Cas d’un compresseur `a r´eseaux monolithiques

D´efinition sibylline de la phase spectrale d’un compresseur `a r´eseaux

Un compresseur d’impulsions `a r´eseaux standard est constitu´e d’une paire de r´eseaux de diffraction parall`eles et ´eventuellement d’un di`edre pour une configuration en double passage [13]. Consid´erons une impulsion laser de fr´equence ω se propageant dans un com- presseur d’impulsions compos´e d’une paire de r´eseaux parall`eles o`u l’angle d’incidence est not´e α, la densit´e de traits N et la distance inter-r´eseaux suivant la normale G (figure 6.1). L’´equation des r´eseaux permet d’exprimer l’angle de diffraction β en fonction de la fr´equence laser ω : β(ω) = arcsin ·2πN c ω − sin α ¸ (6.1) La dispersion angulaire introduite par les r´eseaux am`ene les diff´erentes longueurs d’onde

Fig. 6.1 – Sch´ema d’un compresseur d’impulsions en simple passage compos´e d’une paire de r´eseaux parall`eles.

du spectre de l’impulsion `a parcourir des chemins optiques diff´erents, ce qui revient `a les d´ecaler temporellement. Il est possible de calculer le d´ephasage ou phase spectrale introduite par la propagation d’une impulsion dans un compresseur `a r´eseaux en simple passage de plusieurs mani`eres. En premi`ere approximation, ces calculs peuvent s’effectuer en consid´erant l’hypoth`ese des ondes planes mˆeme si, en r´ealit´e, les faisceaux sont limit´es spatialement ce qui n´ecessite un traitement rigoureux de la propagation dans le com- presseur []. Une premi`ere expression de la phase spectrale introduite par un compresseur `a r´eseaux peut ˆetre donn´ee par un calcul d’optique g´eom´etrique de d´ephasage entre les points A (1er _{r´eseau) et B’ (2}d _{r´eseau) (figure 6.1) [13] :}

φ(ω) = ω

cG cos β(ω) + 2πN G tan β(ω) (6.2) Le premier terme correspond `a la phase accumul´ee selon la direction de propagation de l’onde entre les deux r´eseaux, du point A au point B’. Le second terme correspond au saut de phase engendr´e par chaque trait du r´eseau de densit´e de traits N . En effet, chaque trait du r´eseau apporte un d´ephasage de 2π et le nombre de traits entre B et B’ est N G tan β(ω). Ce second terme que l’on qualifie parfois d’heuristique est plus intuitif que rigoureux car il d´epend d’un choix arbitraire de l’origine des phases. Si le calcul de d´ephasage se fait entre les points A et B commun `a la normale aux r´eseaux, l’expression se simplifie par :

φ(ω) = ω

cG cos β(ω) (6.3) Une approche plus rigoureuse du calcul de la phase spectrale d’un compresseur `a r´e- seaux repose sur un traitement du syst`eme dispersif en terme de vecteurs d’onde [87], [88]. La diff´erence de phase entre les plans d’onde incident (Σ) et r´esultant (Σ′

), parall`eles aux r´eseaux (incidence normale), selon la normale commune (−→AB) et pour une direction de propagation suivant un vecteur d’onde −→k s’´ecrit (figure 6.2) :

Fig. _{6.2 – Traitement rigoureux du calcul de la phase spectrale d’un compresseur par le} formalisme des vecteurs d’onde.

φ(ω) =−→k .−→AB = ω

cG cos β(ω) (6.4) Cette ´equation est valable aussi bien pour des r´eseaux en transmission qu’en r´eflexion et se g´en´eralise pour des angles d’incidence quelconques (diff´erents de la normale) :

φ(ω) = ω c

G

cos αcos(α − β(ω)) (6.5) Les expressions 6.2, 6.3 et 6.5 de la phase spectrale ne diff`erent que d’un terme lin´eaire en ω pr`es, elles peuvent donc ˆetre utilis´ees pour le calcul des d´eriv´ees successives de la phase spectrale.

D´eveloppement de la phase spectrale en une s´erie de Taylor

Dans le cas d’une impulsion laser de faible largeur spectrale (∆λ << λ), la phase spectrale peut s’exprimer sous la forme d’un d´eveloppement en une s´erie de Taylor au voisinage de la fr´equence centrale ω0 :

φ(ω) = φ0+ φ1(ω − ω0) + 1 2φ2(ω − ω0) 2₊1 6φ3(ω − ω0) 3 + o((ω − ω0)4) (6.6)

o`u φ0 est un terme de phase constant d´ecrivant principalement la propagation de l’onde

porteuse, φ1 correspond au d´elai de groupe relatif `a la propagation de l’enveloppe du

champ ´electrique dans le compresseur, φ2 repr´esente la dispersion du d´elai de groupe et

φ3 est un terme de dispersion du 3`eme ordre1. Les termes d’ordres sup´erieurs ne sont pas

consid´er´es dans la mesure o`u nous ´etudions ici des impulsions sub-picosecondes. Les diff´e- rents termes de la phase spectrale s’expriment en fonction des param`etres du compresseur (α, β0, N, L) :

1. Les acronymes anglais couramment utilis´es sont GDD (group delay dispersion) pour φ2 et TOD

φ0 = φ(ω0) = 2π λ0 L cos2β0 (6.7) φ1 = ∂φ ∂ω ¯ ¯ ¯ ¯_ω 0 = L c(1 + sin α sin β0) (6.8) φ2 = ∂2_φ ∂ω2 ¯ ¯ ¯ ¯ ω0 = − Lλ 2 0N2 2πc cos2_β 0 (6.9) φ3 = ∂3_φ ∂ω3 ¯ ¯ ¯ ¯ ω0 = 3Lλ 4 0N2(1 + sin α sin β0) 4π2_cos4_β 0 (6.10) o`u β0 = β(λ0) est l’angle de diffraction `a la longueur d’onde centrale λ0 et L la distance

de propagation inter-r´eseaux `a la longueur d’onde λ0 (G = L cos β0). Seuls les termes

d’ordre 2 (φ2) et d’ordre 3 (φ3) de la phase spectrale sont consid´er´es pour la compression

de l’impulsion.

Fig. 6.3 – (a) Profil temporel d’une impulsion gaussienne de 500 fs limit´ee par Fourier (courbe solide) et avec un terme de dispersion quadratique φ2=0.1 ps2 (courbe pointill´ee)

´elargissant l’impulsion `a 750 fs. (b) Profil temporel en ´echelle logarithmique sans dispersion cubique (courbe solide) et avec φ3=-0.08 ps3 (courbe pointill´ee).

Le terme φ2 am`ene la dur´ee d’impulsion `a ´evoluer de la mani`ere suivante dans le cas

gaussien : τ (φ2) = τ0 µ 1 + (4 ln 2φ2) 2 τ4 0 ¶1/2 (6.11) o`u τ0est la largeur temporelle `a mi-hauteur de l’impulsion limit´ee par la transformation de

Fourier. Le terme φ3 modifie la forme de l’impulsion en la dissym´etrisant et en d´egradant

le contraste temporel2 _{[89], [19]. En effet, lorsque l’accord de phase spectrale n’est pas}

respect´e `a l’ordre 3, le profil temporel se trouve alt´er´e par des rebonds dans les pieds de l’impulsion. La figure 6.3 pr´esente l’influence d’un terme de dispersion quadratique (φ2)

sur l’´elargissement de la dur´ee d’impulsion ainsi que l’influence d’un terme de dispersion d’ordre 3 (φ3) sur le contraste temporel. Pour φ2 = 0.1 ps2, une impulsion de dur´ee 500

fs limit´ee par Fourier sera ´elargie `a une dur´ee de 750 fs (figure 6.3a). Pour φ3 = -0.08 ps3,

le profil temporel devient dissym´etrique avec l’apparition de rebonds visible en ´echelle logarithmique. Les premiers rebonds apparaissent ici `a un niveau d’intensit´e de 10−₂

ce qui affecte grandement le contraste temporel picoseconde (figure 6.3b).