La tomographie par transmission consiste `a reconstruire la cartographie des car-act´eristiques d’att´enuation des mat´eriaux contenus dans l’objet inconnu. L’att´enuation d’un mat´eriau est d´ecrite par le coefficient d’att´enuation lin´eaire (CAL). Le CAL est d´efini par la diminution de l’intensit´e des rayons X par unit´e de longueur sur l’intensit´e des rayons X incidents, voir dans la figure 1.9.
µ = −
dI dr
I (1.1)
Approches classiques FBP
Figure 1.7 – Illustration du principe de la tomographie panoramique. (a) Les plans de diff´erentes profondeurs (plan 1, 2 et 3) sont d´ecrits respectivement par un triangle, un carr´e et un cercle, et le plan 2 est plan de focalisation. (b) Le triangle se d´eplace de droite `
a gauche lorsque la source des rayons X tourne de A `a B et en sens inverse pour le cercle. La position du carr´e est fix´ee entre l’angle A et l’angle B de la source des rayons X. Si nous ajoutons les projections A et B, le carr´e est net, par contre, le triangle et le cercle deviennent flous. La figure est extraite de [2].
o`u I est l’intensit´e des rayons X incidents, dr est l’´epaisseur fini d’un mat´eriau. Le CAL s’exprime g´en´eralement en cm−1.
Les approches classiques de reconstruction tomographique de type FBP sont couram-ment utilis´ees dans les scanners CT modernes en imagerie m´edicale et dans le monde industriel. Les m´ethodes FBP sont bas´ees sur les hypoth`eses suivantes :
• H1.1 : Les rayons X passant par l’objet inconnu sont monochromatiques. • H1.2 : Il n’y a pas de rayons X diffus´es capt´es par le d´etecteur.
• H1.3 : Le bruit des donn´ees est i.i.d (anonyme anglaise, independent, identical dis-tribution), apr`es pr´e-traitement des mesures du d´etecteur par l’oppos´e de log. L’hypoth`ese H1.1 signifie qu’il existe des rayons X d’une seule longueur d’onde. Et l’hypoth`ese H1.2 indique que tous les photons X re¸cus par le d´etecteur passent par l’objet sur la trajectoire rectiligne source-d´etecteur. Autrement dit, il n’y a pas de photons X diffus´es, cela signifie que tous les photons X diffus´es sont absorb´es, que le d´etecteur est infiniment ´eloign´e de l’objet inconnu, ou alors que tous les photons X s’enfuient du d´etecteur. Les hypoth`eses H1.1 et H1.2 permettent de d´ecrire le processus d’acquisition par la loi Beer-Lambert (voir l’eq.1.2). L’hypoth`ese H1.3suppose que le bruit du d´etecteur est
I.2.1 - Mod`ele simple li´e `a l’acquisition
Figure 1.8 – Illustration sch´ematique de la tomographie panoramique dentaire. la focali-sation se fait maintenant sur l’arcade des dents dans la mˆachoire. Lorsque la source des rayons X tourne sur l’arc parall`ele `a l’arcade de la mˆachoire, le d´etecteur se d´eplace dans le sens inverse.
Figure 1.9 – D´efinition de coefficient d’att´enuation lin´eaire µ.
multiplicatif, i.i.d, et que les rayons X peuvent toujours traverser l’objet inconnu. Bas´ees sur les hypoth`eses pr´ec´edentes, nous pouvons ´etablir un mod`ele simple li´e `a l’acquisition.
I.2.1 Mod`ele simple li´e `a l’acquisition
D’apr`es la d´efinition de CAL (eq.1.1), sous les hypoth`eses de H1.1 et H1.2, nous pouvons en d´eduire de la loi de Beer-Lambert, ci-dessous :
IL= I0e−RLµ(r,E0)dr (1.2) o`u I0 est l’intensit´e originale du faisceau des rayons X d’entr´ee, L est la trajectoire rec-tiligne du faisceau de rayons X, r est la coordonn´ee spatiale de l’objet inconnu, et E0 repr´esente l’´energie des photons X d´etermin´ee par leur longueur d’onde selon l’´equation 12
Approches classiques FBP
suivante :
E = hc
λlo (1.3)
o`u h est la constante de Planck (h = 6, 6261 × 10−20J s), c est la vitesse de la lumi`ere (c = 3, 0×108m/s) et λloest la longueur d’onde des rayons X, exprim´ee en ˚Angstrøm (10−10m). Typiquement, les ´energies des rayons X utilis´es dans la radiologie de diagnostique sont comprises entre 30 KeV et 150 KeV avec 1KeV = 1, 602 × 10−16J .
L’intensit´e IL du faisceau des rayons X monochromatiques transmis diminue expo-nentiellement en fonction de l’int´egrale du coefficient d’att´enuation du mat´eriau sur la trajectoire rectiligne des rayons X. En math´ematique, cette int´egrale sur la trajectoire rectiligne est la transform´ee de Radon (R) [14], qui est d´etaill´ee dans la premi`ere section du chapitre II.
Z
L
µ(r, E0)dr = RµL(E0) (1.4)
Si nous traitons les donn´ees des mesures du d´etecteur par l’oppos´e de log, nous obtenons la relation lin´eaire entre les CAL des mat´eriaux et les donn´ees logarithmiques. Ce pr´ e-traitement des donn´ees correspond `a une “ lin´earisation des donn´ees ” . Il est appliqu´e avant la reconstruction standard par FBP dans les scanners modernes. Les donn´ees logarithmiques repr´esentent l’att´enuation des rayons X g sur une trajectoire rectiligne donn´ee, comme gL ci-dessous.
gL= − logIL
I0 = RµL(E0) (1.5)
I.2.2 Inversion de la transform´ee de Radon par FBP
Nous pouvons estimer le CAL µ par inversion de la transform´ee de Radon. En math´ematique, il existe des formules d’inversion de la transform´ee de Radon, correspon-dantes aux m´ethodes de r´etro-projections filtr´ees.
Soit le vecteur d’objet inconnu f ∈ S(Rn) o`u S est l’espace de Schwartz et n est la dimension d’objet, f est le vecteur de CAL, Rf est la transform´ee de Radon de f qui est acquise avec les scanners par rayons X parall`eles (voir l’eq. 1.5). f est estim´e par la formule d’inversion de la transform´ee de Radon suivante :
f = 1 2(2π)
1−nR#I1−nR Rf (1.6)
o`u R# est l’op´erateur de r´etro-projection qui est op´erateur dual de l’op´erateur de projec-tion R associ´e `a la transform´ee de Radon.
R#g = Z
Sn−1
g(δ)dδ (1.7)
avec δ, le vecteur de position angulaire associ´e `a la trajectoire rectiligne des rayons X et IR, l’op´erateur de filtrage qui est d´efini comme ci-dessous :
IkRg = (2π)−n/2 Z
Rn
I.2.2 - Inversion de la transform´ee de Radon par FBP
avec ˆg la transform´ee de Fourier de g. La d´emonstration de la formule de l’inversion de la transform´ee de Radon (eq.1.6) est d´etaill´ee dans [1], page 29.
Les approches classiques de reconstruction tomographique FBP sont bas´ees sur l’inversion analytique de la transform´ee de Radon (eq.1.6). La reconstruction par FBP est rapide mais elle est sensible au bruit, car les FBPs utilisent le filtre rampe |ρ|1−n qui est un filtre passe-haut. Or le bruit est pr´esent dans toute les fr´equences et notamment dans les hautes fr´equences, celui-ci est amplifi´e par ce filtre rampe lors de la reconstruc-tion. Par ailleurs, les hypoth`eses faites dans les FBPs ne respectent pas la r´ealit´e. En fait, les rayons X incidents dans l’objet ne sont pas monochromatiques. Le spectre de source des rayons X est polychromatique dans les scanners commerciaux. L’´etalement de spectre est souvent r´eduit par un filtre en m´etal (aluminium ou cuivre) plac´e derri`ere la source des rayons dans les scanners, mais les rayons X ne peuvent pas ˆetre consid´er´es monochromatiques. Les CALs des mat´eriaux sont ´egalement d´ependants de l’´energie des photons X. Par cons´equent, des artefacts li´es au spectre des rayons X apparaissent dans les images reconstruites par FBPs, notamment avec la pr´esence de mat´eriaux tr`es denses dans l’objet, par exemple le m´etal.
Autre ph´enom`ene physique non pris en compte dans les m´ethodes FBP, les photons X diffusent lors de l’interaction avec les atomes de mat´eriaux rencontr´es. Une part des photons X diffus´es est alors capt´ee par le d´etecteur. Cette proportion d´epend de la distance entre l’objet et le d´etecteur mais ´egalement des mat´eriaux et de la taille de l’objet. Cela n’´etant pas int´egr´e dans les m´ethodes FBPs, des artefacts peuvent alors apparaitre dans les images reconstruites. En outre, l’hypoth`ese H1.3 du FBP n’est pas justifi´ee dans le cas de la pr´esence de m´etal, o`u les faisceaux des rayons X peuvent ˆetre absorb´es compl`etement par le m´etal. Tr`es peu de photons X sont re¸cus par les cellules du d´etecteur masqu´ees par le m´etal. Apr`es lin´earisation des mesures par logarithme n´egatif (voir l’´equation 1.5), les att´enuations sur les trajectoires rectilignes passant par le m´etal deviennent infinies (ln10 → ∞). Le bruit des mesures associ´es au m´etal est amplifi´e par rapport au bruit des autres mesures apr`es la lin´earisation des mesures, voir la figure1.13. Pour comprendre ces artefacts, nous introduisons dans la suite la physique de l’interaction entre les photons X et les atomes des mat´eriaux.