglig´es et seuls les modes guid´es d´eterminent les propri´et´es diffractives du r´eseau.

L’´equation 3.15 peut se r´esoudre s´eparement dans les sillons et dans les traits du r´e- seau, ce qui donne :

u(x) = Ax cos(kx,i) + Bx sin(kx,i) (3.16)

Les conditions aux limites du champ permettent d’obtenir une relation de d´etermination de l’indice effectif en fonction des conditions d’incidence :

cos(k0d sin α) = f (n2eff) (3.17)

o`u d est la p´eriode du r´eseau et f la fonction de l’indice effectif qui s’´ecrit : f (n2eff) = cos(cϕ) cos((d − c)ξ) −

ϕ2_{+ ξ}2 2ϕξ sin(cϕ) sin((d − c)ξ) (3.18) avec ϕ = kx,s = k0 q 1 − n2 eff, ξ = kx,t = k0 q n2 t − n2eff et n2t = ε la permittivit´e de

la couche grav´ee. Les intersections des fonctions cos(k0d sin α) et f (n2eff) d´efinissent les

valeurs discr`etes de l’indice effectif neff ce qui caract´erise les modes du r´eseau. De plus, la

condition de pseudo-p´eriodicit´e du r´eseau suivant la variable x permet d’´ecrire :

u(x + d) = u(x) exp(−ik0d sin α) (3.19)

Dans le cas d’un fonctionnement `a Littrow, la fonction u(x) se r´ep`ete toutes les deux p´eriodes. Enfin, l’efficacit´e d’excitation des modes du r´eseau par une onde incidente ou efficacit´e de diffraction est analogue `a la th´eorie des guides d’onde et est donn´ee par l’int´e- grale de recouvrement entre le champ de l’onde incidente et un mode donn´e du r´eseau [55]. La m´ethode de calcul modale pr´esente l’avantage d’ˆetre bien adapt´ee aux r´eseaux `a profil lamellaire comme les r´eseaux MLD. Cette m´ethode de calcul est utilis´ee par le LLNL

pour le calcul de l’efficacit´e de diffraction des r´eseaux MLD `a 1053 nm. Cependant, elle ne permet pas de traiter tous les types de r´eseaux en particulier les r´eseaux m´etalliques avec traitement di´electrique, r´eseaux ´echelettes et les r´eseaux XUV.

Ceci n’est qu’un bref aper¸cu des deux principales m´ethodes, dont il existe beaucoup de variantes, pour le calcul de l’efficacit´e de diffraction des r´eseaux MLD. Toutes les m´e- thodes ´evoqu´ees sont aujourd’hui impl´ement´ees dans des logiciels de calculs commerciaux (SolidTM_{, PcGrate}TM_{, MaX-1}TM_{, GSolver}TM_{, DiffractMOD}TM_{) et sont utilis´ees par tous}

les fabricants de r´eseaux de diffraction.