M´ ethodes alg´ ebriques

d’informations a priori et elles permettent de faire un traitement non invariant des pro-jections. De ce fait, elles r´esolvent naturellement les probl`emes des redondances diff´erentes et de donn´ees manquantes.

Nous rassemblons dans ce document sous l’appellation “ m´ethodes it´eratives ” les approches alg´ebriques et les approches statistiques. Historiquement les approches alg´ebriques ont ´et´e les premi`eres `a ˆetre utilis´ees par Hounsfield dans le cadre de la re-construction tomographique [9]. Ces approches cherchent `a r´esoudre num´eriquement un syst`eme lin´eaire de grande dimension avec la m´ethode de Kaczmarz ([50], [45], et [38]). Les m´ethodes statistiques ont d’abord ´et´e utilis´ees pour r´esoudre le probl`eme de la tomo-graphie `a ´emission de position (TEP) [33]. Dans ces travaux, le faible taux de comptage des photons a conduit `a utiliser une statistique poissonnienne. Cette approche `a ensuite ´

et´e ´etendue `a la tomographie `a rayons X [18]. Notons que dans ce cas le mod`ele pois-sonnien n’est pas le plus pr´ecis car il y a la pr´esence d’un bruit ´electronique relativement important qui peux ˆetre facilement mod´elis´e par un bruit gaussien. Nous avons donc `a faire `a la somme d’un processus poissonnien et d’un bruit gaussien [20] et [16]. Nous exposerons donc dans la suite les principales approches alg´ebriques et statistiques.

II.3.1 M´ethodes alg´ebriques

Dans le CT, apr`es lin´earisation des mesures, nous obtenons les int´egrales des coefficients d’att´enuations de l’objet sur l’ensemble des lignes droites. Elles sont d´ecrites par les ´

equations lin´eaires. Du point de vue des m´ethodes alg´ebriques, le but de la reconstruction tomographique est de trouver les coefficients d’att´enuations inconnus en r´esolvant ces ´

equations lin´eaires.

Nous d´efinissons un objet f born´e dans un support rectangulaire Ω. f est discr´etis´e en N pixels avec N = N_f × N_f et un pixel est d´efini par un petit carr´e, voir la figure

2.8. Il y a Mφ projections entre le φ0 et φ0 + π, o`u φ0 est la position angulaire initiale. Les faisceaux des rayons X traversant l’objet sont mesur´es par M<sub>d</sub> cellules de d´etecteur. La discr`etisation de la transform´ee de Radon (eq.2.1) pour la mesure de la cellule i de mani`ere suivante :

g_i = ^X

fjsurLi,φ

f_jl_ij (2.44)

o`u le rayon X sur la ligne droite L_i,φ connecte la source et la cellule i du d´etecteur, i = (mφ− 1) ∗ Mφ+ md, avec le num´ero des projections mφ= 1, 2, ..., Mφet le num´ero de cellule de d´etecteur m_d = 1, 2, ..., M_d. l_ij est la longueur d’intersection de la ligne L_i,φ avec le pixel j de l’objet, ce qui repr´esente la contribution du pixel j de l’objet sur la mesure de la cellule i du d´etecteur, voir la figure2.8.

Pour tout l’objet, les ´equations peuvent ˆetre exprim´ees sous forme matricielle :

g = Hf (2.45)

avec g ∈ R^M le vecteur des mesures, o`u M est le nombre des mesures avec M = M<sub>φ</sub>∗ M<sub>d</sub>. La matrice de syst`eme H ∈ RM ×N, o`u son ´el´ement h<sub>ij</sub> d´ecrit la contribution du pixel j `a la mesure i du d´etecteur avec h_ij = l_ij, i=1, ..., M et j=1, ..., N.

Si la matrice du syst`eme H est inversible, la reconstruction de l’objet s’´ecrit comme

f = H⁻¹g (2.46)

M´ethodes de reconstructions it´eratives

Figure 2.8 – Illustration du rayon X i traversant l’image discr`ete de l’objet. Le pixel j est ´

enum´er´e par j = (j₂ − 1) ∗ N_f + j₁.

o`u H<sup>−1</sup> est l’inverse de la matrice du syst`eme H. Mais la matrice H n’est souvent pas inversible. D’abord, la matrice H n’est pas une matrice carr´ee si le nombre d’inconnus de f N n’est pas ´egal au nombre des mesures de g M. Ensuite elle n’est pas non plus inversible num´eriquement mˆeme si N est ´egal `a M avec pr´esence du bruit.

Afin de r´esoudre cette ´equation lin´eaire 2.45, Kaczmarz ([50] et [38]) a propos´e une solution it´erative. L’estimation de pixel j inconnu en (k + 1)i`eme est exprim´ee comme suit, f_j^(k+1), j=1, 2, ..., N, f_j^(k+1) = f_j^(k)+ ^gi− g_i^0(k) PN w=1h2 iw h_ij (2.47) avec g_i^0(k) = N X w=1 f_w^(k)hiw (2.48)

o`u g<sub>i</sub><sup>0(k)</sup> est la projection estim´ee de f(k) sur la ligne droite L<sub>i</sub>. Nous nous int´eressons `a la diff´erence entre les deux estimations successives δfj,

δf_j^(k+1) = f_j^(k+1)− f_j^(k)= ^gi− g_i^0(k) PN

w=1h2 iw

h_ij (2.49)

Les m´ethodes alg´ebriques de reconstruction tomographique bas´ees sur la m´ethode de Kaczmarz consistent `a r´esoudre l’´equation lin´eaire2.45de mani`ere it´erative. Elles peuvent

II.3.1 - M´ethodes alg´ebriques

ˆ

etre d´ecompos´ees en trois groupes : les m´ethodes ART [30], [51] et [52], les m´ethodes SIRT [31], [53] et les m´ethodes SART [32].

II.3.1.1 ART

Les m´ethodes ART sont introduites par Gordon et al en tomographie ´electronique et pho-tographie `a rayons X [30]. Gordon et al ont propos´e deux algorithmes alg´ebriques de re-construction tomographique, un algorithme alg´ebrique additif et un algorithme alg´ebrique multiplicatif (MART, acronyme de Multiplicatif Algebraic Reconstruction Technique).

En prenant en compte la contrainte de la positivit´e des coefficients d’att´enuation lin´eaire, Gordon et al ont r´e´ecrit l’´etape de mise `a jour (2.47) dans leur algorithme additif comme ci-dessous: f_j^(k+1) = max{f_j^(k)+ ^gi − g^0(k)_i PN w=1h2 iw h_ij, 0} (2.50)

le terme de mise `a jour de pixel j f_j de MART est donn´ee dans [30], f_j^(k+1) = ^gi

g_i^0f

(k)

j (2.51)

o`u g_i est la mesure du rayon X i et la projection du rayon X i g_i⁰ est estim´ee par l’´eq.2.48. La contrainte de la positivit´e est syst´ematiquement satisfaite si l’initialisation de f_j est positive. Une image initiale simple est utilis´ee pour tous les algorithmes dans [30] avec f(0) = ^Tc

N, o`u T_c est la somme des CALs de l’objet. T_c est calcul´e simplement, Tc =

M

X

i=1

gi (2.52)

Une approximation binaire dans la matrice du syst`eme H est utilis´ee dans [30]. h_ij =1 f_j ∈ L_i∩ Ω

0 f_j ∈ L/ _i∩ Ω ^(2.53)

Nous avons alors PN

w=1h²_iw = N_i dans l’´equation (2.47), o`u N_i est le nombre des pixels sur la ligne droite L_i. La diff´erence de pixel j (2.49) dans ART devient

δf_j^(k+1) = ^gi− g^0(k)_i

N_i ^(2.54)

avec h_ij = 1. L’´equation2.50 est r´e´ecrite comme ci-dessous, f_j^(k+1)= max{f_j^(k)+^gi− g_i^0(k)

N_i ^{, 0}. (2.55)}

L’approximation binaire est l’interpolation du plus proche voisin. Elle est correcte quand l’angle de projection φ = 0, parce que la longueur de l’intersection de la ligne L_φ est le nombre des pixels N_i multipli´e par la longueur unitaire de pixel. Mais elle n’est plus exacte quand φ = 45^°, la longueur de l’intersection devient√

2Ni multipli´e par unit´e 42

M´ethodes de reconstructions it´eratives

de pixel. Cela peut r´esulter des artefacts avec l’´equation (2.54). Nous modifions dans la suite l’´equation 2.54 [32] et [45], δf_j^(k+1) = ^gi Si − ^g 0(k) i Ni , (2.56)

o`u S_i est la longueur d’intersection du rayon X L_i avec l’objet.

En plus, les images reconstruites par ART sont de plus en plus bruit´ees au cours d’it´eration [31], [32], [45] et [38]. Afin d’avoir une reconstruction moins bruit´ee, nous pouvons utiliser la m´ethode de Kaczmarz avec relaxation. D’apr`es les ´equations 2.47,

2.49 et2.56, nous mettons `a jour de f_j avec relaxation comme suit : f_j^(k+1) = f_j^(k)+ $δf_j^(k+1) = f_j^(k)+ $(^gi

S_i − ^g

0(k) i

N_i ^{), (2.57)}

avec le param`etre de relaxation $, $ < 1. Les ARTs avec relaxation permettent une reconstruction moins bruit´ee ([54]) mais au d´etriment de la vitesse de convergence. Une autre solution de r´eduction du bruit dans les images reconstruites est de utiliser les m´ethodes SIRT [31] et [45].

II.3.1.2 SIRT

Dans les m´ethodes ART, nous mettons `a jour un pixel `a partir d’une projection pendant une it´eration. Dans une it´eration de SIRT, un pixel n’est pas modifi´e tant que toutes les projections soient utilis´ees [31]. Les formules additives (eq.2.50) et multiplicatives (eq.2.51) sont r´e´ecrites comme suit :

• algorithme additif direct

f_j^(k+1) = max{f_j^(k)+ PM i=1g_i PM i=1Si − PM i=1g^0(k)_i PM i=1Ni , 0} (2.58)

• algorithme multiplicatif direct f_j^(k+1) = PM i=1g_iPM i=1N_i PM i=1S_iPM i=1g_i^0(k)f (k) j (2.59)

La mise `a jour d’un seul pixel avec toutes les projections permet de r´eduire l’effet d’inconsistance de certaines projections dans SIRT. Par contre, le temps de calcul est plus long pour les approches SIRT, car la mise `a jour d’un seul pixel n´ecessite toutes les projections. Afin d’obtenir la qualit´e des images identiques aux approches SIRT tout en ayant un coˆut calculatoire limit´e, Andersen et al ont propos´e les m´ethodes SARTs [32] et [45].

II.3.1.3 SART

Les m´ethodes SARTs combinent les avantages des ARTs et des SIRTs [32], [45]. Pour cela, toutes les projections sont utilis´ees pour mettre `a jour un seul pixel comme SIRT et

II.3.1 - M´ethodes alg´ebriques

un mod`ele de projection plus pertinent est ´egalement utilis´e, ce qui permet une conver-gence plus rapide que celle des SIRTs. L’approche consiste `a ´echantillonner r´eguli`erement l’intersection du rayon X avec l’objet. Le pas d’´echantillonnage est not´e δs, la contribu-tion de l’objet `a la projection est calcul´e par interpolation lin´eaire en utilisant l’´equation ci dessous. Soit f (s_in) un point d’image et mi`eme l’´echantillon sur le rayons X i. Cette valeur peut ˆetre approch´ee comme suit :

f (s_in) = ^X

j∈V(f (sin))

d_ijnf_j (2.60)

o`u V(f (s<sub>in</sub>)) est le voisinage du point f (s<sub>in</sub>), d<sub>ijn</sub> est le coefficient de pond´eration associ´e `

a l’interpolation bilin´eaire d´ependant de la distance entre le pixel f (s_in) et ses voisins, n est le num´ero de l’´echantillon, n = 1, 2, ..., N_i⁰,(voir la figure2.9) [55] et [32]. La projection de rayon X i g_i⁰ est alors d´ecrite comme suit :

g⁰_i = N_i⁰ X n=1 f (s_in)δs = N_i⁰ X n=1 X j∈V(f (sin)) d_ijnf_j = N X j=1 f_j N_i⁰ X n=1 d⁰_ijnδs (2.61) avec

d⁰_ijn =d_ijn si pixel j ∈ V(f (s_in))

0 si pixel j /∈ V(f (s_in)) ^(2.62) En comparant l’´equation 2.48 et l’´equation 2.61, nous obtenons h_ij :

h_ij =

N_i⁰

X

n=1

d⁰_ijnδs (2.63)

Nous prenons δs ´egale `a la moiti´e de la largeur d’un pixel pour ne pas compromettre la r´esolution de reconstruction tout en ayant un coˆut de calcul r´eduit. Le pixel j f<sub>j</sub> est mis `

a jour avec toutes les projections dans les algorithmes de SART comme ci-dessous :

f_j^(k+1) = f_j^(k)+ PM i=1hij gi−PN j=1hijfj PN j=1hij  PM i=1h_ij ^(2.64)

Les m´ethodes alg´ebriques (ART, SIRT, SART) consid`erent la reconstruction tomo-graphique comme la solution des ´equations lin´eaires. Elles sont capables de reconstruire l’objet correctement quand le nombre des projections est limit´e et sont utiles dans le cas des projection non uniformes, o`u les m´ethodes analytiques ´echouent. Mais les m´ethodes alg´ebriques ne prennent pas en compte la nature stochastique du comptage des photons X par le d´etecteur (voir dans la sous-section I.3.2.3) et de la non-lin´earit´e dˆu au spectre des rayons X polychromatiques et du diffus´e. Pour cela, les m´ethodes statistiques sont donc propos´ees et bas´ees sur les mod`eles statistiques li´es `a l’acquisition, sur les m´ethodes de maximum de vraisemblance (MV) [18] et [20] et sur les m´ethodes bay´esiennes [35], [19] et [37].

M´ethodes de reconstructions it´eratives

Figure 2.9 – Illustration des projections avec ´echantillonnages r´eguliers. Le cercle (en ligne virtuelle) est la zone de reconstruction effective qui contient tout l’objet.